系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析

1、第3章 系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(微分方程或傳遞函數(shù)之后,就可以采用不同的方法,通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性,時間響應(yīng)分析是重要的方法之一。第3.1節(jié) 時間響應(yīng)及其組成一、時間響應(yīng)的概念所謂時間響應(yīng)指系統(tǒng)在外加激勵作用下,其輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系?；蛘哒f 在輸入作用下,系統(tǒng)的輸出(響應(yīng)在時域的表現(xiàn)形式;在數(shù)學(xué)上,就是系統(tǒng)的動力學(xué)方程在一定初始條件下的解。自變量為時間t ,因變量為輸出(o x t y t二、時間響應(yīng)的組成 分析:第一、二項(xiàng)是由微分方程的初始條件(即系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的自由振動,即自由響應(yīng)。應(yīng)該說第三項(xiàng)的自第三項(xiàng)是由作用力引起的自由振動即自由響應(yīng),其振動頻

2、率均為n與作用力頻率無關(guān),由響應(yīng)并不完全自由。因?yàn)樗姆凳艿紽的影響,當(dāng)然,它的頻率n自由即在此。第四項(xiàng)是由作用力引起的強(qiáng)迫振動即強(qiáng)迫響應(yīng),其振動頻率即為作用力頻率。因此系統(tǒng)的時間響應(yīng)可從兩方面分類:按振動性質(zhì)可分為自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng),按振動來源可分為零輸入響應(yīng)(即由“無輸入時系統(tǒng)的初態(tài)”引起的自由響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)(即在“無輸入時的系統(tǒng)初態(tài)”為零而僅由輸入引起的響應(yīng) Array所以我們的研究對象是:零狀態(tài)響應(yīng)。另外還有兩個需了解的概念:瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng):系統(tǒng)在外加激勵作用后,從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。反映了系統(tǒng)的快、穩(wěn)特性。穩(wěn)態(tài)響應(yīng):時間趨于無窮大時,系統(tǒng)的輸出

3、狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。三、系統(tǒng)方程的特征根影響系統(tǒng)自由響應(yīng)的收斂性和振蕩 第3.2節(jié) 典型的輸入信號由于系統(tǒng)的輸入具有多樣性,所以在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時,需要規(guī)定一些典型的輸入信號,然后比較各系統(tǒng)對典型信號的時間響應(yīng)。不同系統(tǒng)或參數(shù)不同的同一系統(tǒng)對同一典型信號的時間響應(yīng)不同,反映出各種系統(tǒng)動態(tài)特性的差異,從而可以定出相應(yīng)的性能指標(biāo),對系統(tǒng)的性能予以評定。盡管在實(shí)際中,輸入信號很少是典型信號,但由于系統(tǒng)對典型信號的時間響應(yīng)和對任意信號的時間響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系統(tǒng),所以知道系統(tǒng)對典型信號的響應(yīng)就可求出對任意輸入的響應(yīng)。常用的典型信號有: 脈沖響應(yīng)函數(shù)(權(quán)函數(shù):當(dāng)一個系統(tǒng)受到一個單位脈沖激

4、勵時所產(chǎn)生的響應(yīng)。應(yīng)指出,單位脈沖函數(shù)只是數(shù)學(xué)上的概念,工程上不可能發(fā)生。但是,時間很短的沖擊力、脈沖信號、天線上的陣風(fēng)擾動都可以看成此類,可用脈沖函數(shù)模擬。單位階躍信號:實(shí)際工作中如開關(guān)的轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、斷開都可看作階躍作用,它可以用方波進(jìn)行模擬。單位斜坡信號:它是一各等速度函數(shù),如隨動系統(tǒng)中位置做等速移動的指令信號、數(shù)控機(jī)床加工斜面時的進(jìn)給指令信號、軋鋼機(jī)壓下裝置的移輥信號、大型船閘勻速升降時的信號等,它可用三角波模擬。單位拋物線信號:它是一種等加速度函數(shù),實(shí)際中如隨動系統(tǒng)中位置作等加速度移動的指令信號,它可用積分器的串聯(lián)來模擬。正弦信號:實(shí)際中如電源的波動、機(jī)械振動、元件的噪聲干擾

5、、海浪對艦船的擾動力等。選擇以上哪種函數(shù)作為典型輸入信號應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工作條件而定。例如如果控制系統(tǒng)的輸入量通常是隨時間逐漸變化的函數(shù),象雷達(dá)天線、火炮、機(jī)床、控溫裝置等,以選擇斜坡函數(shù)較為合適;如果控制系統(tǒng)的輸入量是沖擊量,象導(dǎo)彈發(fā)射,以選擇脈沖函數(shù)較為合適;如果控制系統(tǒng)的輸入量隨時間變化的往復(fù)運(yùn)動,象研究拭目機(jī)床振支,以選擇正弦函數(shù)為好;如果控制系統(tǒng)的輸入量是突然變化的,象突然合電,則以選擇階躍函數(shù)為宜。值得注意的是,時域的性能指標(biāo)往往是選擇階躍函數(shù)為輸入來定義的。第3.3節(jié) 一階系統(tǒng)可用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),其微分主程及傳遞函數(shù)分別為:(1(1o o i o i T x

6、 t x t x t X s G s X s Ts +=+T 為一階系統(tǒng)的時間常數(shù),它表示了一階系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的固有特性,稱為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。一、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) (注:11111Ts T s T=+ 21(tTw t e T-=- 即為響應(yīng)速度。 取不同的t 值得:2222(110110.3860.3861120.1350.01800o o t w t w t T TT TTT T T T T T-由圖可知,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一單調(diào)下降的指數(shù)曲線。如果將這個指數(shù)曲線衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程,則可算得相應(yīng)的時間為4T 。稱此時間(4T 為過渡過程時間或調(diào)

7、整時間,記為s t 。T 越小,s t 越短,其過渡過程的持續(xù)時間愈短,這表明系統(tǒng)的慣性愈小,系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)的快速性能越好。二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(注:111111Ts s s s T=-+1(t Tou x t e T-= 即為響應(yīng)速度方程。 (1001110ou ou t x t x t TT T T T T T由圖可知,T 越小,響應(yīng)速度越快,當(dāng)4t T 時,其響應(yīng)值達(dá)穩(wěn)態(tài)值的98%,故4s t T = 且 (ou w t x t = 三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) (000.368(o o t x t T T t x t T-=四、不同時間常數(shù)下的響應(yīng) 五、一階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 第3

8、.4節(jié) 二階系統(tǒng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及特征方程可用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。如圖,彈簧-阻尼系統(tǒng), 微分方程為:.m y c y ky f += L 變換后得傳遞函數(shù)為:2(1(Y s G s F s ms cs k=+ 令2n n kkmm=n 為無阻尼自然頻率。 22n c cmmk=為阻尼比。故2221(2n n nG s k s s =+ 1k 為系統(tǒng)增益,當(dāng)其等于1時得典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 222(2nn nG s s s =+ 式中 n是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),表明系統(tǒng)本身與外界作用無關(guān)的固有特性?？梢姰?dāng)阻尼比取不同值時,特征根也不同。 當(dāng)0=時(無阻尼兩特征根為共軛純

9、虛根 1.2n s j =± 傳遞函數(shù)為2(nn n G s s j s j =+-極點(diǎn)位于虛軸上,如圖3-9(a 所示。 當(dāng)01<<時(欠阻尼兩特征根為共軛復(fù)根21.21n n n d s j j =-±-=-±其中21d n =-為有阻尼自然頻率。 傳遞函數(shù)為2(nn d n d G s s j s j =+-極點(diǎn)位于s平面左半平面,如圖(b 所示。 當(dāng)1=時(臨界阻尼兩特征根為相等的負(fù)實(shí)根 1.2n s =-傳遞函數(shù)為 22(nn G s s =+ 極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上。如圖3-9(c所示。 當(dāng)1>時(過阻尼特征方程有兩個不等的負(fù)實(shí)根21.21

10、n n s =-±- 傳遞函數(shù)為222(1(1nn n n n G s s s =+-+-極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上,如圖3-9(d所示。 二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 總: 第3.5節(jié) 欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)通常,系統(tǒng)的性能指標(biāo)是根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)給出。其原因有二:一、產(chǎn)生階躍輸入比較容易,而且從系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)也較容易求得對任何輸入的響應(yīng);二、在實(shí)際中,許多輸入與階躍輸入相似,而且階躍輸入又往往是實(shí)際中最不利的輸入情況。因?yàn)橥耆珶o振蕩的單調(diào)過程的過渡時間太長,所以,除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外,通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩,其目的是為了獲得較短

11、的過渡過程。所以通常取0.40.8= 。為了說明欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程的特性,通常采用下列性能指標(biāo): 1.上升時間r t 2.峰值時間p t 3.最大超調(diào)量p M 4.調(diào)整時間s t 5.振蕩次數(shù)N 一、上升時間r t響應(yīng)曲線從原工作狀態(tài)出發(fā),第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間。(對于過阻尼系統(tǒng),一般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間稱為上升時間。 令 21a r c t a n -= 得,2,3,.d r t =-因?yàn)樯仙龝r間r t 是(o x t 第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值的時間,故取d r t =-,即r dt -=因21d n =-,所以當(dāng)一定時,n

12、增大,r t 就減小;當(dāng)n 一定時,增大,r t 就增大。p 響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間。將下式對時間t 求導(dǎo),并令其為零,便可求得峰值時間p t ( sin 00,2,.p o t t d p d p d p p ddx t dt t t t t =可見峰值時間是有阻尼振蕩周期2d的一半。因21d n =-,所以當(dāng)一定時,n 增大,p t 就減小;當(dāng)n 一定時,增大,p t 就增大。 三、最大超調(diào)量p M s在過渡過程中(x t與穩(wěn)態(tài)值之差進(jìn)入允許的誤差范圍所需的時間。為穩(wěn)態(tài)值的2%o或5%。 五 . 振蕩次數(shù) N在過渡過程時間 0s t t 內(nèi), ( o x t 穿越其

13、穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。即:2/sdt N =因此,當(dāng) 00.7, 0.02<<=時,由 4 , s nt =d =N = 當(dāng) 00.7, 0.05<<=時,由 3 , s nt =d =N = 可以看出, 振蕩次數(shù) N 隨著 的增大而減小,它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。通過以上討論,可得如下 結(jié)論 :n 提高 n ,可以提高二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度,減少上升時間 r t 、 峰值時間 pt 和調(diào)整時間 s t ;增大 , 可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能, 即降低超調(diào)量pM , 減少振蕩次數(shù) N , 但增大上升時間和峰值時間。一般情況下,系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下工作,若 過小

14、,則系統(tǒng)的振動性能不符合要 求,瞬態(tài)特性差。因此,通常要根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比 。(2系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能之間往往是存在矛盾的。 比如 m c k -系統(tǒng),要想增加n 就要通過提高 k 來實(shí)現(xiàn),但要增大 就希望減小 k 。因此,既要減弱系統(tǒng)的振蕩性能,又要系統(tǒng)具有一定的響應(yīng)速度,就只有選取合適的 和 n 值來實(shí)現(xiàn)。五、二階系統(tǒng)計(jì)算舉例 第 3.6節(jié) 高階系統(tǒng)實(shí)際上,大量的系統(tǒng),特別是機(jī)械系統(tǒng),幾乎都可用高階微分方程來描述。這種用高階 微分方和描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。對高階系統(tǒng)的研究和分析,一般是比較復(fù)雜的,在分析 時必須抓住主要矛盾,忽略次要因素,使問簡化。 第 3.7節(jié) 系統(tǒng)誤差分

15、析與計(jì)算準(zhǔn)確是對控制系統(tǒng)提出的一個重要的性能要求,對于實(shí)際控制系統(tǒng)來說,輸出量常常不 能絕對精確地達(dá)到所期望的數(shù)值, 期望數(shù)值與實(shí)際輸出值的差就是所謂的誤差 。自動控制系統(tǒng)通常是穩(wěn)定的,那么在某一典型外因作用下,系統(tǒng)的運(yùn)動大致保分為兩階 段:第一階段是過渡過程或瞬態(tài);第二階段是達(dá)到某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的輸出量 則由瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量所組成?？啥到y(tǒng)的誤差也由瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差兩部分組成。 在過渡過程中瞬態(tài)誤差是誤差的主要部分,但它隨時間而逐漸衰減,穩(wěn)態(tài)誤差逐漸成為 誤差的主要部分。一、系統(tǒng)的誤差 (e t 與偏差 ( t 二、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤

16、差,因此不論動態(tài)過程中的情況,只有穩(wěn)定系 統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 如果系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差涉及到期望值與實(shí)際輸出值,不便于測量和分析時,一般先求出系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,必要時可把偏差轉(zhuǎn)化為誤差,然后求其穩(wěn)態(tài)值。 三、與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差閉環(huán)控制系統(tǒng)的偏差:( ( ( ( ( ( ( ( 1( (1( (i o i i E s X s H s X s X s H s E s G s E s X s G s H s =-=-=+由終值定理得 穩(wěn)態(tài)偏差為 :01lim ( lim ( lim ( 1( (ss i t s s t sE s sX s G s H s =+可知,穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)的特性(結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān),

17、而且與輸入信號特性有關(guān)。設(shè)1221211(1(1(1.(1( ( ( (1(1.(1(1 (1m K n mi i nj j K T s T s T s T s G s G s H s s T s T s T s K T s s T s =+=+=+為開環(huán)系統(tǒng)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù), K 為開環(huán)增益。若記 101(1( (1mii nj j T s G s T s =+=+ 則顯然 00lim ( 1s G s =0( K KG s G s s=工程上般規(guī)定 0.1.2.3=時分別稱為 0型、型、型、型系統(tǒng)。 越高,穩(wěn)態(tài)精度越高,但穩(wěn)定性越差,因而一般不起過型。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)講稿（初）第三章 系

18、統(tǒng)的時間響應(yīng)分析 故 ss = lim s X i (s s +1 X ( s = lim i s 0 KG0 ( s s 0 s + K 1+ s 可見穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的型次、開環(huán)增益、輸入信 型次、開環(huán)增益、 型次 號特性有關(guān)。 號特性 K p = lim G ( s H ( s = lim s 0 s 0 K K G0 ( s = lim s 0 s s K =K s0 對于 0 型系統(tǒng)：K p = lim s 0 ss = 1 K +1 為有差系統(tǒng)， 穩(wěn)態(tài)偏差隨開環(huán)增益的增大 而減小。 對于型、型系統(tǒng) K p = lim s 0 K = s ss = 1 =0 為位置無偏系統(tǒng)。 所以，當(dāng)

19、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是無差的。 所以，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是無差的。而無積 分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少偏差，可適當(dāng)提高放大倍數(shù)，但過大的 K 值將影響系統(tǒng) 分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少偏差，可適當(dāng)提高放大倍數(shù)， 的穩(wěn)定性。 的穩(wěn)定性。 K v = lim sG ( s H ( s = lim s 0 s 0 sK K G0 ( s = lim 1 s 0 s s ss = ss = 1 = Kv 1 =K Kv 對于 0 型系統(tǒng)： K v = lim sK = 0 s 0 表示系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入。 對于型系統(tǒng)： K

20、v = lim K = K s 0 表示系統(tǒng)能跟隨斜坡輸入，但有偏差。 26 機(jī)械工程控制基礎(chǔ)講稿（初）第三章 系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析 對于型系統(tǒng)： K v = lim s 0 K = s ss = 1 =0 Kv 表示系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。 K a = lim s 2G ( s H ( s = lim s 0 s 0 s2 K K G0 ( s = lim 2 s 0 s s K s 2 對于 0 型、 型系統(tǒng)：K a = lim s 0 =0 ss = 1 = Ka 表示系統(tǒng)不能跟隨拋物線輸入。 對于型系統(tǒng)： K a = lim s 0 K =K s0 ss = 1 1 = Ka K 表示系統(tǒng)能跟隨拋物線輸入，但有偏 差。 根據(jù)以上的討論，可歸納出如下幾點(diǎn)： （1）關(guān)于以上定義的無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏與輸入信號的形式有關(guān)，在隨動系統(tǒng)中一 穩(wěn)態(tài)偏與輸入信號的形式有關(guān)， 穩(wěn)態(tài)偏與輸入信號的形式有關(guān) 般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。 般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入“某種” 加速度信號 信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某種”無偏系數(shù)，如輸入階躍信號而引起 的無偏系數(shù)稱位置無偏系數(shù),它表示了穩(wěn)態(tài)的精度。 某種”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；