【高考數(shù)學(xué)秘籍】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用——導(dǎo)數(shù)與不等式

1、第 18 講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與不等式丼圾11 .定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x)滿足 f(1) = 1，且 f(x)的導(dǎo)函數(shù) f (x)2，則滿足 2f(x)x+ 1 的 x 的集合為(A)A . x|x1 B. x| 1x1C. x|x1 D . x|x133 令 g(x) = 2f(x) x 1,貝 U g (x) = 2f (x) 10 ,所以 g(x)在 R 上為增函數(shù)，又 g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,所以 g(x)0? x1.即原不等式的解集為x|x1.2.f(x)是定義在(0,+s)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足xf (x) f(x)w0，對(duì)任意正數(shù) a, b, 若ab，則必

2、有(A)A.af(b)wbf(a) B.bf(a)af(b)C.af(a)wbf(b) D.bf(b)af(a) 飯?jiān)O(shè) F(x) =嚴(yán)，則 F (皆一w0, 故 F(x) =號(hào)在(0, +)上是減函數(shù)或常函數(shù)，由 0ax(x0) B . sin x0)2C. xsin x D .以上各式都不對(duì)n令 g(x) = sin x x，貝 U g (x)= cos x 1w0,所以 g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以 g(x)g(0)，所以 sin xx.4.已知 e 是自然對(duì)數(shù)的底，若函數(shù)f(x) = ex x + a 的圖象始終在 x 軸的上方，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(C)A.2,2 B.(

3、 a, 2)U(2,+)C.(1,+) D.( a, 2U2,+a) 鋰 3 因?yàn)楹瘮?shù) f(x) = ex x+ a 的圖象始終在 x 軸的上方，所以 f(x) = ex x+ a 的最小值大于 0.f (x) = ex 1,當(dāng) xqa,0)時(shí)，f (x)0，所以 f(x)的最小值為 f(0) = 1 + a.由 1 + a0 ,得 a 的取值范圍為(一 1,+a).5. 已知 f(x)= xex, g(x)= (x+ 1)2+ a,若?捲，乂? R，使得 f(X2)wg(x”成立，則實(shí)數(shù)一 1a 的取值范圍是-,+a).edS 因?yàn)?f (x) = ex+ xex= (1 + x)ex,當(dāng)

4、x 1 時(shí)，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x 1 時(shí)，f (x)1e.6.(2017 河南模擬)設(shè) f(x)= x3+ x, x R，當(dāng) Ow，f(msin f(1 m)0 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(一R,1).薛 3 因?yàn)?f (x) = 3x2+ 1O,所以 f(x)在 R 上為增函數(shù)，又 f(x)為奇函數(shù)，所以條件即為 f(msin 0)f(m 1),n所以 ms in9m 1 對(duì) 旳 0,恒成立,即 m(1冗sin 0)1 對(duì) 00,恒成立，因?yàn)?n寸，上式恒成立；當(dāng)旳 0,n時(shí)，m，貝ym0,則當(dāng) xq0, +R)時(shí)，f (x)0,故 f(x)在(0，+R)上單調(diào)遞增

5、.1若 av0,則當(dāng) xq0,扃)時(shí)，f (x)0;1當(dāng) xq 2, +R)時(shí)，f (x)v0.1 1故 f(x)在(0，芬)上單調(diào)遞增，在(務(wù)，+R)上單調(diào)遞減.1 1 1(2)證明：由(1)知，當(dāng) av0 時(shí),f(x)在 x=亦處取得最大值，最大值為 f(亦)=ln( )所以 f(x)w乎2 等價(jià)于 ln(-円-1 +w嚴(yán)2, 即卩 ln(円+扌+ 1w0.4a2a 4a 4a2 a 2a1設(shè) g(x) = ln x x+ 1,貝Ug (x) = 一一 1.x當(dāng) xq0,1)時(shí)，g (x) 0;當(dāng) x(1, +R)時(shí)，g (x)v0, 所以 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, +R)

6、上單調(diào)遞減.x+ 1 2ax+ 1x故當(dāng) x= 1 時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1) = 0.所以當(dāng) x 0 時(shí)，g(x)w0.從而當(dāng) av0 時(shí)，ln( - 2L)3 即 f(x)w42.&若 0X1X2|n X2 In X1B. ex2 ex1X1ex2D. X2ex1X1ex2Xe令 f(x)= -(0 x1),XXX.xe ee (x 1 則 f(x)= x2當(dāng) 0 x1 時(shí)，f因?yàn)?0X1X21 ,eX2 eX1即 V，所以X2X1如何說(shuō)明 A 和 B 不成立？下面進(jìn)行探討：設(shè) g(x) = ex In x(0 x1),Xx1 xe 1因?yàn)?g (x) = e =令

7、g (x)= 0 得，xex- 1= 0,即1由 y = ex與 y = -的圖象知兩圖象的交點(diǎn)x(0,1),x因此，g(x)在 (0,1)上不單調(diào)，由此可知A 和 B 選項(xiàng)不可能成立.9.設(shè) f(x)、g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) x0,且 g( - 3) = 0,則不等式 f(x)g(x)0 的解集為(一， 3) L(0,3).C39 當(dāng) x0 ,所以函數(shù) f(x)g(x)在(- , 0)上為增函數(shù)，又 f(x)g(x)為奇函數(shù)，故 f(x)g(x)在(0 ,+)上為增函數(shù)，且 f( - 3)g( - 3) = 0, f(3)g(3) = 0.故 f(x)g(x)0 , f(x)在(0，+a)上單調(diào)遞增；1若 a0,則當(dāng) xqo,)時(shí)，f (x)0 ；a當(dāng) Xa)時(shí)，f (x)0 ,a11所以 f(x)在(0,-)上單調(diào)遞增，在(：，+a)上單調(diào)遞減. aa由(1)知當(dāng) aw0 時(shí)，f(x)在(0,+a)上無(wú)最大值，=2x (x)0， 即 f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 所以 f(X2)xiex2.由此可知選 C.x1e= x，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在 x= 1 處取最大值，1令 g(a)= In a + a 1,貝 U g (a) = + 10