高等數(shù)學第三章微分中值定理與導數(shù)的應用題庫(附帶答案)

1、第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用一、選擇題1、（ ） 2、（ ） 3、（ ）4、在區(qū)間 -1，1 上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是 （ ）(A) (B) (C) (D)5、設f (x) 和g (x) 都在x=a處取得極大值，F(xiàn) (x)=f (x)g (x)，則F(x)在x=a處（ ）(A) 必取得極大值 (B)必取得極小值 (C)不取極值 (D)不能確定是否取得極值 6、（ ）(A) -1,1 (B) 0,1 (C) -2,2 (D) 7、的凹區(qū)間是（ ）(A) (B) (C) (D) 8、函數(shù)在 處連續(xù)，若為的極值點，則必有（ ） (A) (B) (C)或不存在 (D)不存在9、當a= ( ) 時

2、，（ ）(A) 1 (B) 2 (C) (D) 010、（ ）11、（ ）二、填空題1、 2、 3、 _ 4、函數(shù)f（x）x在0,3上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理確定的羅爾中值點 5、設曲線ya以點（1，3）為拐點，則數(shù)組（a，b） 6、函數(shù)在區(qū)間 2,0 上的最大值為 ，最小值為 7、函數(shù) 在 上的羅爾中值點= 8、在區(qū)間 1，3 的拉格朗日中值點 = _ 9、 10、。11、yx ，5 的最小值為 12、的單調減區(qū)間是 13、 在且僅在區(qū)間_上單調増14、函數(shù)f(x)x2cosx在區(qū)間 0 , 上的最大值為 15、函數(shù)y 的單調減少區(qū)間是 16、已知點（1，3）是曲線 的拐點，則a= ，

3、b= 17、. 三、計算題1、。2、求極限 3、求函數(shù)y2的單調區(qū)間、凹凸區(qū)間、拐點4、設常數(shù)，試判別函數(shù)在內零點的個數(shù)5、求函數(shù) 的單調區(qū)間和極值。678求曲線的單調區(qū)間和凹凸區(qū)間.9. 求曲線的單調區(qū)間和凹凸區(qū)間.10求函數(shù) 圖形的凹凸區(qū)間及拐點11、.12、求函數(shù) 的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點13、14、15、討論函數(shù)的單調性和凹凸性16、 求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點17. 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值18. 求函數(shù) 在區(qū)間 -2，0上的最大值和最小值19. 試確定常數(shù)a、b 、c 的值，使曲線 在x= 2處取到極值，且與直線 相切于點（1 ，0）四. 綜合題(第1-2題每題6分，第

4、3題8分，總計20分)1證明：當x時， 2、3、 證明： 4、設 在 0,1 上可導，f(x)(x1)，求證：存在x(0，1)，使5、 試用拉格朗日中值定理證明：當 時， 6、 證明：當時，7、 8、證明：當x>0時，有 1+ 9、證明當10、 證明：若，則 11、12、證明：多項式在 0，1 內不可能有兩個零點13、 證明當.14、答案：1、 選擇1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A2、 填空1、2、 3、4、25、6、2,17、8、9、10、11、12、13、-1414、15、16、17、三、計算題1、解：令可得駐點： 2分 列表

5、可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 5分 極大值為極小值 7分2、解：原式 6分3、解：令可得駐點： 2分 列表可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 4分又令得. 5分所以凸區(qū)間為,凹區(qū)間為.拐點為. 7分4、解： 1分當時,所以在上單調增加; 2分 又,充分接近于0時, , 3分故在內有且僅有一個零點. 4分同理, 在內也有且僅有一個零點. 6分5、解：解可得駐點： 2分 列表可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 5分 極大值為極小值 7分6、解： 原式 2分 4分 6分7、解 ： 當單調增加時，函數(shù)單調減少， 所以函數(shù)也是單調減少。 2分在區(qū)間函數(shù)是單調的減函數(shù)。所以當時，函

6、數(shù)取得最大值； 4分所以當時，函數(shù)取得最小值。 6分8、解 ： 令，于是。當時，函數(shù)單調增加；當時，函數(shù)單調減少。 2分所以函數(shù)的單調增區(qū)間為：；函數(shù)的單調減區(qū)間為：。 4分而 令，于是。 5分函數(shù)的凸區(qū)間為：；函數(shù)的凹區(qū)間為：。 6分9、解： 因為 ，所以令 得到。 2分函數(shù)的單調增區(qū)間為： ；函數(shù)的單調減區(qū)間為： 。 4分又由于，于是函數(shù)的凸區(qū)間為： 函數(shù)的凹區(qū)間為：。 6分10、解：因為： ， 2分令，得到： 。所以函數(shù)的單調增區(qū)間為：，函數(shù)的單調減區(qū)間為：。 4分函數(shù)的凸區(qū)間為：，函數(shù)的凹區(qū)間為：。函數(shù)的拐點為：。 6分11、解： 3分令得 從而得曲線的可能為，又二階導數(shù)在該兩點左右異

7、號。所以 為曲線的拐點 6分12、解： 令 令 3 分列表如下xx=1(1, 2)x=2(2, 3)x=3+0-0+-0+y=f(x)單調增，凹極大值f(1)=0單調減，凹拐點（2，-2） 單調減，凸極小值f(3)=-4單調增，凸7分13、解： 令 3分比較函數(shù)在端點和駐點處的函數(shù)值，得為 6分14、解： 令， 得， .3分列表如下x-1(-1, 0)0(0, 1)1-0+-0+0-單調遞減凹區(qū)間拐點單調遞減凸區(qū)間極小值點單調遞增凸區(qū)間拐點單調遞增凹區(qū)間7分15、解： x(0,e)+0-0+單調遞增，凹函數(shù)極大值單調遞減，凹函數(shù)拐點 單調遞減，凸函數(shù).6分16、解： ，拐點為 4分 凹區(qū)間為

8、凸區(qū)間為（-1，1） 6分17、解：由于 2分所以，函數(shù)在-1，3上的駐點為 。 3分當x=0時，y=2,x=2時，y=-14 5分 而x=-1時，y=-2, x=3時，y=11 7分所以函數(shù)的最大值為11，最小值為-14 8分18、解：由于 2分所以，函數(shù)在-2，0上的駐點為 。 3分當x=-1時，y=3 ，而x=-2時，y=-1, x=0時，y=1 5分所以函數(shù)的最大值為3，最小值為-1 6分19、解：根據(jù)已知條件得 4分解上面方程組得 7分四、綜合題（1）證：令 ， 顯然在區(qū)間上連續(xù)的，可導的。并且 2分 由于 ，對于任意的，。 所以函數(shù)在區(qū)間上單調增函數(shù)。 4分于是對于任意的，有 ，即

9、為： 6分（2）證： 令 所以（3）證： 令 4分 所以 f(x) 恒為常數(shù)，又，從而 6分（4）證： 因為 在 0,1 上可導，所以f(x)(x1)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導。 4分 根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點x(0，1)，使 8分（5）證：設，則 1分對用拉格朗日中值定理得 ，其中 4分而，所以 6分（6）證：令 1分 則 。 3分因為當時， ， 4分所以在上是嚴格單調連續(xù)遞增函數(shù)，并且 ， 5分故當時，即。 6分（7）證：令 1分對 利用柯西中值定理存在使得 3分即 4分又由于，所以 6分（8）證：令 2分 故時,即 5分 從而 6分（9）證：令因為 4分故時,即 6分（10）證： 令 2分 則在的范圍中是可導的 ，且 。 ， 對于任意的，有。所以函數(shù)在的范圍中是單調上升的。 4分于是，對于任意的，有， 即：。 6分（11）證：令 顯然函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)并且可導。 2分且有：。 而且對于任意的， 4分所以對于任意的， ，于是原不等式成立。 6分（12）證：