微分學(xué)基本定理

1、第六章微分學(xué)基本定理1微分中值定理1 證明：(1)方程X3 -3x c = 0 ( c是常數(shù))在區(qū)間0,1內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí) 根；(2)方程xn px 0( n為正整數(shù)，p,q為實(shí)數(shù))當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí) 根；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根。2設(shè) f(x) =xm(1-x)n,m,n 為正整數(shù)，0,1，則存在：(0,1)，使3.應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：(1) sinxsin y 勻x y ,x, y(皿,址)；jJ J(2) x蘭ta nx,x(_,),等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 ；2 2(3) ex T x,x = 0;(4)y -xy汕g,。沐沖x x(5)x1 x2:a

2、rctan x : x, x 0.4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明5.設(shè)lim f (x) =a，求證：任意T 0 ,有x J-：:6.函數(shù)f (x)在a,b可導(dǎo)，其中a 一 0，證明：存在：(a,b)，使得7.設(shè) f (x)在(a,：)上可導(dǎo)，且 lim f (x) =lim f(x) = A。求證：存在 (a,：), 心書(shū)十xsc使 f，( ) =0。&設(shè)f (x)可導(dǎo)，求證：f (x)在兩零點(diǎn)之間一疋有 f (x) f(X)的零點(diǎn).9設(shè)函數(shù)f (x)在x0附近連續(xù)，除x0點(diǎn)外可導(dǎo)，且f (x)二A，求證：f (怡)存在，且 f'(xj 二 A.10.若f(x)在a,

3、b可導(dǎo)，且f'(a)= f'(b), k為介于f'(a)和f'(b)之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)匚三(a,b)，使f'( ) = k.11.設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)單調(diào)，證明f'(x)在(a,b)連續(xù).12.若函數(shù)f(x), g(x)和h(x)在a,b連續(xù)，在(a, b)可導(dǎo)，證明存在三(a,b),使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)=0 .f'G)g)h'(E)13.設(shè)f(x)在(嚴(yán)乜)連續(xù)，且lim f(x) = p，證明：f (x)在(-oo,+=c)上取到 xafcO它的最小

4、值.14.設(shè) f (x)在a,b)連續(xù)，lim f(x)二 B.(1)若存在Xi a,b)，使f(Xi) B，則f (x)在a,b)上達(dá)到最大值;(2)如果存在x a,b)，使f(xj =B，能否斷言f (x)在a,b)上達(dá)到最大值?15.設(shè) f(x)在a,：)有界,f'(x)存在，且 lim f'(x)=b.求證 b=0. x_jbc16.求證：arcs in x +arccosx 三二(x 蘭1)22微分中值定理及其應(yīng)用1.求下列待定型的極限：(1)tan ax limx 0 sin bx(2)1 -cosx23.x sin x(3)ln(1 x) xcosx -1(4)t

5、an xxx -sin xln cosax(6) lim;t ln cosbxtanx -6(7) lim;?secx +52lim丄-丄x 1 l n x x1(9) lim(二-x)tan-; xw2(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)lim x1-;X1bxim$(a,b0);31arctanx lim NxQ1si n xln x協(xié)丁心）；b clim x ln x (b,c>0);x_0 '1 - 2sin x limx cos3x6lim也x° cot xlim0(1 x)x -esin xlim xx_0 'lim Inlx"l x 丿11lim sin x ln x.x 0 2對(duì)函數(shù)f（X）在0, X上應(yīng)用拉格朗日中值定理有1試證對(duì)下列函數(shù)有l(wèi)im '；02(1) f(x)=l n(1x);(2) f(x)=eX.sin x3設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，求證：4下列函數(shù)不能用洛必達(dá)法則求極限:2 . 1x sin(1) l