論文二重極限計(jì)算方法

1、 包頭師范學(xué)院本 科 畢 業(yè) 論 文題 目：二重極限的計(jì)算方法 學(xué)生姓名：王偉學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)：應(yīng)數(shù)一班指導(dǎo)教師：李國明老師 二 一四 年 四 月摘要函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容。關(guān)于一元函數(shù)的極限及求法，各種高等數(shù)學(xué)教材中都有詳細(xì)的例題和說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。本文在二元函數(shù)定義基礎(chǔ)上通過求對(duì)數(shù)，變量代換等方式總結(jié)了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關(guān)例題及解題步驟，及二重極限不存在的幾種證明方法。關(guān)鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明 二元函數(shù) 連續(xù)性 AbstractThe limit f

2、unction is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there

3、 are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit doe

4、s not exist.二 關(guān)鍵詞keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity 目 錄序言1 1二重極限的計(jì)算方法小結(jié)21.1 利用特殊路徑猜得極限值再加以確定 21.2 由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證21.3 采用對(duì)數(shù)法求極限31.4 利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限31.5 等價(jià)無窮小代換41.6 利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量41.7 多元函數(shù)收斂判別方法41.8 變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限51.9 極坐標(biāo)

5、代換法61.10 用多元函數(shù)收斂判別的方法61.11利用連續(xù)性求極限61.12利用洛必達(dá)法則求極限71.13利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限71.14利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限71.15變量代換法81.16復(fù)合函數(shù)求極限的方法81.17無窮大分除法( 或叫抓大頭的方法)81.18取倒數(shù)方法91.19利用微分中值定理求極限限求極限91.20利用定積分的定義及性質(zhì)求極限91.21利用麥克勞林展開式求極限 101.22利用級(jí)數(shù)收斂必要條件求極限 101.23利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限 111.24利用matlab求二重極限112、證明二重極限不存在的幾種方法 11總結(jié)14參考文獻(xiàn)15致謝16序言二元函數(shù)的極限是在一元

6、函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對(duì)一元函數(shù)而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數(shù)可以有無數(shù)種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區(qū)別。雖然二元函數(shù)的極限較為復(fù)雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。對(duì)于二元函數(shù)的二重極限，重點(diǎn)是極限的存在性及其求解方法。二重極限實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程，是一個(gè)較為復(fù)雜的極限，只要有兩個(gè)方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復(fù)雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據(jù)變量的不同變化趨勢(shì)和函數(shù)的不同類型，探索得出一些計(jì)算方法，采用恰

7、當(dāng)?shù)那蠼夥椒ê?，?duì)復(fù)雜的二重極限計(jì)算，就能簡(jiǎn)便，快捷地獲得結(jié)果，本文將對(duì)二重極限的幾種計(jì)算方法做一下小結(jié)。1、二重極限的計(jì)算方法小結(jié)1.1 利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證利用二元函數(shù)極限定義求極限：根據(jù)定義解題時(shí)只需找出來。例1 、討論，在點(diǎn)(0,0)的極限。解： 令 應(yīng)為此路徑為特殊路徑，故不能說明可以猜測(cè)值為0。下面再利用定義法證明：，取當(dāng) 有由于 即有 故注意 （1）的任意性 （2）一般隨而變化 （3）若函數(shù)以A為極限，則對(duì)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+，A-）。1.2 由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證先求出一個(gè)累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗(yàn)證例2 、 設(shè)。求解：可以猜測(cè)

8、有極限值為0. 事實(shí)上對(duì)任意的有， 取， 當(dāng)，時(shí)，就有，即有1.3 采用對(duì)數(shù)法求極限利用初等變形，特別是指數(shù)形式常常可以先求起對(duì)數(shù)的極限?；驑O限是等未定型，往往通過取對(duì)數(shù)的辦法求得結(jié)果。例3 、求 解： 因?yàn)?而且 所以 1.4 利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個(gè)重要極限 類似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進(jìn)而利用已有的結(jié)論而求之 例4 、求（1） （2）解：（1）因?yàn)椋?所以 （2） 由于 ,又因?yàn)?所以1.5 等價(jià)無窮小代換利用一元函數(shù)中已有的結(jié)論對(duì)式子進(jìn)行必要的代換以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，進(jìn)而求出所要求的極限例5 、求 解：因?yàn)楣视兴缘葍r(jià)于故原

9、式為注 無窮小替代求極限時(shí)要理解替換過程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價(jià)無窮小替代求極限其實(shí)質(zhì)就是在極限運(yùn)算中同時(shí)乘一個(gè)或是除一個(gè)等價(jià)無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時(shí)可以替換，加減時(shí)不可隨意替換”1.6 利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量充分利用無窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關(guān)無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。例6 、求 解： 因?yàn)槎鵀橛薪缱兞坑?故有 原式=01.7 多元函數(shù)收斂判別方法當(dāng)一個(gè)二重極限不易直接求出時(shí)，可以考慮通過放縮法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。例

10、7 、求 解：由 而 ，故可知 1.8 變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限有時(shí)為了將所求的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復(fù)雜的極限過程轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)化的極限過程。1、討論當(dāng)，二元函數(shù)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有從而求得結(jié)果。例8 、求 解；令 則當(dāng)時(shí) ，于是2、討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，作變量代換，相應(yīng)有，利用已知一元函數(shù)的極限公式。例9 、求 其中解: 因?yàn)?當(dāng) 時(shí)，令xy=t,相應(yīng)有則所以3、討論時(shí)二元函數(shù)的極限例10 、求 解： 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，令x+y=t,相應(yīng)有則 所以 1.9 極坐

11、標(biāo)代換法討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，必要時(shí)可以用極坐標(biāo)變換，即將求當(dāng)極限問題變換為求的極限問題。但必須要求在的過程中與的取值無關(guān)。注意這里不僅對(duì)任何固定的在時(shí)的極限與無關(guān)，而且要求在過程中可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關(guān)，才能說明存在。例11、 求解： 令，當(dāng)時(shí)，有令 因?yàn)?所以1.10用多元函數(shù)收斂判別的方法通過縮放法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，再利用兩邊夾定理來推出結(jié)果。例12、求 解： 因?yàn)槎?所以 1.11 利用極限的夾逼性準(zhǔn)則例13、 求 解：由 而 ，故可知1.12 利用洛必達(dá)法則求極限例14、求極限：（1） ；（2） .解：（1） （2）1.13 利用單調(diào)有界準(zhǔn)

12、則求極限 數(shù)列 為單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界1，則 。單調(diào)有界原理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。1.14 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 已知 ， 例15、求 解：此種方法要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義。1.15變量代換法例16、求極限： 解：令 ，當(dāng) 時(shí) ，則： 1.16 復(fù)合函數(shù)求極限的方法例17、求 解： ，是由 , 復(fù)合而成的，而，在點(diǎn)連續(xù)，故： 。1.17 無窮大分除法( 或叫抓大頭的方法) -此種方法對(duì)于多項(xiàng)式的商罟的未定型比較適用例18、求 解： 1.18 取倒數(shù)方法 例19、求極限： 解：我們先求 ，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系，所以 ，即此極限不存在。1.19 利用函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限求極限例20、已知函數(shù)

13、 求 。解：因?yàn)?所以根據(jù)極限存在的充要條件可知： 。此方法只適用于解析式中帶有絕對(duì)值的函數(shù)或是分段函數(shù)。1.20 利用定積分的定義及性質(zhì)求極限例21、求極限： 解：因?yàn)?由定積分的定義和性質(zhì)可知： 所以 。1.21 利用麥克勞林展開式求極限例22、求極限： 解：因?yàn)?和的麥克勞林展開式分別為：于是 。因而 。1.22利用級(jí)數(shù)收斂必要條件求極限 因?yàn)橛蓴?shù)列 所產(chǎn)生的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件有 。1.23 利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限 例23、求極限： 。解：因?yàn)橛芍痦?xiàng)求導(dǎo)的方法可求得冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)為 ，所以：1.24 利用matlab求二重極限例24、 計(jì)算>> cle

14、ar>> syms x y; >> limit(limit(x2+y,x,2),y,1) ans = 5>> %求x2+y在x2，y1時(shí)候的極限?？梢跃嶮文件類型的函數(shù)。matlab中目前沒有現(xiàn)成的求二重極限的函數(shù)2 、證明二重極限不存在若二元函數(shù)在區(qū)域D有定義，是D的聚點(diǎn)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著兩條不同的曲線（或點(diǎn)列）誣陷趨近于點(diǎn)，二元函數(shù)，有不同的“極限”，則二元函數(shù)在點(diǎn)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明在區(qū)域D上當(dāng)時(shí)極限不存在。例25、證明不存在證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)點(diǎn)沿著y軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有x=0，而不存在，所以當(dāng)P沿著D中某一連續(xù)曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，

15、二元函數(shù)的極限不存在，則不存在例26、證明不存在證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)點(diǎn)沿著x軸趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，=0，當(dāng)點(diǎn)沿著趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)所以 不存在當(dāng)P沿著D中兩條不同的連續(xù)曲線趨近于時(shí)，二元函數(shù)的極限都存在，但不相等，則不存在。例27、證明 不存在證明：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)令有所以 不存在對(duì)于一些難以找到的路線，可以利用極坐標(biāo)來證明例28、證明 不存在證明： 即得 因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限不想等，所以 不存在總結(jié)函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數(shù)的極限，但二元函數(shù)在多元函數(shù)微積分學(xué)中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分有

16、關(guān)概念和方法的基礎(chǔ)。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證、采用對(duì)數(shù)法求極限、利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小代換、利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量、多元函數(shù)收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限、極坐標(biāo)代換法、用多元函數(shù)收斂判別的方法等始終二重極限的計(jì)算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實(shí)際解決二重極限問題時(shí)要根據(jù)題型不同選擇最優(yōu)的解題方式，不但能提高正確率也可以節(jié)省時(shí)間和工作量，達(dá)到事半功倍的效果。 參考文獻(xiàn)1孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析M.北京:高等教育出版社,2004.2張貴文,汪明凡.關(guān)于多元函數(shù)的極限J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1983.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè)(第三版)M.北京:高等教育出版社，2001.4同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))(五版)M.北京:高等教育出版社，2002.5閻家灝.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種審斂J.蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004.6閻家灝.用極坐標(biāo)變換確定二重極限的技巧及實(shí)例J.蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué) 報(bào),2006.7劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第三版)M. 北京:高等教育出版社，1992.8張雅平.二重極限的幾種求法J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），