改進的格林方法用于研究無限域帶任意兩孔的應力分布問題

1、院 系： 可再生能源學 院專業(yè)班級：水電1202學生姓名： 劉宜杰 指導老師：呂愛鐘學 號： 1121420210 譯文成績：華北電力大學畢業(yè)設計（論文）譯文部分原文著作（期刊）名稱：Extended Greens Solution for the Stresses in an Infinite Plate With Two Equal or Unequal Circular Holes作 者：Son K. Hoang，Younane N. Abousleiman原文出版單位：Journal of Applied Mechanics原文出版時間：MAY ,2008原文出版地點：改進格林方法應用

2、于無限域中有兩個相同或不同圓孔的應力問題摘 要在各向同性的無限大平面上開圓孔產生的應力分布問題很早就引起來了自數(shù)學和工程方面的關注。遺憾的是，幾乎所有的現(xiàn)有解決方案僅適用于圓孔邊界無應力條件，而工程應用中的情況并不總是這樣。為了嘗試覆蓋更寬廣的應用范圍，本文根據(jù)Green提出的方法（1940年，帶圓孔平面的廣義諧波分析）提出了具體的方法解決無限域中兩個相同或不同圓孔受無限遠處荷載以及孔內荷載的應力分布問題。新派生的方法不僅通過了已發(fā)表的針對特殊情況的方法的驗證，也通過了具有可比性的、定性的實驗測試。而且，一些數(shù)值案例也讓我們深刻認識了不同參數(shù)相互作用的復雜性。關鍵詞：無限域，無限平面，應力分布

3、，圓孔，彈性，分析方法簡介許多研究人員已經通過不同的方法研究了無限大平面上帶圓孔的應力分布問題。1921年，Jeffery開創(chuàng)了在雙極坐標上的平面應力和平面應變理論，Ling在1948年利用此方法解決了在無限域中兩個相同圓洞受遠端場荷載的問題。在1980年，Iwaki和Miyao將Ling的方法拓展到解決無限域中兩個不同的孔洞受遠端場荷載和孔內壓力或者孔邊受均勻剪切的問題。1939年Howland和Knight利用某些坐標變換的不變性解決了兩個以上相同圓孔周期配置的問題。一年以后，Green發(fā)現(xiàn)了一個方法，利用坐標變換計算無限大平面內任意形狀，任意數(shù)目孔洞在無限遠處承受荷載的應力分布。盡管Gr

4、een的方法分析透徹，但是由于當時計算能力的限制并沒有和一些數(shù)值例子和結果相匹配。保角映射技術也被Haddon成功地用于解決兩個相同或不同孔洞在單軸拉伸下的問題。逐次逼近的Schwarz交替法也被Ting et al, Ukadgaonker和Patil以及其他許多人成功用于解決各種各樣的孔洞配置問題。在1961年savin編譯了該問題的完整論文。遺憾的是，除了Iwaki和Miyao的成果，其他的解析解只適用于孔邊無應力的情況，而實際工程中往往不是這種情況。為了能覆蓋更大的適用范圍，本文利用閉合形解解決無限域中有兩個相同或者不同圓洞在無限遠處及孔內周邊受荷載的問題。該方法的應用可以從經典的穿孔

5、面板結構完整性分析，到許多圓柱形管道與大壓力容器的連接中多邊接口穩(wěn)定分析。盡管本文只考慮了邊界條件是壓力的情況，該方法實際上還可以擴展到其他邊界條件，只要像解決方法部分討論的那樣，做點細微的改變。問題描述問題的概要展示在圖1，圓孔中心O1和O2,半徑a1和a2，孔洞的距離為h，孔內壓力P1和P2，S1和S2是施加在無限遠處的第一和第三主應力，是第一主應力與圓心連線的夾角，每個孔洞都有一個符合右手原則的笛卡爾坐標系，原點和孔中心相重合，X軸方向指向圓孔中心連線，就像圖所示。每個孔上也有一個極坐標系。平面極坐標和重要的平面極坐標參數(shù)定義如下： 解決方法中的表示方法與Green的類似。如果在平面上沒

6、有孔洞，應力可以用艾里應力函數(shù)導出來。為了說明兩個孔洞的效果，每個孔洞都疊加有另外的艾里應力函數(shù)，這些應力函數(shù)在無限遠處應力為零，并且在平面內處處滿足應力位移均單值的情況。在孔洞周圍疊加的應力函數(shù)是增函數(shù)，然后利用邊界條件推導應力分布和計算位置系數(shù)。給定的原始應力分成三部分，使用壓縮正公約，孔1的艾里應力函數(shù)用下式表示：疊加的艾里應力函數(shù)必須在無限遠處應力函數(shù)為零，并且應力位移都是單值的，因此函數(shù)是這種形式的：孔1的另外一組函數(shù)是和之前函數(shù)的線性組合。疊加的孔2的應力函數(shù)也是類似的：函數(shù)的未知系數(shù)由邊界條件求得。最后的艾里應力函數(shù)是各個艾力應力函數(shù)的疊加：應力函數(shù)在附錄A坐標變換公式中用表示。

7、孔1邊界條件在函數(shù)中是自動滿足的，孔邊的應力必須等于施加的應力，切應力應該為零。相似的，最終的艾里應力函數(shù)可以用表示，孔2的應力可以用類似7-9的等式推導，邊界條件如下：聯(lián)立方程10-13可以求得系數(shù)。具體的推導過程在附錄B。盡管這個方法只適用于孔邊存在內壓力的邊界條件但是他的解題思路可以應用于其他的邊界條件，只要使用適當?shù)膽瘮?shù)和確定邊界方程10-13理論驗證兩孔相同的情況：無限域平面上存在兩個相同孔洞而且受一般面力的問題已經被Ling在1948年推導出來了。Ling的方法可以被認為是兩孔相同且壓力為零的特殊情況，表1和表2表明了兩種方法在孔邊產生了相同的切應力。從表2的最后一行也可以證明

8、新衍生的方法符合經典的針對一個圓孔的基爾斯解，只要將兩個洞距離設置成很遠。Ling也提供了兩個圓孔相切時的切向應力集中系數(shù)。遺憾的是，這些系數(shù)不能被證明是正確的，因為新衍生的一系列方法在兩個孔相切時都不收斂。但是這局限性不能限制該方法的應用，因為相切的兩個圓孔在實際生活中不現(xiàn)實。Bargui 和 Abousleiman也用Ling的方法研究了非靜力情況下的孔邊的切向應力分布。圖2表明了7個不同各向異性的應力分布。結果與Bargui 和Abousleiman的結果相同。圓孔不相同影響無限域平面存在兩個不同的圓孔受單軸應力荷載的問題已經被Haddon利用保角映射技術推導出來。Haddon的方法適用

9、于圓孔內無應力且無限遠處有一個主應力為零的情況。表3表明了這兩種方法在孔邊的44/48地方產生相同的切向應力結果。剩下的4處地方在小數(shù)點后第三位細微的差別可能是因為Haddon使用了10-4的精度而新的方法使用的是10-6的精度四舍五入。對于兩個不同圓孔在無限遠處受單軸應力、孔內應力和均勻剪切應力作用的情況在1980年被Iwaki和Miyao使用雙極坐標推導出來了。表3表明了當只有孔2有內壓力時，從新衍生的方法中可以得到孔邊最大切向應力。結果與Iwaki 和Miyao的一致。Iwaki 和Miyao的方法等效于新衍生的方法但是不能推廣到平面上多于兩個圓洞的情況。另一個方面，這個方法可以推廣到任

10、意孔形和任意尺寸就像Green在1940年展示的那樣。試驗驗證迄今為止，一個多邊結的機械穩(wěn)定性仍然在石油工業(yè)中最具挑戰(zhàn)性的問題之一。分支井由一個或多個偏離母井的井筒分支組成。這些分支井筒的作用是通過增加流域面積或者從獨立巖層里獲取以增加產能。由于地質力學效應，分支井筒或甚至主井孔可能在鉆井，完井，或者在作業(yè)過程中消失，從而導致在生產進度上巨大的損失和延遲。兩井之間的小角度的連接問題，已經得到了普遍的模仿，被假設為平面應變條件下一個無限大的平面有兩圓孔的問題。所受的應力包括附加應力，遠處的水平主應力以及井筒附近的土壓力。Papanastasiou et al做了個關于多邊結構連接的實驗室測試項目

11、。圖4展示了他們獲取的突起形狀，試驗2希望得到和實驗1相同的結果。實驗6只包含一個井筒，所以它與本研究不相關?；赑apanastasiou et al提供的數(shù)據(jù)，下面的設置是為了確認實驗1、3和5的正確性：a1=18.5mma2=15.5mmh=44mm圖5-8展示了模擬上述實驗的相應的最大主應力的分布，實驗結果不足以精確到用來定量比較，但是使用新派生的方法得到的應力分布表明了與突起形狀優(yōu)良的定性一致性。數(shù)值結果簡單的例子用來闡述新方法。新的參數(shù)如下所示：S1=1, S2=0.8, P1=P2=0.2, and a1=1.只有孔邊的切向應力分布被呈現(xiàn)，因為這是關鍵位置最重要的應力。應力場方向

12、的影響假設兩孔尺寸一樣，即a2=1。研究4個應力場的方向，0度，30度，60度，90度。第一個方向意味著最大主應力方向與孔中心連線一致。最后一個方向意味著最小主應力與兩孔連線一致。其他兩種情況考慮到中間的方向。由于對稱性，兩個孔具有相同的應力分布。圖9表明了在度的情況下，兩孔分離距離為0.2,0.5,1.0和2.0時任一孔邊的切向應力。相應的中心連線距離為2.2，2.5，3.0和4.0。單孔的結果也作為基線拿來作對比。有趣的是，對于h=4.0和h=3.0產生的應力集中系數(shù)相對于單孔結果更小。換一句話說，孔邊最大的切向應力不總是隨著兩孔之間的距離減少而增大。當凈距減少，最大值從一開始的度處朝遠離

13、另一個孔的方向移動（沿著180方向）。高應力集中也在處形成。對于凈距小于1的情況，0度附近的區(qū)域變成了臨界區(qū)。對于凈距等于0.5（h=2.5），孔邊最大的切向應力超過了單孔凈距為2的應力值的15.9%。對于h=2.2，最大的切向應力值增加了67.2%。圖10展示了相同凈距下30度時每一孔邊的切向應力。最大應力值開始在90度，然后沿著度移動并且幅度增加。與此同時，最大應力值開始在度，然后沿著度移動。在度附近的應力分布變化十分復雜。對于任何假設的凈距，30時孔邊的最大切向應力值總是比0時的高。比如，最大值比h=2.5單孔情況下的大36.5%。對于h=2.2，最大切向應力增加了93.7%。圖11闡述

14、了60度的應力分布，比30度應力更為集中。當h=2.5,孔邊的最大切向應力比起單孔情況增加了57.7%，對于凈距等于0.2，最大應力值比單孔解大了126.2%。90度的結果展示在圖12，對于假設的所有凈距，孔邊最大切向應力都在度處。對于凈距等于0.5的情況，最大切向應力值比起單孔情況的增加了60.0%。對于凈距等于0.2的情況，相應的數(shù)據(jù)為134.7%?？傊瑧Ψ植茧S著施加應力方向改變而變化顯著。從之前的插值情況看，平面在最大主應力與孔中心連線一致時最穩(wěn)定，這些現(xiàn)象Bargui 和 Abousleiman之前就觀察到了。外加應力相對大小的影響分析中采用了主應力為S2=0.7 and S2=0

15、.6的假設，基于前面分析得到的結論，角度接近于零以減少應力集中，其他參數(shù)都保持不變。圖13表明相同凈距下對于S2=0.7的孔邊的切向應力。對于S2=0.8，相同的的趨勢在圖9重復，但是凈距減少效果不明顯。最大切向應力依然低于單孔的情況。對于凈距等于0.2，最大值只比單孔情況的高30.1%。圖14描繪了s2=0.6的切向應力分布。再一次地，呈現(xiàn)相同的趨勢，但是應力集中降低了。對于h=2.2，最大切向應力仍然低于單孔情況，也就是說，兩個孔有助于穩(wěn)定彼此，對于假定的四個凈距，兩個孔的都比單孔的來得穩(wěn)定?？變葔毫Φ挠绊懠俣ǖ诙€孔內兩個較小壓力值為P2=0.1和P2=0，角度還是選擇接近于零，所有其他

16、的參數(shù)保持不變。因為兩個孔洞應力分布不再相同，我們在分析中分開考慮。圖15表示了第一個孔在P2=0.1的孔邊切向應力。在圖9中P2=0.2情況下相同的趨勢也出現(xiàn)，但是效果更明顯。對于相同的凈距，P2=0.2情況下，最小值相對更小，最大值相對更大。邊界的最大應力比起h=2.5,h=2.2的單孔高了28.0%和98.5%。圖16闡明了P2=0.1下孔2的切向應力分布。P2=0.2時出現(xiàn)相同的趨勢但是效果不太明顯，孔邊最大的應力只比h=2.5，和h=2.2的單孔下的高了11.5%和50.5%。類似的結論可以在P2=0的情況下得出。圖17展示了孔1的應力分布。相比較于單孔h=2.5和h=2.2情況最大

17、應力值增加了40.2%和129.9%。圖18描述了孔2的應力分布，除了h=2.2的情況，對于P2=0.1也有相同趨勢但是效果更加確定。h=2.2時，在=0度附近應力分布很復雜。存在兩個關于=0極大值對稱，=0本身又是個局部極小值?？?尺寸的影響所有的荷載條件都跟第一個分析一樣即S1=1，S2=0.8，P1=P2=0.2依然取為零，孔1半徑為1。只有孔2的尺寸是變化的，假設兩個a2值，a2 =0.5和a2=0.25。圖19展示了孔1在a2=0.5時的孔邊切向應力。距離依然設為0.2,0.5,1.0,2.0。相應的，新的孔連線距離為1.7,2.0,2.5,3.5，100度到260度之間的切向應力隨著距離變化基本沒變化，這是因為孔1的尺寸是孔2的兩倍。所以，遠離孔2的區(qū)域不太受到影響。他們有點屏蔽了第二個孔造成的影響。對于h=1.7，有兩個彼此接近的極值，并且他們關于=0對稱，同時=0本身又是個局部極小值。圖20展示了孔1在a2=0.25情況下孔邊切向應力?？梢园l(fā)現(xiàn)有相同的趨勢，屏蔽效果更好，因為孔1是孔2尺寸的4倍大，大部分區(qū)域應力分布不因距離而變化，只有少部分直接面對孔2的區(qū)域應力分布強烈的根據(jù)h值不同而變化。對于距離為0.2存在兩個關于=0對稱的極大值，與a2=0.5的情況類似，但是對于a2=0.25的更顯著