平面向量及運(yùn)算復(fù)習(xí)_第1頁
平面向量及運(yùn)算復(fù)習(xí)_第2頁
平面向量及運(yùn)算復(fù)習(xí)_第3頁
平面向量及運(yùn)算復(fù)習(xí)_第4頁
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文檔簡介

1、平面向量 復(fù)習(xí)基本知識點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念:(1)向量的概念 :既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段,為什么?(向量可以平移) 。如已知 A (1,2),B ( 4,2),則把向量AB 按向量 a ( 1,3)平移后得到的向量是_(答:(3,0 )(2)零向量 :長度為 0 的向量叫零向量,記作:0 ,注意 零向量的方向是任意的;(3)單位向量 :長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量( 與 AB 共線的單位向量是AB );|AB|(4)相等向量 :長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;(5)平行向量(也叫

2、共線向量):方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,記作:a b ,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念:兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線 , 但兩條直線平行不包含兩條直線重合;平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?0 ) ;三點(diǎn) A、B、C 共線AB、AC 共線;(6)相反向量 :長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如下列命題:( 1)若 ab ,則 a b 。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同。( 3)若 ABDC ,則 ABCD是平行四邊形。 (4)若 ABCD

3、是平行四邊形,則AB DC 。( 5)若 a b,b c ,則 ac 。( 6)若 a / b,b / c ,則 a / c 。其中正確的是 _ (答:(4)(5)2、向量的表示方法:( 1)幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如AB ,注意起點(diǎn)在前,終點(diǎn)在后; ( 2)符號表示法:用一個(gè)小寫的英文字母來表示,如a , b , c 等;(3)坐標(biāo)表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j為基底,則平面內(nèi)的任一向量a 可表示為 a xiy jx, y ,稱x, y 為向量 a 的坐標(biāo), a x, y 叫做向量 a 的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向

4、量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3. 平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1 、2 ,使 a= 1 e12 e2。如( 1)若 a(1,1),b(1,1),c(1,2) ,則 c13b );( 2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)_(答: a22B.e1 (1,2), e2 (5,7)C. e1 (3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3), e2 ( 1 ,3)(答: B );( 3)已知 AD ,BE 分別是ABC 的24邊 BC, AC 上的中線 ,且

5、ADa, BE b ,則 BC 可用向量 a,b 表示為 _(答: 2a4b );( 4)已知ABC 中,點(diǎn) D 在 BC 邊上,33且 CD2DB,CDr ABs AC ,則 rs 的值是 _(答: 0)4、實(shí)數(shù)與向量的積 :實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量,記作a ,它的長度和方向規(guī)定如下: 1aa , 2 當(dāng)>0 時(shí),a 的方向與 a 的方向相同,當(dāng)<0 時(shí),a 的方向與 a 的方向相反,當(dāng) 0 時(shí),a0 ,注意:a 0。5、平面向量的數(shù)量積:(1)兩個(gè)向量的夾角 :對于非零向量a , b ,作 OAa,OBb ,AOB0稱為向量 a , b 的夾角,當(dāng) 0 時(shí), a , b

6、同向,當(dāng)時(shí), a , b 反向,當(dāng)時(shí), a , b 垂直。2(2)平面向量的數(shù)量積 :如果兩個(gè)非零向量a , b ,它們的夾角為,我們把數(shù)量 | a | b | cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積),記作: ab ,即 ab a b cos。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是一個(gè)向量。如(1)ABC中, |AB| 3, |AC|4,|BC|5,則 ABBC_ ( 答 : 9);(2)已知11, 與的夾角為,則 k 等于 _(答:1);(3)已知 a2, b5, a b3 ,則 aba(1,),b(0,), cakb ,dabdc422等于 _(答:23

7、 );( 4)已知 a, b 是兩個(gè)非零向量,且abab ,則 a與a b 的夾角為 _(答: 30)(3) b 在 a 上的投影 為 | b |cos,它是一個(gè)實(shí)數(shù),但不一定大于0。 如已知 | a |3 , | b |5 ,且 a b 12 ,則向量 a 在向量 b 上的投影為 _(答:12)5(4) ab 的幾何意義 :數(shù)量積 ab 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 上的投影的積。(5)向量數(shù)量積的性質(zhì) :設(shè)兩個(gè)非零向量a , b ,其夾角為,則: abab0 ;當(dāng) a , b 同向時(shí), a2aa2, aa2b a b ;當(dāng)b a b ,特別地, aa;當(dāng) a 與 b 反向時(shí),

8、a為銳角時(shí), ab 0,且 a、b 不同向, ab0 是 為銳角的必要非充分條件;當(dāng)為鈍角時(shí), ab 0,且 a、b 不反向, a b0是為鈍角的必要非充分條件;非零向量 a , b 夾角的計(jì)算公式: cosa b; | ab | | a | b | 。 如( 1)已知 a(,2) , b(3,2) ,如果 aa b與 b 的夾角為銳角,則的取值范圍是 _(答:40且1OFQ 的面積為 S ,且 OF FQ1,或);(2)已知33若 1S3,則OF,FQ夾角的取值范圍是 _(答: (,) );( 3)已知 a(cos x,sin x), b(cos y,sin y), a 與 b2243之間有

9、關(guān)系式kab3 a kb ,其中 k0 ,用 k 表示 ab ;求 a b 的最小值,并求此時(shí)a 與 b 的夾角的大小(答: abk 21 (k0) ;最小值為1 ,60)4k26、向量的運(yùn)算 :(1)幾何運(yùn)算 :向量加法:利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設(shè) ABa, BCb ,那么向量AC 叫做 a 與 b 的和,即 abABBCAC ;向量的減法:用“三角形法則” :設(shè) ABa, AC b,那么 a bABACCA ,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如(1)化簡: ABB

10、CCD_; ABADDC_ ; (ABCD ) (AC BD)_(答: AD ; CB ; 0 );( 2)若正方形ABCD 的邊長為 1, ABa, BCb, ACc ,則 | ab c | _(答: 22 );(3)若 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足OBOCOB OC2OA,則ABC 的形狀為 _ (答:直角三角形) ;( 4)若 D 為ABC 的邊 BC 的中點(diǎn),ABC 所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P ,滿足 PA BPCP0 ,設(shè)|AP|,則 的值為 _(答: 2);( 5)若點(diǎn) O 是 ABC 的外心,且 OA OBCO0 ,則 ABC 的內(nèi)角 C 為_(答: 120);|PD|(2)坐

11、標(biāo)運(yùn)算 :設(shè) a( x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ,則:向量的加減法運(yùn)算 : ab( x1x2 , y1y2 )。如( 1)已知點(diǎn)A(2,3), B(5,4) , C(7,10) ,若 APABAC (R) ,則當(dāng)_時(shí),點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上(答:1 );( 2)已知A(2,3), B(1,4), 且 1 AB(sin x,cos y) , x, y(,) ,2222則 xy(答:或2);( 3)已知作用在點(diǎn) A(1,1)的三個(gè)力 F1 (3,4), F2(2, 5),F3(3,1) ,則合力 FF1F2F36的終點(diǎn)坐標(biāo)是(答:(9,1)實(shí)數(shù)與向量的積 :ax1 ,

12、 y1x1 ,y1。若 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,則 ABx 2x1 ,y2y 1,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè) A(2,3), B( 1,5) ,且AC111),(7,9) );AB,AD3 AB ,則 C、D 的坐標(biāo)分別是 _(答: (1,33平面向量數(shù)量積 : abx1x2y1 y2 。如已知向量 a ( sinx, cosx) ,b ( sinx, sinx) ,c ( 1, 0)。(1)若 x ,3求向量 a 、 c 的夾角;(2)若 x 3, ,函數(shù) f (x)a b 的最大值為1,求的值(答:(1)150 ;(2

13、)1 或21);8422向量的模 :| a |x2y2, a2| a |2x2y2。如 已知 a, b 均為單位向量, 它們的夾角為60 ,那么 | a3b | _(答:13 );兩點(diǎn)間的距離 :若 A x1, y1 , Bx2 , y2,則|AB|x2x12y12xOy 中,y2。如如圖,在平面斜坐標(biāo)系xOy60 ,平面上任一點(diǎn)P 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若OPxe1ye2 ,其中 e1 ,e2分別為與 x 軸、 y 軸同方向的單位向量,則P 點(diǎn)斜坐標(biāo)為 ( x, y) 。(1)若點(diǎn) P的斜坐標(biāo)為 (2,2),求 P 到 O的距離 PO;(2)求以 O 為圓心, 1 為半徑的圓在斜

14、坐標(biāo)系 xOy 中的方程。(答:(1) 2;( 2)x2y 2xy1 0);7、向量的運(yùn)算律:(1) 交 換 律 : abb a,aa , a bba; (2)結(jié)合律:a b ca b , c a b c ab c a ba bab;(3)分配律:,aaa,abab , a b ca c b c 。 如下列命題中:a ( bc )a ba c ;a ( b c) ( a b ) c ; (a b)2 | a |2222a bb2| a | | b | | b | ; 若 a b0 , 則 a0 或 b0 ; 若 a bc b, 則 ac ; aa; 2;aa22b)222a b2 (a b)

15、2 ab ; (aab。其中正確的是 _(答:)提醒:(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別:對于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除( 相約 ) ;(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律 ,即 a(b c)(a b)c ,為什么?8、向量平行 ( 共線 ) 的充要條件 :a / bab(ab)2(| a |b |)2x1 y2y1 x2 0。如 (1)若向量 a( x,1), b(4, x) ,當(dāng)x_時(shí)a與b共線且方向相同 (答: 2);( 2)已知a(1,1),b (4,

16、 x),u a2b,v 2ab,且u / v,則 x_(答:4);( 3)設(shè) PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k ) ,則 k_時(shí), A,B,C 共線(答: 2 或 11)9、向量垂直的充要條件:aba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1 y20.特別地(ABAC)(ABAC(1,2), OB(3, m) ,若 OAOB ,則 m3 );( 2)以原點(diǎn)ABACAB) 。如 (1) 已知 OA(答:AC2O 和 A(4,2) 為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB ,B90,則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 _ (答: (1,3)或(3, 1);( 3)已知 n(a,b), 向

17、量 nm ,且 nm ,則 m 的坐標(biāo)是 _ (答: ( b,a) 或( b, a) )10. 線段的定比分點(diǎn) :( 1)定比分點(diǎn)的概念 :設(shè)點(diǎn) P 是直線 P 1 P2上異于 P1、P2的任意一點(diǎn),若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使1PP2,則叫做點(diǎn) P 分有PP向線段 PP12所成的比, P 點(diǎn)叫做有向線段 PP12的以定比為的定比分點(diǎn);( 2)的符號與分點(diǎn) P 的位置之間的關(guān)系:當(dāng) P 點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)>0;當(dāng) P 點(diǎn)在線段P 1 P 2 的延長線上時(shí)<1;當(dāng) P 點(diǎn)在線段 P 2 P 1 的延長線上時(shí)10 ;若點(diǎn) P 分有向線段 PP 所成的比為,則點(diǎn) P 分有向線段 P P所成的比為

18、1 。1221如若點(diǎn) P 分 AB 所成的比為3 ,則 A分 BP 所成的比為 _(答:7)43xx1x21( 3)線段的定比分點(diǎn)公式:設(shè) P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) , P(x, y) 分有向線段 PP 所成的比為,則,特別地,12y1y2y1xx1x22應(yīng)明確 ( x, y) , ( x , y ) 、 ( x , y) 的意義,當(dāng) 1 時(shí),就得到線段 P 1P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)y。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí),21122y12即分別為分點(diǎn),起點(diǎn),終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地確定起點(diǎn),分點(diǎn)和終點(diǎn),并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比。如( 1)若 M (-3

19、,-2), N( 6,-1),且 MP1MN,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(答:7);( )已知 A( a,0),B(3,2a) ,直3(6, )23線 y12MB ,則 a 等于 _(答:或)ax 與線段 AB 交于 M ,且 AM211. 平移公式 :如果點(diǎn) P( x, y) 按向量 ah, k 平移至 P( x , y ) ,則 xxh ;曲線 f ( x, y) 0 按向量 ah, k平移得yyk曲線 f (x h, y k)0 .注意:( 1)函數(shù)按向量平移與平?!白蠹佑覝p”有何聯(lián)系?(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性,可別忘了??!如( 1)按向量 a 把 (2,3) 平移到 (1,2) ,則按向量

20、a 把點(diǎn) (7,2) 平移到點(diǎn) _(答:(,);( 2)函數(shù) ysin 2 x 的圖象按向量 a 平移后,所得函數(shù)的解析式是ycos 2x 1,則 a _(答: (,1) )412、向量中一些常用的結(jié)論:(1)一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運(yùn)用;(2) | a | b | | a b | a | | b |,特別地,當(dāng)a、b 同向或有0| ab | a | b | a | | b | | a b | ; 當(dāng) a、b 反 向 或 有 0| ab | | a |b| a| b |a| | b; 當(dāng) a、b 不 共 線| a| | b |a| | ba|( 這些和實(shí)數(shù)比較類似 ).

21、| b( 3)在ABC 中,若 Ax1, y1, Bx2 , y2 , Cx3 , y3 ,則其重心的坐標(biāo)為G x1x2x3 , y1y2 y3 。 如若 ABC33的三邊的中點(diǎn)分別為(2,1)、(-3 ,4)、(-1 ,-1 ),則 ABC的重心的坐標(biāo)為 _ (答: (2,4) );33 PG1(PAPBPC )G 為ABC 的重心,特別地 PAPBPC0P 為ABC 的重心;3PA PBPB PCPC PAP 為ABC 的垂心;向量(ABAC)(0) 所在直線過ABC 的內(nèi)心 ( 是BAC 的角平分線所在直線) ;|AB|AC|AB|PC |BC |PA|CA | PB0PABC 的內(nèi)心;

22、(3)若 P分有向線段PP所成的比為,點(diǎn) M 為平面內(nèi)的任一點(diǎn),則MP1MP2,特別地P為 PP 的中點(diǎn)12MP11 2MP1MP2 ;MP2(4)向量 PA、PB、PC 中三終點(diǎn)A、 B、 C 共線存在實(shí)數(shù)、使得 PAPBPC 且1 .如平面直角坐標(biāo)系中,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn) A(3,1), B( 1,3) ,若點(diǎn) C 滿足 OC1 OA2 OB ,其中1, 2R且121,則點(diǎn) C 的軌跡是 _(答:直線AB)平面向量常見題型1、( 向量的概念 ) 下列命題中 ,正確的是 ()A. 若 ab , 則 a 與 b 的方向相同或相反B.若 ab , b c ,則 acC.若兩個(gè)單位向量互相平

23、行,則這兩個(gè)單位向量相等D.若 a = b , b = c ,則 a = c解析:答案為 .D 。由于零向量的方向是任意的,取 a = 0 , 則對于任意向量 b ,都有 ab , 知 A 錯(cuò) ;取 b = 0 ,則對于任意向量a,c 都有ab , bc ,但得不到 ac ,知 B錯(cuò);兩個(gè)單位向量互相平行 ,方向可能相反 , 知 C 錯(cuò);由兩向量相等的概念知D正確.2、( 線性表示 )0,A,B,C滿足 OB12)已知平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)OAOC ,則| AB |:|BC | (33A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2解析:答案為 C。 OB12OBOA2(OC OB) ,得 AB2BC ,

24、得 | AB |:| BC |2OAOC3b3bb3、( 坐標(biāo)運(yùn)算 )已知向量 a= (1,3),=(3, n ),若2 a共線 ,則實(shí)數(shù) n 的值是 () 與A. 6B. 9C.323D323解析:答案為 B。 2a b(1,6n) , 2a b 與 b 共線 , ( 1)n 3(6n)0 ,得 n9 .4、(坐標(biāo)運(yùn)算 )若函數(shù) f ( x)cos2 x1 的圖象按向量 a 平移后 ,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則向量 a 可以是 ()A.( ,1)B.( ,1)C. (,1)D. (0,1)424解析:答案為 A設(shè) a(m, n) ,則平移后得 yncos2( x m)1 ,即 ycos(2

25、x2m)1 n為奇函數(shù) , 2m2, 1n0 ,得 a (,1).45、(基本定理 )如圖 ,在 AOB 中 ,點(diǎn) P 在直線 AB 上,APR) ,求 | PA|的值.且滿足 OP2tPAtOB (t| PB|OB解析: PAOAOP , OP2t(OAOP )tOB ,得 OP2tOAtOB .12t12t而 P、 A 、B 三點(diǎn)共線 ,2tt1,解得 t1,2t12t1 OP2PAOB ,得 OPOB2PA ,即 BP| PA|12PA ,有.|PB |26、(易 向量不等式 )設(shè) a, b 是非零向量 ,則下列不等式中 不恒成立 的是 ()A. a ba bB. ab a bC. a

26、ba bD. aa b解析: D 由ababab 知 A 、 B、C 恒成立 ,取 ab0 ,則 D 不成立 .7、 (中坐標(biāo)運(yùn)算 )將二次函數(shù)yx2的圖象按向量a 平移后 , 得到的圖象與一次函數(shù)y2x 5 的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3,1) ,則向量a ()A. (2,0)B. (2,1)C. (3,0)D. (3,1)解析:答案為 A設(shè) a( h, k) ,即把 yx2的圖象按向量 a 平移后得到 yk(xh)2 的圖象 (即向右平移 h 個(gè)單位 ,再向上平移 k 個(gè)單位得到 ).由題意知 1k(3h)2 ,yk( xh) 222(h1)xh2k50 ,由0得 2h k40 ,由2x5, 得

27、 xy由、聯(lián)立解得h2, k0, a(2,0)8、 ( 線性運(yùn)算 ) 在平面直角坐標(biāo)系中, 若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), 則 A 、 B 、 C 三點(diǎn)在同一直線上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù), 使得OCOA(1) OB成立 ,此時(shí)稱實(shí)數(shù)為“向量 OC 關(guān)于 OA 和 OB 的終點(diǎn)共線分解系數(shù) ”若.已知 P1(3,1) 、P2 ( 1,3) ,且向量 OP3與向量 a(1,1) 垂直 ,則“向量 OP3 關(guān)于 OP1 和 OP2 的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為()A. 3B. 3C. 1D.1解析:答案為 D。 由 OP3與向量 a(1,1)垂直 ,可設(shè) OP3(t,t)(t0) ,由 OP3OP1 (1) O

28、P2 得 (t,t),4t,兩式相加得220 ,1 .t9、(中 線性運(yùn)算 )已知非零向量 e1 , e2 , a , b 滿足 a2e1e2 , bke1e2 .(1)若 e1 與 e2 不共線 , a 與 b 是共線 ,求實(shí)數(shù) k 的值 ;(2)是否存在實(shí)數(shù) k ,使得 a 與b 不共線 , e1 與 e2 是共線?若存在 ,求出 k 的值 , 否則說明理由 .解:(1) 由 ab ,得 2e1 e2ke1e2 , 而 e1 與 e2 不共線 ,k 2k2 ;1(2)若 e1 與 e2 是共線 ,則 e2a(2e1e1 ,有(k,be1 e1 , e2 , a , b 為非零向量 ,且k

29、,112ab ,即 ab ,這時(shí) a 與 b共線 ,2kk不存在實(shí)數(shù) k 滿足題意 .10、(坐標(biāo)運(yùn)算 )已知向量 a = (sin ,cos2sin) , b = (2,1) .(1)若 ab ,求 tan 的值 ;(2)若 ab ,求的值 .4解:(1) 因?yàn)?a/ b ,所以 2sincos2sin,于是 4sincos,故 tan1.4(2)由 ab 知, sin 2(cos2sin)25,12sin24sin 25,從而2sin 22(1cos2)4 ,即 sin2cos21. 12sin2cos21,即sin40 , 4k ,即k, 由,得k1 k 4, k Z ,44 k2或 3

30、,即或4.211、 (線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算)已知0x1,0 y 1,求 Mx2y2x2(1y) 2+(1x)2y2(1x)2(1y)2的最小值 .解:設(shè) A(0,0), B(1,0), C (1,1),D (0,1) , P( x, y) , 則= (AP PC) (BP PD)= AC BD.而 AC(1,1),BD( 1,1),得 ACBD222 2 . M22 ,當(dāng) AP 與 PC 同向 , BP 與 PD 同向時(shí)取等號 ,設(shè) PCAP, PDBP ,則 1 xx,1 yy,xx,1 yy ,解得1, x y1.12所以 ,當(dāng) x y22.時(shí) , M 的最小值為212、(線性運(yùn)算 )已知 A、 B、C 不在同一直線上 ,若 OAOBOCO, S ABC3,試求

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