函數(shù)數(shù)列的極限

1、數(shù)列極限復習數(shù)列極限復習v定義定義:一般地一般地, ,如果當項數(shù)如果當項數(shù)n n無限增大時無限增大時, ,無窮數(shù)列無窮數(shù)列anan的項的項anan無限地趨無限地趨近于某個常數(shù)近于某個常數(shù)a,a,（既（既an-aan-a無無限地接近于限地接近于0 0），那么就說），那么就說數(shù)列數(shù)列anan以以a a為極限，為極限，或者說或者說數(shù)列數(shù)列anan的極限是的極限是a a記著記著: :limnnaav重要結論重要結論(1)常數(shù)常數(shù)c的極限等于的極限等于 limnCC(2)limnna(3)112112limssttnAnA nBnB n它本身它本身,即即x （1 1）當）當 時時 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x

2、)的極限的極限1yxx110100100010000100000y10.10.010.0010.00010.00001v當自變量當自變量x x取正值并無限增大時取正值并無限增大時( (即即x x趨向于正無窮大趨向于正無窮大時時),),函數(shù)函數(shù)y y的值無限趨近于的值無限趨近于0,0,即即y-oy-o可以變得任意可以變得任意小小. .v同樣地同樣地, ,當自變量當自變量x x取負值并且它的絕對值無限取負值并且它的絕對值無限增大時增大時( (即即x x趨向于負無窮大時趨向于負無窮大時),),函數(shù)函數(shù)y y的值也無的值也無限趨近于限趨近于0,0,定義定義(1):(1):一般地一般地, ,當自變量當自

3、變量x x取正值并無限增大時取正值并無限增大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無限趨近于一個常數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)a,a,就說就說當當x x趨向于正無窮趨向于正無窮大時大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(2):(2):一般地一般地, ,當自變量當自變量x x取負值并且絕對值無限增大時取負值并且絕對值無限增大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無限趨近于一個常數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)a,a,就說就說當當x x趨向趨向于負無窮大時于負無窮大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim(

4、 )xf xalim( )xf xlim( )xf x問題？和一定存在嗎？lim( )xf xlim( )xf x問題？和存在若它們的值一定相等嗎它們的值一定相等嗎？lim( )xf xalim( )xf xa 那么就說那么就說 當當x x趨向于無窮大時趨向于無窮大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極的極限是限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa注意注意:必須兩個條件都滿足必須兩個條件都滿足,才能說才能說-如果如果且且定義定義(3)(3)對于常數(shù)函數(shù)對于常數(shù)函數(shù)f(x)=c(xR), 也有也有l(wèi)im( )xf xCv重要結論：重要結論：lim?xxalim?xxa記憶方法：記憶方

5、法：數(shù)形結合法（數(shù)形結合法（指數(shù)函指數(shù)函數(shù)的圖象數(shù)的圖象）0 xx（2 2）當）當 時時 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限的極限2yx問題（問題（1 1）：討論）：討論當當x x無限趨近于無限趨近于2 2（從左、右兩邊從左、右兩邊）時，）時，函數(shù)函數(shù)的變化趨勢：的變化趨勢：問題（問題（2 2）：）：討論當討論當x x無限趨近于無限趨近于1 1 （從左、右兩邊從左、右兩邊）時，函數(shù)時，函數(shù)的變化趨勢：的變化趨勢：211xyx211lim21xxx22lim4xx問題？當當 x從從x x0 0的左、右兩邊趨近于的左、右兩邊趨近于x x0 0時，時，f(x)f(x)的極限一定相等嗎？的極限一定相等嗎？

6、你能否舉例說明？（ ）一般地一般地, ,當自變量當自變量x x無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)x x0 0時（時（但但x x不等不等于于x x0 0）, ,如果函數(shù)如果函數(shù)f(x) f(x) 無限趨近于一個常數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a,a,就就說說當當x x趨近于趨近于x x0 0時時時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :0lim( )xxf xa 也叫做也叫做函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x=xx=x0 0處的極限處的極限0lim( )xxf xx x無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)x x0 0，是指是指x x從從x x0 0的左、右兩邊趨近于的左、右兩邊趨近于x

7、 x0 0定義（定義（4）v一般地，設一般地，設C C為常數(shù)，則為常數(shù)，則0limxxCC由例2及 ，你能總結出一般性結論嗎？211lim21xxx本節(jié)課主要學習了哪些問題？第二課時第二課時函數(shù)的左、右極限說出下列函數(shù)極限的定義：說出下列函數(shù)極限的定義：（1）（2）（3）（4）lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa0lim( )xxf xa一般地一般地, ,當自變量當自變量x x取正值并無限增大時取正值并無限增大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無限趨近于一個常數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)a,a,就就說說當當x x趨向于正無窮大時趨向于正無窮大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)

8、f(x)的極的極限是限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(1):(1):一般地一般地, ,當自變量當自變量x x取負值并且絕對值無取負值并且絕對值無限增大時限增大時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無限趨近于一的值無限趨近于一個常數(shù)個常數(shù)a,a,就說就說當當x x趨向于負無窮大時趨向于負無窮大時, ,函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(2):(2):lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa 那么就說那么就說 當當x x趨向于無窮大時趨向于無窮大時, ,函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)的極限是

9、的極限是a a, ,記著記著: :如果如果且且定義定義(3)(3) 一般地一般地, ,當自變量當自變量x x無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)x x0 0時（時（但但x x不等于不等于x x0 0）, ,如果函數(shù)如果函數(shù)f(x) f(x) 無限趨近于一個常數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a,a,就說就說當當x x趨近于趨近于x x0 0時時時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :0lim( )xxf xa定義（定義（4）（函數(shù)在一點處的極限）（函數(shù)在一點處的極限）x x無限趨近于無限趨近于x x0 0，應理解為，應理解為x x可以用可以用任何方式任何方式無限趨近于無限趨近于x

10、 x0 0閱讀：P80例例2練習練習: P81練習練習2想一想：可以總結出什么規(guī)律？左極限定義：左極限定義： 一般地如果當一般地如果當x從點從點x0左側左側（即（即xx0)無限趨近無限趨近于于x0時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)a,就說就說a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點在點x0處的處的左極限左極限，記作，記作0lim( )xxf xa右極限定義：右極限定義： 一般地如果當一般地如果當x從點從點x0右側右側（即（即xx0)無限趨近無限趨近于于x0時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù)a,就說就說a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點在點x0處的處的右極限右極限，記作，記作0lim( )xxf xa根據函數(shù)在一點處的極限、左根據函數(shù)在一點處的極限、左極限、右極限的定義，可以得極限、右極限的定義，可以得出：出：0lim( )xxf xa0lim( )xxf xa0lim( )xxf x練習練習1：P83練習練習1、2練習練習2: P83習題習題1舉例說明：舉例說明：（1