線段之和最短問(wèn)題

1、線段之和最短問(wèn)題一 常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型：1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。2.如圖，直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。3. 如圖，直線l1和l2的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，分別在直線l1、l2上求作一點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，使AP+PQ+QB最小。4. 如圖，直線l1的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，分別在直線l1上求作一點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，且PQ=a，使AP+PQ+QB最小。5.如圖，點(diǎn)P是MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B使PAB的周長(zhǎng)最小。6.如圖，點(diǎn)P，Q為MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。為方便歸類，將這

2、種情況稱為“兩點(diǎn)之間線段最短型”5.如圖，點(diǎn)A是MON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小6. .如圖，點(diǎn)A是MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線OM的距離之和最小為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”練習(xí)題1在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n =_時(shí)，AC + BC的值最小2如圖，護(hù)城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過(guò)兩座橋：DD，EE，設(shè)護(hù)城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計(jì)兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經(jīng)過(guò)兩座橋梁

3、后到B地的路程最短？最短路程是多少？3如圖AOB = 45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值4如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值為_(kāi)。5如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，ACCE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式+錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。的最小值6桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），

4、高為12厘米，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路x同側(cè)，、到直線x的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，到直線y的距離為，請(qǐng)你在x旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值8如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45°，BAC的平分線

5、交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_9如圖，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).參考答案1在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n

6、=_時(shí)，AC + BC的值最小點(diǎn)C（1，n），說(shuō)明點(diǎn)C在直線x=1上，所以作點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交直線x=1于點(diǎn)C，則AC+BC的值最小設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)當(dāng)x = 1時(shí)，y = -(2/5)故當(dāng)n = -(2/5)時(shí)，AC+BC的值最小2如圖，護(hù)城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過(guò)兩座橋：DD，EE，設(shè)護(hù)城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計(jì)兩座橋梁D

7、D，EE的位置，使由A地經(jīng)過(guò)兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BBa，AA b，且BB = 4，AA = 4，連接AB，交河岸于點(diǎn)E，D，分別過(guò)點(diǎn)E、D架設(shè)橋梁DD，EE，則ADDEEB是最短路線。因?yàn)樗倪呅蜛DDA、四邊形BEEB都是平行四邊形，所以BE = BE，AD = AD，因?yàn)锳，B之間線段最短，所以ADDEEB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以BF = 60，AF = 80，在直角三角形ABF中，由勾股定理得，AB = 100，最短路線為108米3如圖AOB = 45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求

8、PQR周長(zhǎng)的最小值分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點(diǎn)Q，R，連接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10 且P1OP2 = 90°由勾股定理得P1P2 = 104如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值為_(kāi)。即是在直線AB上作一點(diǎn)E，使EC+ED最小作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接DC'交AB于點(diǎn)E，則線段DC'的長(zhǎng)就是EC+ED的最小值。在直角DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=5如圖，C為線段

9、BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示ACCE的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，ACCE的值最小?(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式+錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。的最小值(1)AC = ，CE = 則AC+CE = + (2)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)AC+CE最小連接AE，交BD于點(diǎn)C，則AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長(zhǎng)就是這個(gè)代數(shù)式的最小值在直角AEF中,AF = 5 EF = 12 根據(jù)勾股定理 AE = 13（3）求代數(shù)式（0x4）的最小值如右圖，AE的長(zhǎng)就是這

10、個(gè)代數(shù)式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4則AE = 5所以，這個(gè)代數(shù)式的最小值是56桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高為12厘米，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開(kāi)圖如圖所示，作A點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)A。則BA=15厘米7著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如

11、圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值分別作點(diǎn)A、B關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，B'，連接A'B'，交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q，則四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小構(gòu)造如圖在RtA'B'C中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10 +40 =50所以A'B' = =508如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)

12、B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'EAB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則線段B'E的長(zhǎng)就是BM的最小值在等腰RtAEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E = 49如圖，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值 作AB關(guān)于AC的對(duì)稱線段AB'，過(guò)點(diǎn)B'作B'NAB，垂足為N，交AC于點(diǎn)M，則B'N = MB'+MN = MB+MNB'N的長(zhǎng)就是MB+MN的最小值則B'AN = 2BAC= 60°，AB' = AB = 2，ANB'= 90°，B' = 30°。所以AN = 1在直角AB'N中，根據(jù)勾股定理B'N = 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).(2)連接AC，交BD于點(diǎn)M，則AM+CM的值最小連接CE交BD于點(diǎn)M，則