復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§8 復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解一、 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理1代數(shù)基本定理 每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)根.利用根與一次因式的關(guān)系，代數(shù)基本定理可以等價(jià)地?cái)⑹鰹椋好總€(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式.由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式. 于是，因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述成：2復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理 每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中是不同的復(fù)數(shù)，是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說明：每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)

2、計(jì)算）. 3結(jié)論 ：設(shè) 是復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)多項(xiàng)式，如果 的根都是 的根，則 例：若，則 4、次多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系.令 (1)是一個(gè)(>0)次多項(xiàng)式,那么在復(fù)數(shù)域中有個(gè)根因而在中完全分解為一次因式的乘積:展開這一等式右端的括號,合并同次項(xiàng),然后比較所得出的系數(shù)與(1)式右端的系數(shù),得到根與系數(shù)的關(guān)系.其中第個(gè)等式的右端是一切可能的個(gè)根的乘積之和,乘以.若多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)那么應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)須先用除所有的系數(shù),這樣做多項(xiàng)式的根并無改變.這時(shí)根與系數(shù)的關(guān)系取以下形式:利用根與系數(shù)的關(guān)系容易求出有已知根的多項(xiàng)式.例1 求出有單根5與-2,有二重根3的四次多項(xiàng)式.二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理對于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有：如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根，那么的共軛數(shù)也是的根,即實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對出現(xiàn)。實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理 每個(gè)次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與含一對非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次因式的乘積.實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式,除一次多項(xiàng)式外,只有含非實(shí)共軛復(fù)數(shù)根的二次多項(xiàng)式.因此，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中全是實(shí)數(shù)，,是正整數(shù)，并且是不可約的，適合條件.代數(shù)基本定理雖然肯定了次方程有個(gè)復(fù)根，但是并沒有給出根的一個(gè)具體的求法.高次方程求根的問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.特別是應(yīng)用方面，方程求根是一個(gè)重要的問題，這個(gè)問題是相當(dāng)復(fù)