線性規(guī)劃在現(xiàn)代管理中的應(yīng)用論文

1、 本科學(xué)年論文論文題目： 線性規(guī)劃在現(xiàn)代管理中的應(yīng)用 學(xué)生姓名：學(xué) 號(hào)：專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)：09級(jí)應(yīng)數(shù)本二班指導(dǎo)教師：完成日期： 2010年 12 月 10 日目 錄一、 線性規(guī)劃 1二、線性規(guī)劃的模型§從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟§所建立的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)三、求線性規(guī)劃最優(yōu)解的方法四、實(shí)例研究參考文獻(xiàn) 線性規(guī)劃在現(xiàn)代管理中的應(yīng)用內(nèi) 容 摘 要 線性規(guī)劃是解有約束條件下最優(yōu)化問(wèn)題的一種技術(shù)，目標(biāo)函數(shù)和資源約束條件都是線性的，從理論上說(shuō)，線性規(guī)劃問(wèn)題可以用圖解法和代數(shù)法來(lái)解。圖解法包括找出可行域和移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，直到在可行域解集合的一個(gè)隅角上找到最優(yōu)解。代數(shù)法

2、是找出可行解集合的隅角和由這些隅角決定的決策變量的值，然后評(píng)價(jià)每組決策變量的目標(biāo)函數(shù)，選出其中最大值或最小值。關(guān)鍵詞：決策變量 約束條件 隅角 目標(biāo)函數(shù) 等利潤(rùn)線 序 言 線性規(guī)劃是一種用來(lái)解決一組特殊的有約束條件下最優(yōu)化問(wèn)題的方法，在這里目標(biāo)函數(shù)是線性的，并有一個(gè)或多個(gè)線性的約束條件，它是一種很有用的決策方法，在許多管理問(wèn)題中都能應(yīng)用。線性規(guī)劃不僅在決策中有用，而且也有助于理解有約束條件下最優(yōu)化和機(jī)會(huì)或成本的概念。.線性規(guī)劃 線性規(guī)劃時(shí)運(yùn)籌學(xué)中研究較早，發(fā)展較快，應(yīng)用廣泛，方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力，物力資

3、源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好，一般的，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素。.線性規(guī)劃的模型 .從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型一般有以下三個(gè)步驟： ）根據(jù)影響所要達(dá)到目的的因素找到?jīng)Q策變量。 ）由決策變量和所在達(dá)目的之間的函數(shù)關(guān)系確定目標(biāo)函數(shù)。 ）由決策變量所受限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。 .所建立的數(shù)學(xué)模型有以下特點(diǎn)： ）每個(gè)模型都有若干個(gè)決策變量（，x），其中為決策變量個(gè)數(shù)，決策變量的一組值表示一種方案，決策變量一般是非負(fù)的。 ）目標(biāo)函數(shù)是決策

4、變量的線性函數(shù)，根據(jù)具體問(wèn)題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統(tǒng)稱(chēng)為最優(yōu)化（opt）。 ）約束條件也是決策變量的線性函數(shù)。 .線性規(guī)劃求最優(yōu)解的方法： ）圖解法 ）代數(shù)法 .實(shí)例研究 )構(gòu)造問(wèn)題：假定有一家企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品和，它們需要在三種不同的機(jī)器上加工，在生產(chǎn)期內(nèi)，每種機(jī)器可利用的工時(shí)數(shù)是有限的，假定在相關(guān)產(chǎn)量范圍內(nèi)每種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)是個(gè)常數(shù)，企業(yè)面臨的問(wèn)題是，在有限的可利用的機(jī)器工時(shí)數(shù)的條件下，確定能使利潤(rùn)最大的和的數(shù)量（和）。和則稱(chēng)為決策變量。 管理當(dāng)局的目標(biāo)必須用一種函數(shù)形式來(lái)表示，即目標(biāo)函數(shù)。在這個(gè)問(wèn)題里，目標(biāo)函數(shù)為：=+ 這里代表總利潤(rùn)，和分別為生產(chǎn)個(gè)單位和的利潤(rùn)。解

5、得：式是一條直線，它的垂直截距等于總利潤(rùn)與單位產(chǎn)品的利潤(rùn)的比率（即），它的斜率為/比率的負(fù)值（即兩種產(chǎn)品的相對(duì)盈利）。因?yàn)椤⒍际钦?，這條直線的斜率是負(fù)的。 假如產(chǎn)品的單位產(chǎn)品利潤(rùn)為美元，產(chǎn)品為美元，那么目標(biāo)函數(shù)為：即如果利潤(rùn)量既定，就代表能獲這一利潤(rùn)的所有的和的組合。因此，可把看作是一個(gè)等利潤(rùn)方程。例如：如果，能獲這一利潤(rùn)的一些和的組合見(jiàn)下表：（表一） 表一這條美元的等利潤(rùn)線及和的等利潤(rùn)線見(jiàn)下圖：（圖圖一： ： ： 管理當(dāng)局的問(wèn)題是在企業(yè)資源有限的情況下，如何盡可能獲得最高利潤(rùn)。 前面講過(guò)，產(chǎn)品和需要在三臺(tái)不同的機(jī)器上加工。假定這三臺(tái)機(jī)器分別是、和。下表列出在每臺(tái)機(jī)器上生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的工

6、時(shí)數(shù)和在生產(chǎn)期內(nèi)每臺(tái)機(jī)器能利用的工時(shí)數(shù)。（表二） 機(jī)器單位產(chǎn)品的機(jī)器工時(shí)需要量可利用的總機(jī)器工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)品（表二）單位產(chǎn)品的資源（機(jī)器工時(shí)）需要量和可資利用的總機(jī)器工時(shí)由題意，線性規(guī)劃的表達(dá)式如下：求最大值：(目標(biāo)函數(shù))要求滿足： 機(jī)器的約束條件 機(jī)器的約束條件 機(jī)器的約束條件 、 非約束條件可行區(qū)域：下一步是確定不違反約束條件的產(chǎn)量和。個(gè)約束條件如圖二所示 圖二：機(jī)器的約束條件 ：機(jī)器的約束條件 ：機(jī)器的約束條件 一般地說(shuō)，可行區(qū)域包括所有的能同時(shí)滿足所有約束條件的所有決策變量的值。在這個(gè)例子中，生產(chǎn)的可行區(qū)域是能滿足所有個(gè)約束條件的決策變量和組合的集合。如圖陰影部分所示。在它的邊界上或邊界內(nèi)

7、的任何點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)，均能滿足約束條件。如點(diǎn)不再可行區(qū)域內(nèi)，因?yàn)樗茨軡M足機(jī)器的約束條件，線性規(guī)劃問(wèn)題就是要在可行區(qū)域內(nèi)尋找一個(gè)能使利潤(rùn)最大的和的組合。 圖解法： 圖三 ： ： ： ：約束條件 ：約束條件 ：約束條件 圖三顯示的是可行區(qū)域和三條等利潤(rùn)函數(shù)，能滿足所有約束條件的最高的利潤(rùn)線為，它與可行域的點(diǎn)相觸，點(diǎn)坐標(biāo)，就是這一利潤(rùn)最大化問(wèn)題的答案。 分配給每種產(chǎn)品的機(jī)器工時(shí)數(shù)等于和乘以表二中所定的機(jī)器工時(shí)需要量，每臺(tái)機(jī)器分配到每種產(chǎn)品的工時(shí)數(shù)見(jiàn)表三。注意，機(jī)器和的可供利用的工時(shí)數(shù)都被用完，機(jī)器還有沒(méi)有用完的。生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要機(jī)器工時(shí)，生產(chǎn)單位產(chǎn)品也需要工時(shí)，總共需要工時(shí)，由于可資利用的工時(shí)數(shù)為工時(shí)

8、，剩余未用的有公時(shí)，用線性規(guī)劃的語(yǔ)言，我們就說(shuō)機(jī)器和的約束條件是繃緊的，但機(jī)器的工時(shí)是松弛的，的約束條件是非繃緊的。機(jī)器工時(shí)數(shù)分配給可供利用的工時(shí)數(shù)松弛的工時(shí)數(shù)產(chǎn)品產(chǎn)品 （ 表三）分配給每種產(chǎn)品的機(jī)器工時(shí)數(shù) 在圖三中，利潤(rùn)最大的解發(fā)生在可行域的一個(gè)隅角，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，所以最優(yōu)解總是在其中的一個(gè)隅角上，只平價(jià)隅角上的解，就能使計(jì)算量大大減少。 圖四 在圖四中，畫(huà)有兩條不同的等利潤(rùn)線和，原來(lái)的利潤(rùn)方程：的最優(yōu)解在點(diǎn)，在另一目標(biāo)函數(shù)里，的單位利潤(rùn)是美元，的單位利潤(rùn)是美元，因此，它的利潤(rùn)方程為：。對(duì)利潤(rùn)函數(shù)來(lái)說(shuō)，最優(yōu)解在隅角點(diǎn)。 任何線性規(guī)劃的解總是在一個(gè)隅角上，在這里，目標(biāo)函數(shù)的

9、斜率對(duì)于確定哪個(gè)隅角最優(yōu)解有決定性作用。 代數(shù)法：剛才用的圖解法能說(shuō)明線性規(guī)劃的解題原理，也能實(shí)際用于解決有些問(wèn)題，但是，如果有兩個(gè)以上決策變量，就無(wú)法使用圖解法。幸而，有一種代數(shù)法，至少在理論上，可用來(lái)解幾乎任何規(guī)模的線性規(guī)劃，如上提到的問(wèn)題里有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，三個(gè)表示資源約束條件的不等式和非負(fù)條件，即：求最大： 要求滿足： 、 再看圖四，點(diǎn)是約束條件和垂直軸(）的交點(diǎn)，因此，可以通過(guò)把代入第個(gè)約束條件求得：。所以，在點(diǎn)，決策變量的值為，。點(diǎn)是約束條件和的交點(diǎn)，將兩個(gè)約束條件合并求解：，。所以在點(diǎn)決策變量的值為：，。 同理，在點(diǎn)決策變量的值為：，。 每個(gè)隅角上決策變量的值和它的利潤(rùn)見(jiàn)表四：隅角點(diǎn)決策變量利潤(rùn) （表四）決策變量的值和每個(gè)隅角點(diǎn)的利潤(rùn) 隅角點(diǎn)的利潤(rùn)最大（）。因此，企業(yè)的最優(yōu)解是生產(chǎn)單位和單位。參 考 文 獻(xiàn) 【美】 ·克雷格·彼得森，·克里斯·劉易斯. 管理經(jīng)濟(jì)學(xué) 中國(guó)人民大學(xué)出版社 線性規(guī)劃 盧開(kāi)澄 清華大學(xué)出版社; 第1版 (2009年2月1日) 線性規(guī)劃導(dǎo)論 作者：（美）Leonid Nison Vasers