已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)

1、已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)公式的方法對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解， 通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等 比數(shù)列問題的求解。一、遞推式為：*an 1 二 and 及 an 1 二 qa.(d,q為常數(shù)，n N)，求 a.例1 已知數(shù)列g(shù)j滿足an d = an 2，而且4=1，求an.解：；Gn *是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，an 叮 2(n-1),即 an = 2n-1.例2 已知數(shù)列 a f滿足an .1 = "2 an，而且a廠2，求an.an _ 1解爲(wèi)=2是常數(shù)，1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,1二 2 (擴(kuò)1 1n-2遞推式為an= an - f(n)，

2、求a.思路：先將該遞推式變形為an 1 - a. = f(n)，只要f(1)f(2) 一 f(n -1)是可求和的，就可以由any二anf(n)以n=1,2,(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求得an 0例3已知數(shù)列©n *中，滿足a1an 1an14n2 -1求an .1 1/1解：由已知可知an 1 一 an2(4n - 12 2n-1令n=1，2，(n -1)，代入后(n-1)個(gè)等式累加，即(a2 a1) (a3 - a2) (an - an-1)1“ 1 J 1二 _(1 _-)233 51 / 1 、_ = 一(1)12 2n-1 'ananan-( )2n -

3、 32n-12)4n - 3 4n -2 .遞推式為anpan q（p,q為常數(shù)），求a.例4 已知數(shù)列中，a廠1，對于 n 1(n N*)有 an二 3an-< 2，求 an .解法1 （構(gòu)造法）：由已知遞推公式得an3an 2，a 3an-< 2兩式相減an廠an二3（an 一 an-1），（這是手段之一）因此數(shù)列anan是公比為 3 的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2 - a廠(3 1 2) -1 = 4，an 十 一 an = 4 3 1，an 1=3an 2，3%a 4 3n-1即 an = 2 3n-1 -1解法2：由上法得a n1 - an是公比為3的等比數(shù)列，于是有:a2 一

4、 ai = 4 ,a3- a2= 4 3 ,a4-a3= 432，an - an-1 = 43“2把n-1個(gè)等式累加得5=41 3 32宀4（二）n-1a 2 3-1解法3 （構(gòu)造法）：設(shè)遞推式a 3an-i - 2可以化為a. - t = 31 - t）,即為 an 二 3an-1 一 2t , -2 = -2t , t = -1 ,于是得an 仁3(an-11)(這是手段之二)因此數(shù)列a n 1是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a12an 二 2 3n-1 -1解法 4： a 3an-12 二 3（an-22）2 = 32an-232= 32（3an-3 + 2） + 3迖 2 + 2 = 3

5、3an-3 +32述 2+ 3迖 2 + 2n-1二=3n-1a1 - （3心3n1）2二 3n-12 3 2 3n - 13-1四、遞推式為anpan qn(p,q為常數(shù))，求a.4 4思路：對于遞推式為a.4! = pa. + qn，可兩邊同除以qn ，得n+!q構(gòu)造出輔助數(shù)列'bn'bn例5 已知數(shù)列4/ 中,an b _ pb 17 ,得bn 1bn再用第三種類型求解即可.qq q51、n16， an 廠 3an ( 2)，求 an.1in 1n 1n 1_解：在an1 - 3 an ( 2)的兩邊乘以2 得2an 1令bn = 2nan則bn廠2 bn T ,于是可得

6、=|(2玄)1,五、2"廠九丐-*-1)(與例4解法一樣)2 n» =3-(3)n,anbn1 n 1 n曠 3(2)n-2(3)n五、遞推式為ani二f(n)an(n N*)，求 an.思路：對該遞推式先變形為求an 1f(n) 只要 f(1) f(2)f(n -1)的前n項(xiàng)積可求，可用累商法求得an.n +1例6 已知數(shù)列'an *中，a 2 , an .1二一J an，求通項(xiàng)an.把以上n-1個(gè)等式左右兩邊分別相乘，得ana1解：；a1 =2，an 1 一anna2 2a3a.na11 ，a22廠'二 n-1 .六、遞推式為an2二pan 1 qan(

7、 p, q為常數(shù))，求a.思路：設(shè)a.2二pan 1 qan可以變形為:an 2一 0(an)Ct + P = P就是an七 (+ p) an十-"'an，則可從農(nóng)用=_q解得0于是a n : an是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為第四種類型求解。J I2例7已知數(shù)列 a 匚中，a 1，a2 = 2，an .2 二 § an .1 13 an，求通項(xiàng)an .分析：B = 23 =) 13=1132 1解：在an2二an 13an兩邊減去an計(jì)，1 (得 an 2 - an 1 = (a1a n 1 - an是公比為一 3，首項(xiàng)為a2 一 a1=1的等比數(shù)列1、n-1a

8、n 1 - an =( - 孑)令n=1，2，(n -1)，代入后(n-1)個(gè)等式累加，得an * (-1 )0 .(-1)-1 嚴(yán) f 3)3 3 3 1 13r七、遞推式為 an 1 = pan ( p、r為常數(shù)，且p >0, an0),求 an 思路：由上式求an時(shí)，先對上式兩邊取對數(shù)，即Iga.廠Igpan,有 lg anr lg an lg p，令 bn=lg an，則 bn 廠 rbn lg p不妨設(shè)存在m，使上式可變形為(bn 1 m r(bn m)，lg p 即 bn 廠 rbn (r - 1)m，所以 lg (r -1)m， m r 一 1八ig p 八 ig P所以bn廠rbn ig p可變形為(4 ir (bn)r 一 1r 1, ig p b ig air -1fl ig p、, ig p所以bn是以bi為首項(xiàng)，以r為公比的等比數(shù)列r -1r-1例8 在數(shù)列、an p中，a= 3, an1 = 3an ,求通項(xiàng)an.解：由已知an 0，在遞推關(guān)系兩邊取對數(shù)，有 igan 1 = 2iganIg3令 bn = Ig an，則 bn2bn ig 3，所以