數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念習(xí)題及答案

1、第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一.填空題1.若是取自正態(tài)總體的樣本， 則服從分布 .2.樣本來自總體則 ； _。其中為樣本均值，。3.設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本， ，則當(dāng) 時， 時，統(tǒng)計(jì)量服從分布，其自由度為 2 . 4. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立, 且都服從正態(tài)分布, 而和 是分別來自總體和的簡單隨機(jī)樣本, 則統(tǒng)計(jì)量. 5. 設(shè)相互獨(dú)立, 與分別 為X與Y的一個簡單隨機(jī)樣本, 則服從的分布為 6. 設(shè)隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量, 且隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立, 令, 則F(1,n)分布. 解：由, 得. 因?yàn)殡S機(jī)變量, 所以 再由隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立, 根據(jù)F分布的構(gòu)造, 得7. 設(shè)是總體的樣本, 則統(tǒng)

2、計(jì)量服從的分布為 (需寫出分布的自由度).解：由知, 于是8. 總體為總體X的一個樣本, 設(shè)服 從 F(1,1)分布(說明自由度) 解：由, 有, 又, 故 因?yàn)榕c獨(dú)立, 所以9.判斷下列命題的正確性：( 在圓括號內(nèi)填上“ 錯” 或“ 對”) (1) 若 總 體 的 平 均 值 m與 總 體 方 差 s2 都 存 在 ， 則 樣 本 平 均 值 是 m 的 一 致 估 計(jì)。 ( 對 ) (2) 若 則 稱 為 q 的 漸 近 無 偏 估 計(jì) 量 .( 錯 )(3) 設(shè)總體X 的期望E(X)，方差D(X)均存在， 是X 的一個樣本 ， 則統(tǒng)計(jì)量是 E(X) 的無偏估計(jì)量。 ( 對 )(4) 若

3、且 則 以 估 計(jì) q 較 以 估 計(jì) q 有 效 。 ( 錯 ) (5) 設(shè)為q 的估計(jì)量，對任意e > 0，如果 則稱 是q 的一致估計(jì)量 。 ( 對 ) （6）樣本方差是總體中s2 的無偏 估計(jì)量。是總體X中s2的有偏估計(jì)。 （ 對 ）10.設(shè)是取自總體的一個樣本，則下面三個均值估計(jì)量 都 是總體均值的無偏估計(jì)，其中方差越小越有效，則 最有效.二、選擇題1、設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中已知，未知，是取自總體的一個樣本，則非統(tǒng)計(jì)量是( D ).A、B、C、D、2、設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，則服從自由度為的t分布的隨機(jī)變量是( B ).A、 B、 C、 D、3、設(shè)，為的樣本，則( C

4、 ).A、B、C、D、4、設(shè)是總體的樣本，分別是樣本的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則有( C )A、 B、 C、 D、 5. 簡 單 隨 機(jī) 樣 本 () 來 自 某 正 態(tài) 總 體， 為 樣 本 平 均 值， 則 下 述 結(jié) 論 不 成 立 的 是 ( C )。( A ) 與 獨(dú) 立 ( B ) 與 獨(dú) 立 ( 當(dāng) )( C ) 與 獨(dú) 立( D ) 與 獨(dú) 立 ( 當(dāng) )6. 設(shè) ， 來自總體 來自總體 ， 且 X 與 Y 獨(dú) 立。 則如下結(jié)論中錯誤的是 ( D )。( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 7. 設(shè)是取自總體的樣本，則可以作為的無偏估計(jì)量是( A ).A、B、C、D、8. 3

5、、設(shè)是來自母體的容量為3的樣本，則下列說法正確的是( B ).A、都是的無偏估計(jì)且有效性順序?yàn)锽、都是的無偏估計(jì)，且有效性從大到小的順序?yàn)镃、都是的無偏估計(jì)，且有效性從大到小的順序?yàn)镈、不全是的無偏估計(jì)，無法比三. 計(jì)算題1、在總體中隨機(jī)地抽取一個容量為16的樣本，求樣本均值在 29到31之間取值的概率.解：因，故，即2、設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命(單位：小時)，抽取一容量 為9的樣本，其均方差，問是多少？解：因未知，不能用來解題，而，而 由表查得3、設(shè)為總體的一個樣本，求.解：4、設(shè)總體，從此總體中取一個容量為6的樣本， 設(shè)，試決定常數(shù)，使隨機(jī)變量服 從分布.解：，即時，5、設(shè)隨機(jī)變量服從分

6、布，求的分布. 解：因?yàn)椋渲校?. 利 用 t 分 布 性 質(zhì) 計(jì) 算 分 位 數(shù) t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 x N ( 0， 1 ) ， p ( x < 1.96 ) = 0.975 ) 解: 當(dāng) n 足 夠 大 時，t 分 布 近 似 N (0，1), 當(dāng) u N (0，1 ) 時 ，分 位 數(shù) u1-a 近 似 t1-a( n ) 。 而 p u ³ u0.975 =0.025 時 ， u0.975 = 1.926 » 2 ， t0.975 ( 50 ) » 27. 設(shè) Xn為 來 自 有 均 值 m 和 r 階 中

7、心 矩 mr 的 總 體 X 的 樣 本，試證明。又此式說明總體的r階 矩與樣本r 階矩有什么關(guān)系 ？證 ： 上 述 結(jié) 果 表 明 總 體 的 r 階 矩 與 樣 本 的 r 階 矩 相 等 , 說 明 樣 本 的 r 階 中 心 矩 是 總 體 X 的 r 階 中 心 矩 mr的 無 偏 估 計(jì) 。8. 設(shè)總體, 為來自總體X的樣本. 令.試確定常數(shù)C, 使CY服從分布, 并指出其自由度.解：由, 得又互相獨(dú)立, 故 且二者獨(dú)立. 從而有 得分布的自由度為2. 9. 設(shè)分別是來自正態(tài)的總體X與Y的樣本,求.解:方法1:由 可得 . 方法2: .10.設(shè) 是 取 自 母 體 N ( m，s2 ) ，容 量 為 n的 兩 個 相 互 獨(dú) 立 的 樣 本 X1 、X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、Yn 的 均 值 ， 試 確