泰勒公式及其應(yīng)用

1、泰勒公式及其應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2009級(jí) 楊立指導(dǎo)教師 吳春摘要:泰勒公式以一種逼近的思想成為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)，在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要的作用。本文研究了利用泰勒公式證明微分中值定理，求函數(shù)的極限，進(jìn)行近似計(jì)算，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)等方面的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用泰勒公式能夠給我們的解題帶來極大的方便。關(guān)鍵詞：泰勒公式；微分中值定理；極限；高階導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the though

2、t, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial

3、 derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative引言 泰勒公式最早是以泰勒級(jí)數(shù)的形式出現(xiàn)在泰勒1715年出版的著作增量及其逆中，但在該書中卻沒有給出具體的證明，直到19世紀(jì)由柯西給出了現(xiàn)在的形式及其嚴(yán)格的證明。泰勒公式是一種逼近的思想，集中體現(xiàn)了逼近法的精髓，可以將有理分

4、式函數(shù)無理函數(shù)和初等超越函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)來近似代替，而誤差又能滿足要求。這種化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的功能，使其成為分析和研究數(shù)學(xué)其他問題的有力工具。也對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計(jì)算帶來了極大的方便。本文主要是通過給出實(shí)際例子體現(xiàn)其應(yīng)用，并對(duì)這些方法做了歸納和總結(jié)。1 泰勒公式及其證明1.1 帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式若在點(diǎn)有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么就有： (1.1)其中是余項(xiàng)，這就是在點(diǎn)的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式1。說明：此公式對(duì)函數(shù)的展開要求較低，只要求其在點(diǎn)處階可導(dǎo)即可，展開的形式也比較簡(jiǎn)單。這種泰勒公式的實(shí)質(zhì)是局部增量公式的升華，即可以把此函數(shù)局部地用線性函數(shù)代替改為用多項(xiàng)式代替，當(dāng)時(shí)用

5、多項(xiàng)式代替這個(gè)函數(shù)所產(chǎn)生的誤差是一個(gè)無窮小量。它難以說明誤差范圍，因此不適合對(duì)余項(xiàng)作定量估算，只能是一個(gè)定性估目的。特別地當(dāng)時(shí)，有： (1.2)這種佩亞諾項(xiàng)的泰勒公式也被稱為麥克勞林公式。1.2 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù)在上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且在區(qū)間內(nèi)存在，那么就有： (1.3)其中被稱為余項(xiàng)，此時(shí)介于與之間，這就是函數(shù)在點(diǎn)的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式2。說明： 它對(duì)函數(shù)的展開要求較高，因?yàn)樗髮?duì)任意的都要成立，其形式也相對(duì)復(fù)雜。這種泰勒公式的實(shí)質(zhì)是對(duì)拉格朗日微分中值定理的升華，它是一個(gè)定量估計(jì)值。運(yùn)用這種泰勒公式逼近時(shí)，可以確定其大致的誤差范圍，但其誤差是由的階導(dǎo)數(shù)決定的，若越接近于

6、，即區(qū)間越小，那么誤差就會(huì)越小，這種泰勒公式適合處理在區(qū)間上的問題，特別是在不等式的證明中應(yīng)用起來比較方便。1.3 簡(jiǎn)單的證明我們知道，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有：，其中誤差是在即的前提下才趨向于0，所以在近似計(jì)算中往往不夠精確，于是我們需要一個(gè)能夠足夠精確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：來近似地表示函數(shù)且要寫出其誤差的具體表達(dá)式。設(shè)函數(shù)滿足：于是可以依次求出顯然，所以;至此，多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出，得：接下來就要求誤差的具體表達(dá)式了。設(shè)，于是有：.所以可以得出： 根據(jù)柯西中值定理可得：（其中：），這里在和之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得：，這里在與之間；連續(xù)使用次后得出：，這里在和之間。

7、但，由于，是一個(gè)常數(shù)，故，于是得。綜上可得，余項(xiàng)。一般來說展開函數(shù)時(shí)都是為了計(jì)算的需要，故往往要取一個(gè)定值，此時(shí)也可把寫為。2 泰勒公式的應(yīng)用2.1 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算和誤差估計(jì)根據(jù)泰勒展開式的余項(xiàng)可以把握函數(shù)用泰勒公式近似的程度，但需要估計(jì)誤差的范圍，關(guān)鍵就在于對(duì)值的估計(jì)。如果存在，有，那么我們就可以估計(jì)，從而當(dāng)我們期望近似值的誤差不超過時(shí)，只需在不等式中解出是多少就可以知道運(yùn)用泰勒公式應(yīng)計(jì)算多少項(xiàng)即可，由此我們就可以近似地計(jì)算出某些復(fù)雜數(shù)的具體值。例1 求的近似值，精確到。解 由于該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無法用牛頓-萊布尼茨公式來計(jì)算，因此我們要用泰勒公式來計(jì)算它的近似值

8、。因?yàn)閷蛇呏痦?xiàng)積分，有=又因?yàn)樗??？偨Y(jié)：通過以上我們可以知道：只要給出一個(gè)數(shù)，知道它的誤差范圍，我們就可以利用泰勒公式較為簡(jiǎn)單的求出它的近似值。例2 計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，誤差不超過多少？解 在的麥克勞林展開式中，令可得： （）當(dāng)時(shí)，有：也就是說其誤差不超過?？偨Y(jié)：利用泰勒公式我們可以輕易地判斷出一個(gè)函數(shù)公式的誤差范圍。2.2 利用泰勒公式證明中值問題如果要證明的結(jié)論是至少存在一點(diǎn)，使得關(guān)于,代數(shù)式的證明。然后驗(yàn)證輔助函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，由定理的結(jié)論即得命題的證明。例2 設(shè)在上三次可導(dǎo)，試證明：，使得： (2.1)證明 設(shè)為使得下式成立的實(shí)數(shù)： (2.2)此時(shí)，問題可變?yōu)樽C明：，使得。設(shè) (2

9、.3)則。根據(jù)羅爾定理，使得。由(2.3)式，即： (2.4)這是關(guān)于的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式： (2.5)由(2.4) (2.5)兩式可得：則有：，命題得證。總結(jié)：解此類題最重要的就是輔助函數(shù)的確定，上面的例題使用的是原函數(shù)法，即通過恒等變形將結(jié)論化為以消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式或易積分的形式，用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡(jiǎn)便積分常數(shù)取作零，移項(xiàng)使等式一邊為零，則另一邊將結(jié)論中的換成即為所需的輔助函數(shù)。例4設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明 由于函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因此可以寫出的二階泰勒公式： 將分別帶入得：，其中兩式相減可得：由于在閉區(qū)

10、間上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得，代入等式可得，即?？偨Y(jié)：例4用泰勒公式進(jìn)行證明的優(yōu)勢(shì)是顯而易見的，條件中函數(shù)為三階可導(dǎo)的抽象函數(shù)，如果不用泰勒公式，條件和結(jié)論似乎風(fēng)牛馬不相及，證明難度可想而知。2.3 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用例 求的極限.分析：當(dāng)時(shí)為求型函數(shù)的極限，滿足洛必達(dá)法則，若直接用洛必達(dá)法則求極限我們發(fā)現(xiàn)會(huì)有多次求導(dǎo)且計(jì)算過程也十分復(fù)雜，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)。我們可以先用泰勒公式將分子展開，再求極限，這樣就會(huì)簡(jiǎn)單許多。解 在處，由佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式展開得：因此 故 例6 求分析：當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為型未定式。雖然可以通過變換把其化為型，再用洛必達(dá)法則

11、，但計(jì)算量較大。所以我們先將展開，再求其極限。解 因?yàn)樗?通過以上兩個(gè)例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，在求一些未定型的極限時(shí)，如果用洛必達(dá)法則求導(dǎo)次數(shù)較多或化簡(jiǎn)過程較復(fù)雜時(shí)，不妨利用泰勒公式來求。在使用泰勒公式求極限時(shí)并不需要把各函數(shù)展開到n階，那么函數(shù)到底應(yīng)該展開到幾階，就成為了求解極限的關(guān)鍵。回顧上面兩個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)極限為分式時(shí)，若分子或分母中只需要展開一個(gè)，那么只需要將其展到另一個(gè)的同階無窮小的階數(shù)；若分子和分母都需要展開，可分別展到其同階無窮小的階數(shù)，即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù)。當(dāng)極限不為分式時(shí)，展開的階數(shù)應(yīng)與函數(shù)最高次冪相同。2.4 泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用例7 已知，求。解

12、 的階泰勒公式為： (2.6)則 (2.7)由于的階泰勒公式為： (2.8)比較(2.7)(2.8)兩式可知，所以例8 設(shè)函數(shù)在上有三階導(dǎo)數(shù)，并且和在上有界，證明：和在上也有界。證明 設(shè)，則由泰勒公式可得：兩式相加得：故有兩式相減得：故有。綜上可知，和在上也有界。3 總結(jié)對(duì)于泰勒公式，我們已經(jīng)非常熟悉，它的應(yīng)用在當(dāng)今數(shù)學(xué)研究發(fā)展的過程中起到了重要的作用。通過以上幾個(gè)方面的研究，讓我們知道泰勒公式是函數(shù)展開的一種形式，使我們對(duì)泰勒公式及其應(yīng)用有了一個(gè)總體上得認(rèn)識(shí)，也使我們?cè)谔囟ǖ念}設(shè)條件下形成特定的解題思路，使解題達(dá)到事半功倍的效果，只有了解了這些知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，不斷行進(jìn)總結(jié)，才

13、能使我們牢固掌握泰勒公式，進(jìn)而才能善于熟練運(yùn)用?？梢哉f這樣的學(xué)習(xí)能使我們養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，靈活的從不同角度尋找解題途徑，進(jìn)而形成獨(dú)特的解題技巧。在數(shù)學(xué)研究中，泰勒公式幾乎是開辟計(jì)算捷徑道路的基礎(chǔ)，同時(shí)，也為今后進(jìn)行泰勒公式的深入研究打下基礎(chǔ)。泰勒公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用多種多樣，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用泰勒公式能給我們解題帶來很大的方便，想要掌握好泰勒公式的應(yīng)用，需要綜合各方面的知識(shí)，從題設(shè)和結(jié)論出發(fā)，找出能應(yīng)用泰勒公式的條件，這樣才能好的運(yùn)用泰勒公式解決數(shù)學(xué)和生活中的問題，發(fā)揮它的優(yōu)越性。通過幾個(gè)月的努力，我的論文基本完成了。在此，特別向吳老師表示崇高的敬意和衷心的感謝，是您不厭其煩的幫助我糾正和改進(jìn)論文

14、，才使我的論文得以完成，吳老師您嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致和一絲不茍的作風(fēng)是我以后學(xué)習(xí)工作的榜樣，您無私的教導(dǎo)給予了我無盡的啟迪，您的鼓勵(lì)和寬容讓我擁有了面對(duì)挫折的信心，為我以后的學(xué)習(xí)工作埋下了一筆巨大的財(cái)富。感謝我的同學(xué)借電腦給我使用，還幫我找了不少素材。也感謝幫我修改英文翻譯的同學(xué)。最后，在此感謝給我?guī)椭凸膭?lì)的老師朋友同學(xué)，正是有了你們的幫助和鼓勵(lì)，才使得我的大學(xué)生活畫上了一個(gè)圓滿的句號(hào)，才有了如今我的成就。參考文獻(xiàn)：1 裘姚泰,王承國,章仰文.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)M.北京:科學(xué)出版社,2004.2 趙煥光,林長勝.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.四川大學(xué)出版社,2006.3 胡國專.泰勒公式在微分學(xué)中的應(yīng)用J.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào).2012.8，28(8):12-1