與矩形相關(guān)的折疊問題 (2)

1、與矩形相關(guān)的折疊問題在矩形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用過程中，折疊類的題目是比較多見的，同時也是矩形和角平分線、勾股定理等知識的結(jié)合與拓展。折疊是軸對稱的另一種描述，因此，在折疊問題中找到折痕即對稱軸就是解決此類問題一個突破口。下面從幾個不同的層面展示一下。例1 將一長方形紙片按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則CBD的度數(shù)為( )(A)60 (B)75 (C)90 (D)95分析：在這個問題中是利用折疊矩形的兩個角給大家提供條件的，那么折痕BC和折痕BD就充當(dāng)了角平分線的角色，即ABC=A/BC,EBD=E/BD。OACBED例2 如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相

2、交于點O。（1）由折疊可得BCDBED，除此之外，圖中還存在其他的全等三角形，請你找出來 。（2）圖中有等腰三角形嗎？請你找出來 。（3）若AB=6,BC=8,則O點到BD的距離是 。分析：在這一折疊的過程中，因為是與全等有關(guān)的，所以除了像例1一樣提供了角的等量關(guān)系之外，邊的相等是更重要的。問題（1）好解決，進而由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以說明（2）的結(jié)論是等腰OBD。另外，還可以從另一個角度分析。由折痕BD可以找到OBD=CBD，由于在矩形中，ADBC，ODB=CBD，經(jīng)過等量代換OBDODB，然后等角對等邊OB=OD。這是在矩形中折疊比較常見的“角平分線和平行線同時并存”的條件，結(jié)論就會出

3、現(xiàn)“等角對等邊”的等腰三角形。問題（3）跟計算線段長度有關(guān)，這也是勾股定理在折疊中要發(fā)揮作用的一類題目。因為ADBC，BCBE，因此在ABO中可以設(shè)AOx，則BOOD8x，因為AB6，即可以列勾股定理的等式：AB2AO2BO2進行計算了。下面的這個題目就是用這個思路解決的。大家可以嘗試一下。例3 已知：如圖，矩形AOBC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OA分別在x軸、y軸上，點A坐標(biāo)為（0,3），OAB60,以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點的坐標(biāo).例4 一個矩形紙片如圖折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF。（1）找出圖中全等的三角形，并證明。（2）重合部分是什么圖形？證明你的結(jié)論。（3）連接B

4、E，并判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關(guān)系？并證明。F132CBAEDF132CBAEDOABCDEF分析：此題的折疊不僅有前面幾個問題中線段和角的對應(yīng)相等，而且在折疊的過程中隱藏著EF垂直平分BD，這對于第三問中四邊形形狀的判斷，有著重要的作用，這仍然是軸對稱的性質(zhì)。利用這些條件易證明EODBOF，則有EDBF，且EDBF，首先四邊形EBFD是平行四邊形，由于BD、EF互相垂直，所以就可說明四邊形EBFD是菱形。例5 在矩形ABDC中，把A沿CF折疊，點A恰好落在矩形的對稱中心E處，若ABa，ACb，請你計算 的值。分析：這個問題中的折疊，體現(xiàn)出來的看似只是一對角的相等，其實還有矩形中心對稱圖形的特征。即點E是對角線的交點。由矩形的性質(zhì)可以說明AEDE，因為折疊可知ACCE，因此可得：CAE是等邊三角形，即ACB60，進而在直角ACB中解決兩直角邊的關(guān)系為：。ABCDEF總之，由于矩形本身所獨有的特征，例如直角、