自動(dòng)控制第九章傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)

1、第九章 傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)§9.1實(shí)現(xiàn)與最小實(shí)現(xiàn)一、實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的提法我們知道，對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，可以用傳遞函數(shù)矩陣進(jìn)行輸入輸出描述(9.1.1)如果系統(tǒng)還是集中的，則還可以用狀態(tài)空間方程來(lái)描述(9.1.2)如果已知狀態(tài)空間方程(9.1.2)，則相應(yīng)的傳遞矩陣可由(9.1.3)求出，且求出的矩陣是唯一的?，F(xiàn)在，我們來(lái)研究它的反問(wèn)題，即由給定的傳遞矩陣來(lái)求狀態(tài)空間方程，這就是所謂的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。事實(shí)上，對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)也有實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，只是它的輸入輸出描述不再是傳遞矩陣。定義9.1：實(shí)現(xiàn)傳遞矩陣稱為是能實(shí)現(xiàn)的是指存在一個(gè)有限的維狀態(tài)方程（9.1.2）或簡(jiǎn)記為 A, B, C, D ，使得且 A

2、, B, C, D 稱作的實(shí)現(xiàn)。注意：一個(gè)線性定常系統(tǒng)的分布系統(tǒng)可以用傳遞矩陣來(lái)描述，但不能描述為有限維的狀態(tài)方程。所以說(shuō)并非所有的都是能實(shí)現(xiàn)的。二、實(shí)現(xiàn)的不唯一性仔細(xì)回憶一下我們?cè)跔顟B(tài)變換和規(guī)范分解時(shí)得到的結(jié)論可知：盡管對(duì)于給定系統(tǒng) A, B, C, D ，它的傳遞函數(shù)矩陣是唯一的；但反過(guò)來(lái)，對(duì)于給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，求它的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) A, B, C, D ，結(jié)論便不唯一。因?yàn)槲覀冎?，狀態(tài)變換前后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可能大相徑庭，但其傳遞函數(shù)矩陣卻是相同的；同樣，不能控或不能觀系統(tǒng)，經(jīng)規(guī)范分解后的整個(gè)系統(tǒng)與其中的既能控又能觀的子系統(tǒng)均是其傳遞函數(shù)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。所以，如果是能實(shí)現(xiàn)的則其有無(wú)

3、窮多各個(gè)實(shí)現(xiàn)，且不一定具有相同的維數(shù)。2 / 21三、最小實(shí)現(xiàn)盡管每一個(gè)傳遞函數(shù)陣，可以有無(wú)限多個(gè)實(shí)現(xiàn)。我們感興趣的是這些實(shí)現(xiàn)中維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)，即所謂最小實(shí)現(xiàn)，也叫不可約實(shí)現(xiàn)、最小維實(shí)現(xiàn)、最小階實(shí)現(xiàn)。因?yàn)樵趯?shí)用中，最小實(shí)現(xiàn)階數(shù)最低，在進(jìn)行運(yùn)放模擬和系統(tǒng)仿真時(shí)，所用到的元件和積分器最少，從經(jīng)濟(jì)性和可靠性等角度來(lái)看也是必要的。最后，我們還不證明地給出一個(gè)關(guān)于最小實(shí)現(xiàn)的定理：定理9.1：實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間方程 A, B, C, D 是傳遞函數(shù)矩陣的最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是 A, B, C, D 既能控又能觀。傳遞函數(shù)矩陣的所有最小實(shí)現(xiàn)，互相間是代數(shù)等價(jià)的。§9.2 傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)本節(jié)主要討論正則有理

4、分式傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。設(shè)傳遞函數(shù)為(9.2.1)作一簡(jiǎn)單的代數(shù)變換，便可得：(9.2.2)設(shè)系統(tǒng) A, b, c, d 是的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則有(9.2.3)上式應(yīng)對(duì)任意的s都成立，令則可得到這就是說(shuō)：對(duì)一般正則有理分式的傳遞函數(shù)，其實(shí)現(xiàn)的d陣（標(biāo)量）是唯一的，且(9.2.4)于是，本節(jié)的以下內(nèi)容僅討論傳遞函數(shù)為嚴(yán)格正則有理分式的情況。§9.2.1 能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)一、基本形式回憶第七章第二節(jié)，在那里，我們以一個(gè)四階傳遞函數(shù)為例，給出了由傳遞函數(shù)出發(fā)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的一般方法。不難證明：狀態(tài)空間方程(9.2.5)是傳遞函數(shù)(9.2.6)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。不難發(fā)現(xiàn)該實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)矩陣與控制矩陣的

5、二元組合在一起正好構(gòu)成能控標(biāo)準(zhǔn)型，故稱上述實(shí)現(xiàn)是能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。例7-5 設(shè)線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求該系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。解：引入一個(gè)新變量，它的拉氏變換式定義為即(2.3)于是，我們有(2.4)定義狀態(tài)變量為 即 (2.5)顯然(2.6)它們與（2.1）無(wú)關(guān)，而直接由（2.5）中定義得到。為導(dǎo)出關(guān)于的等式，我們把（2.5）代入至（2.3），即可得在時(shí)域中，此即(2.7)而將（2.5）代入至（2.4）又可得到在時(shí)域中，此即(2.8)把（2.6）、（2.7）、（2.8）結(jié)合在一起即(2.9)這就是所要求的狀態(tài)空間方程。二、能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的變型要指出的是：在上例中，若狀態(tài)變量為 即

6、 (2.10)則可導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程是(2.11)注：我們稱系統(tǒng)(2.9)為的下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，而稱(2.11)為的上友型能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。§9.2.2 能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：一、基本形式為了明確起見，我們記傳遞函數(shù)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)是，即有由于是標(biāo)量，故應(yīng)有這就是說(shuō)系統(tǒng)也是的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。由此我們又得到一種極重要的傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)形式。(9.2.7)根據(jù)對(duì)偶性原理：與是一對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)。既然構(gòu)成能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么由能觀標(biāo)準(zhǔn)型的定義，構(gòu)成能觀標(biāo)準(zhǔn)型，故稱為的能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。二、能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的變型留作習(xí)題。§9.2.3 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)將給定的傳遞函數(shù)（我們?nèi)约俣閲?yán)格正則有理分式）的分母

7、進(jìn)行分解因式，亦即求出系統(tǒng)的各個(gè)極點(diǎn)，然后我們分兩種情況討論該傳遞函數(shù)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：一、無(wú)重極點(diǎn)系統(tǒng)的對(duì)角型實(shí)現(xiàn)設(shè)給定的傳遞函數(shù)為(9.2.8)用部分分式分解的方法可將上式寫為即(9.2.9)將之用結(jié)構(gòu)圖表示出來(lái)就是（以四階為例）：按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.10)在時(shí)域里，即(9.2.11)同時(shí)從圖上還可以看出：(9.2.12)故該系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為(9.2.13)另一方面，式(9.2.9)也可以用如下的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.14)在時(shí)域里，即(9.2.15)但此時(shí)，從圖上還可以看出：(9.2.16)故該系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)還可以寫成(9.2.17)

8、顯然，它與(9.2.13)型式上略有區(qū)別，如果一定要區(qū)分，可以稱(9.2.13)為能控約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)，而稱(9.2.17)為能觀約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)。（請(qǐng)同學(xué)們思考，為什么可以這樣稱呼？）二、重極點(diǎn)系統(tǒng)的約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)為簡(jiǎn)單起見，我們僅討論傳遞函數(shù)中無(wú)相極點(diǎn)的情況：即它可分解為：(9.2.18)它的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可繪制如下（以四階為例）按圖示方法選取狀態(tài)變量則：(9.2.19)求其拉氏反變換便有：(9.2.15)寫成矩陣形式即(9.2.16)當(dāng)然，通過(guò)對(duì)傳遞函數(shù)表示式的轉(zhuǎn)置還可得到另一種形式的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，同學(xué)們不妨回去練習(xí)一下。三、更一般的約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)有一上面的結(jié)論對(duì)一般系統(tǒng)通過(guò)部分分式分解法，總可以化為有限個(gè)上

9、述形式的子系統(tǒng)，同學(xué)們通過(guò)做一習(xí)題，可體會(huì)出上面談到的兩個(gè)看起來(lái)較為特殊的系統(tǒng)的結(jié)論是如何用到一般形式傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)的。習(xí)題:2006年研究生入學(xué)考試試題六、（24分）已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試分別給出滿足以下條件的實(shí)現(xiàn)并分析實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定性1求既能控又能觀的約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)，分析該實(shí)現(xiàn)的漸近穩(wěn)定性；2求一個(gè)維數(shù)盡可能低的能控但不能觀、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的實(shí)現(xiàn)，分析該實(shí)現(xiàn)的BIBO穩(wěn)定性；3求一個(gè)維數(shù)盡可能低的既不能控又不能觀、且李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定的實(shí)現(xiàn)，分析該實(shí)現(xiàn)的BIBO穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。習(xí)題：分別求出線性定常系統(tǒng)在輸出反饋、狀態(tài)反饋、輸出內(nèi)反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程（v

10、- x - y）和傳遞函數(shù)（v - y）。§9.3 傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn)§9.3.1 能實(shí)現(xiàn)性定理定理9.2傳遞矩陣能實(shí)現(xiàn)的充要條件是：是正則有理矩陣。由(3.19)我們有(4.30)若A是矩陣，則為n階，而的每一個(gè)元素均是的階子矩陣的行列式。故其最高階為，它們的線性組合當(dāng)然最多也只能有階。所以我們有結(jié)論：是一個(gè)嚴(yán)格正則的有理矩陣。若D為非零陣，則是正則的。至此證明了：若是能實(shí)現(xiàn)的，則它一定是正則有理陣。注意，我們有下面我們來(lái)證明充分性，即為的正則有理陣則有一個(gè)實(shí)現(xiàn)。首先，我們將分解為：(4.31)其中是中嚴(yán)格正則部分。令(4.32)是所有元素的最小公分母。這里我們需要d(s)是

11、首一的，即其最高次項(xiàng)的系數(shù)為1。這樣，可表示為：(4.33)其中Ni為q×p的常矩陣?，F(xiàn)在，我們說(shuō)方程組(4.34)是的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。矩陣Ip是的單位陣，每個(gè)0也都是的零陣。A陣稱為塊友型矩陣。它有r行r列的矩陣組成，于是A陣的階為，B陣的階為，由于C陣含有r個(gè)Ni其每個(gè)均為階，所以C陣的階為。這一實(shí)現(xiàn)的維數(shù)為rp并稱之為能控標(biāo)準(zhǔn)型。我們來(lái)證明（4.34）及（4.31），（4.33）是的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。我們定義(4.35)其中Zi是的，所以Z是的，于是(4.34)的傳遞矩陣等于(4.36)我們將（4.35）寫成或sZ = AZ + B(4.37)用A的友型轉(zhuǎn)換性質(zhì)，從(4.37)第二塊行至最后

12、塊行所對(duì)應(yīng)的方程，我們立即得到此即意味著將這些等式代入（4.37）第一塊行所對(duì)應(yīng)的方程，得或由（4.32）于是我們得到將它們（4.36）代入得到它等于(4.31)和(4.33)中的,此即表明(4.34)是的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。例4.6 考慮一個(gè)正則有理矩陣= (4.38)這里，我們將分解成一個(gè)定常矩陣與一個(gè)嚴(yán)格正則有理陣之和。的首一最小公分母是于是我們有于是(4.38)的實(shí)現(xiàn)是：(4.39)這是一個(gè)六維的實(shí)現(xiàn)。§9.3.2 傳遞向量的實(shí)現(xiàn)我們來(lái)討論一個(gè)特殊的情況，即在(4.31)和(4.33)中。為節(jié)省空間，假定，當(dāng)然，討論可適用于任意正整數(shù)r和q?？紤]一個(gè)的正則有理陣(4.40)它的實(shí)現(xiàn)可直

13、接有得到：(4.41)這種能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可由式(4.40)中的系數(shù)直接讀出。有許多方法可以求出正則傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn)。例如，習(xí)題4.9給出了一種與(4.33) 不同的rq維實(shí)現(xiàn)。令是的第i列，是輸入向量u的第i個(gè)元素。這樣則可表示為如圖4.4(a)所示。這樣我們可以分別實(shí)現(xiàn)的每一列，然后再把這些實(shí)現(xiàn)合在一起就可得到的實(shí)現(xiàn)。顯然，我們也可以對(duì)的每一個(gè)元素分別實(shí)現(xiàn)然后在將它們結(jié)合在一起得到的實(shí)現(xiàn)，詳見參考文獻(xiàn)6之158-160頁(yè)。圖4.4 的列實(shí)現(xiàn)與行實(shí)現(xiàn)MATLAB函數(shù) a,b,c,d=tf2ss(num,den) 對(duì)任一單輸入多輸出的傳遞矩陣生成一個(gè)形如(4.41)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。使用這一函數(shù)，無(wú)須象(4.31)那樣對(duì)分解（分解為常陣與嚴(yán)格正則有理陣），但我們?nèi)皂氂?jì)算出它的最小公分母，而不必首一。下例將對(duì)(4.38)的每一列應(yīng)用tf2ss，然后在再將它們合在一起，從而構(gòu)造出的實(shí)現(xiàn)。例4.7 考慮（4.38）中的正則有理陣，其首列為=鍵入：n1=4,-2,-20;0,0,1；d1=2,5,2；a,b,c,d=tf2ss(n1,d1)得到首列的如下實(shí)現(xiàn)(4.42)同樣，用函數(shù)tf2ss還可以生成第2列的如下實(shí)現(xiàn)：(4.43)這兩個(gè)實(shí)現(xiàn)可以合在一起，成為即(4