一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)一、 空間解析幾何31 向量代數(shù)32 曲面及其方程53 空間曲線及其方程64 平面及其方程65 空間直線及其方程6二、 極限和連續(xù)81 數(shù)列極限82 函數(shù)極限83 幾個(gè)重要極限84 無(wú)窮小量85 連續(xù)函數(shù)8三、 一元函數(shù)的微分學(xué)101 導(dǎo)數(shù)的定義102 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算103 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：104 微分概念及其運(yùn)算法則105 Lagrange中值定理116 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性117 函數(shù)的極值與最大值最小值118 Cauchy中值定理119 法則：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必達(dá)法則 )1210 泰勒 ( Taylor )公式用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)12四、

2、 多元微分學(xué)131 極限與連續(xù)性132 微分和偏導(dǎo)數(shù)133 復(fù)合函數(shù)的微分法144 方向?qū)?shù)和梯度145 空間曲線的切線與法平面156 曲面的切平面與法線方程157 Taylor公式168 多變量函數(shù)的極值16五、 一元函數(shù)的不定積分181 不定積分182 基本積分表（求導(dǎo)的逆運(yùn)算）183 不定積分的性質(zhì)184 換元法185 分部積分法19六、 定積分201 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ）202 牛頓萊布尼茲公式203 定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）204 廣義積分20七、 多變量函數(shù)的重積分211 二重積分“分割，近似，求和，取極限”212 二重積分的累次積分213 二重積分

3、換元法224 三重積分22八、 曲線積分與曲面積分241 第一類曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分242 第一類曲面積分243 第二類曲線積分254 格林公式265 第二類曲面積分276 Gauss定理及散度287 Stokes定理即旋度Green定理的推廣288 保守場(chǎng)29九、 無(wú)窮級(jí)數(shù)301 無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)302 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法303 級(jí)數(shù)收斂的一般判別法314 絕對(duì)收斂與條件收斂315 冪級(jí)數(shù)及其收斂性326 傅里葉級(jí)數(shù)32十、 常微分方程341 一階微分方程342 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)353 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)354 用常數(shù)變易法求非齊次的特解常用來(lái)由齊次推非齊次、由線性推非線

4、性355 二階常系數(shù)線性齊次方程361、 空間解析幾何1 向量代數(shù)l 向量的線性運(yùn)算向量加法：三角形法則或平行四邊形法則：1)交換律a+b=b+a;2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則有：1)結(jié)合律l(ma)=m(la)=(lm)a； 2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.l 空間直角坐標(biāo)系 設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，則有1）a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz). 2）a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz). 3）la=(lax,lay,laz).4）b/aÛb=la&#

5、219;(bx,by,bz)=l(ax,ay,az)Û.5）向量模： 6）兩點(diǎn)間的距離：7）方向角：非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角方向余弦： ,.l 向量的數(shù)量積：a·b=|a| |b| cosq幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的投影的乘積。1）a·a = |a| 2. 2）abÛa·b =03）交換律: a·b =b·a; 4）分配律: (a+b)×c=a×c+b×c.5） (la)·b =a·(lb) =l(a

6、3;b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). 6）a·b=axbx+ayby+azbz .l 向量的向量積：c =a´bc的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q為a與b間的夾角;c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定.幾何意義：以a與b為兩鄰邊的有向面積。1）a´a =0; 2）a/b Û a´b = 03）交換律a´b = -b´a; 4）分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. 5）(la)´b

7、 = a´(lb) = l(a´b) 6）l 混合積，共面2 曲面及其方程旋轉(zhuǎn)面方程母線柱面方程，母線平行于軸的柱面方程，母線平行于軸的柱面方程橢球面方程，當(dāng)或或時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng)時(shí)，為球面方程。雙曲面方程錐面方程拋物面方程其中3 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程： （兩個(gè)曲面方程的交線）空間曲線的參數(shù)方程： 空間曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面方程為消去得到的方程，在坐標(biāo)面上的投影曲線方程為 4 平面及其方程l 平面方程一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一個(gè)法線向量n為 n=(A,B,C)】點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【通過(guò)點(diǎn)M0(x

8、0,y0,z0)】截距式方程： 【a、b、c依次為平面在x、y、z軸上的截距】l 兩平面的夾角：兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0;平面P 1和P 2平行或重合.l 點(diǎn)P0(x0,y0,z0)到平面的距離 5 空間直線及其方程l 直線方程 一般方程： （兩平面的交線）點(diǎn)向式方程.： 【過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,x0)】參數(shù)方程： 【且方向向量為s = (m,n,p)】?jī)牲c(diǎn)式： 【過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1,x1)】l 兩直線的夾角：兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)1）L 1L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0;

9、2） L1 / L2Û.l 直線與平面的夾角：直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角1）LP Û 2）L/P Û Am+Bn+Cp=0.l 平面束：通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束過(guò)直線的平面束方程為 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=02、 極限和連續(xù)1 數(shù)列極限數(shù)列極限：若數(shù)列及常數(shù) ，當(dāng)時(shí)，有，則稱該數(shù)列的極限為，記作或。此時(shí)也稱數(shù)列收斂 ，否則稱數(shù)列發(fā)散。（學(xué)會(huì)用定義證明數(shù)列極限，關(guān)鍵在于如何求得N）數(shù)列極限的四則運(yùn)算：若則有a.； b.； c. 夾逼準(zhǔn)則：設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，則2 函數(shù)極限，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有

10、左極限 右極限 3 幾個(gè)重要極限1） 2） 3） 4）5） 6） 7）4 無(wú)窮小量無(wú)窮小量：若，則稱函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量。等價(jià)無(wú)窮小定理：設(shè)且存在，則熟記的等價(jià)無(wú)窮?。簳r(shí)，5 連續(xù)函數(shù)函數(shù)在處連續(xù) =間斷點(diǎn)：a. 第一類間斷點(diǎn)：及均存在，若稱為可去間斷點(diǎn)；若稱為跳躍間斷點(diǎn)；b. 第二類間斷點(diǎn)：及中至少一個(gè)不存在，若其中一個(gè)為，稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)；若其中一個(gè)為振蕩，稱為振蕩間斷點(diǎn)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1） 零點(diǎn)定理：設(shè)，且 則必有使得2） 介質(zhì)定理：設(shè)，則上能取到；3） 最大值最小值定理：設(shè)，則上能取到最大值和最小值；3、 一元函數(shù)的微分學(xué)1 導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)，在的某鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱函

11、數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。并稱此極限為在處的導(dǎo)數(shù)，記做；。幾何意義：曲線在處的斜率，。 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系： （連續(xù)未必可導(dǎo)）2 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算：1） 2） 3） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： 參數(shù)方程求導(dǎo)法：對(duì)參數(shù)方程， ，有 3 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：4 微分概念及其運(yùn)算法則微分定義：若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為，為不依賴于的常數(shù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，記。 定理：在點(diǎn)處可微即微分運(yùn)算法則：1）；2）；3） ； 4）微分形式不變性：設(shè)，分別可微，則復(fù)合函數(shù)的微分5 Lagrange中值定理費(fèi)馬(Fermat)引理：設(shè)是的極值點(diǎn)，在可微，則。羅爾(Rolle)定理：滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間

12、 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)3) 在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。拉格朗日中值定理：滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo) 在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得推論：若函數(shù)在區(qū)間I上滿足，則在I上必為常數(shù).6 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性單調(diào)性的判定法：設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I上可導(dǎo)，若，則在I內(nèi)遞增（遞減）。7 函數(shù)的極值與最大值最小值極值可疑點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)極值第一判別法：設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且在空心領(lǐng)域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)由小到大通過(guò)時(shí)， 1）“左正右負(fù)”，則在取極大值； 2）“左負(fù)右正”，則在取極小值。極值第二判別法：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，1）若，

13、則在取極大值；2）若，則在取極小值。最值判定：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到。8 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：及滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)3) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi) 在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。9 法則：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必達(dá)法則 )洛必達(dá)法則：；（或）2）與在可導(dǎo)，且；存在（或?yàn)椋?10 泰勒 ( Taylor )公式用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)設(shè)函數(shù)在包含的某開(kāi)區(qū)間(a,b)處具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)(a,b)時(shí)，有其中 （在與之間） 特例：1）當(dāng)時(shí)，泰勒公式變?yōu)槔窭嗜?/p>

14、中值定理；2） 在泰勒公式中若取則有麥克勞林（Maclaurin）公式：4、 多元微分學(xué)1 極限與連續(xù)性平面上的點(diǎn)列的極限：設(shè)為平面點(diǎn)列，若，則稱是收斂點(diǎn)列，是點(diǎn)列的極限，記做（）。極限：設(shè)元函數(shù)，是的聚點(diǎn)，若存在常數(shù)，對(duì)，對(duì)一切，有，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記做（也叫重極限）。 PS：多元函數(shù)極限要求自變量沿任何方向、任何路徑趨于，若找到其兩個(gè)不同路徑上極限不同，則判斷多元函數(shù)極限不存在。二元函數(shù)的極限可寫作：。連續(xù)性：為的聚點(diǎn)時(shí)，；或?yàn)榈墓铝Ⅻc(diǎn)時(shí)，也是連續(xù)點(diǎn)。2 微分和偏導(dǎo)數(shù)微分：。偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在點(diǎn)的某鄰域中有極限（將當(dāng)做常數(shù)）存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，即設(shè)在處可微，。二元函數(shù)

15、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在域內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)和，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是的二階偏導(dǎo)數(shù)。按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：，定理：若和都連續(xù)，則=。（否則不一定成立）3 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：若函數(shù)可微，有一階偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)和有偏導(dǎo)數(shù)，并有： (口訣：分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo))微分中值定理：若函數(shù)在區(qū)域可微，連接和的線段全在內(nèi)，則必有，使得定理：若在區(qū)域中，則。全微分的不變性：設(shè)函數(shù)，都可微，則復(fù)合函數(shù)的全微分為 即無(wú)論是自變量還是中間變量, 其全微分表達(dá)形式都一樣, 叫做全

16、微分形式不變性。4 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)：若函數(shù)在點(diǎn)處沿方向（方向角為）存在極限：（）則稱為函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。定理：則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，且有： 由，故當(dāng)方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)取最大值，。梯度：定義向量為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度，記做，即PS：函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影。梯度的幾何意義：沿梯度正向，方向?qū)?shù)最大，即函數(shù)值增長(zhǎng)最快，其增長(zhǎng)率為；而沿梯度負(fù)向，方向?qū)?shù)最小，即函數(shù)值減小最快，其減小率為。5 空間曲線的切線與法平面參數(shù)形式切線向量?jī)芍娼痪€ 切線向量 兩曲面交線 切線向量6 曲面的切平面與法線方程法線向量 （梯度方向）7 Taylor公式Taylor定理：

17、，的某一鄰域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有其中，（拉格朗日余項(xiàng)）。8 多變量函數(shù)的極值定理：（必要條件）存在且在該點(diǎn)取得極值，則有PS：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。定理：（充分條件）若的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令，則有：1） 當(dāng)時(shí)，具有極值。且時(shí)取極大值；時(shí)取極小值；2） 當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值。3） 當(dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論。最值可疑點(diǎn)：駐點(diǎn)，不可偏導(dǎo)點(diǎn)，邊界上的最值點(diǎn)。PS：當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，則該極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)。條件極值：對(duì)自變量除定義域限制外，還有其它條件限制的極值問(wèn)題。（約束極值問(wèn)題）條件極值的求法:：1）代入法：求

18、的無(wú)條件極值問(wèn)題2） 拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在條件和下的極值。構(gòu)造輔助函數(shù)F（Lagrange函數(shù)），引入拉格朗日乘數(shù)，令 （可推廣） 解方程組 ， 可得到條件極值的可疑點(diǎn) 5、 一元函數(shù)的不定積分1 不定積分原函數(shù)：若在區(qū)間I上滿足，則稱F (x)為f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。定理1：存在原函數(shù)。定理2：原函數(shù)都在函數(shù)族內(nèi)。不定積分：f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為不定積分，記做=2 基本積分表（求導(dǎo)的逆運(yùn)算）3 不定積分的性質(zhì)1) 2）4 換元法第一類換元法（也稱配元法湊微分法）：則有換元公式目的：湊已知的積分公式； 關(guān)鍵：湊微分。第二類換元法：設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，具有原函數(shù)，

19、則 。目的：去根號(hào)等。5 分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式 積分得： 或 ：1) v容易求得；容易計(jì)算。6、 定積分1 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ），任一種分法，令，任取，總趨于確定的極限，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即定積分的幾何意義：曲邊梯形的有向面積。2 牛頓萊布尼茲公式設(shè)在上可積, 并有原函數(shù)，則 3 定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）4） 2）3） 4）5）4 廣義積分無(wú)窮限的廣義積分（第一類反常積分）：設(shè)，取，若存在，記廣義積分 。無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分或第二類廣義積分）：設(shè)，而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無(wú)界，取，若存在，則記廣義積分 。7、 多變量函數(shù)的重積分多元函數(shù)積分學(xué)

20、：重積分、曲線積分、曲面積分1 二重積分“分割，近似，求和，取極限”二重積分存在定理：若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù)，則在上可積。定理：若兩個(gè)二元有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都相等，則二者可積性相同，若可積，其積分相等。二重積分的性質(zhì)：設(shè)和在上可積，1）2） 若在上，則 3） 設(shè)在上可積，則 4） 在上也可積5） ，則 6） （微分中值定理）設(shè)函數(shù)在閉域上連續(xù)，為的面積 ,則至少存在一點(diǎn)，使得 2 二重積分的累次積分l 型積分：積分區(qū)域 l 型積分：積分區(qū)域 PS：若積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域，PS：若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域

21、或Y-型域，則3 二重積分換元法面積元素變換：雅克比行列式：2） 對(duì)變換有 特別地，直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，故 4 三重積分累次積分：三種方法（12種形式）各有特點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇 1）投影法“先一后二”； （細(xì)長(zhǎng)柱體）2）截面法“先二后一”；3）“三次積分法”變量代換：體積元素變換：特別地：1）柱坐標(biāo)計(jì)算： 2）球坐標(biāo)計(jì)算： 積分學(xué)定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線域曲面域8、 曲線積分與曲面積分1 第一類曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義：設(shè)是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線，是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，若通過(guò)對(duì)的任意分割和對(duì)局部的任意取點(diǎn)，下列“乘

22、積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在曲線上第一類曲線積分，或?qū)￠L(zhǎng)的曲線積分。PS：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求，但定積分中可能為負(fù)。曲線積分的性質(zhì)：（與其他積分性質(zhì)類似 ） 1） （為曲線弧的長(zhǎng)度）4） 線性性質(zhì)：5） 可加性：曲線積分的計(jì)算：（轉(zhuǎn)化為求定積分）設(shè)是定義在光滑曲線的連續(xù)函數(shù)，若的參數(shù)方程可表示為：，則PS：1）上述公式可看做“換元法”，因?yàn)?）如果曲線的方程為，則3） 在極坐標(biāo)下2 第一類曲面積分定義：設(shè)是空間中一光滑曲面，是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，若通過(guò)對(duì)的任意分割和對(duì)局部的任意取點(diǎn)，下列“乘積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在曲面上第一類曲面積分，或?qū)γ娣e的曲面積分。第一類曲面積

23、分的性質(zhì)：與第一類曲線積分類似，線性性質(zhì)和可加性。第一類曲面積分的計(jì)算方法：設(shè)有光滑曲面：，（或，）在上連續(xù)，則曲面積分存在，且有= （轉(zhuǎn)化二重積分）推導(dǎo)：用和兩簇曲線分割曲面，則面積微元特別地：若，則，故3 第二類曲線積分定義：設(shè)為平面內(nèi)從到的一條有向光滑弧，在上定義了一個(gè)向量函數(shù)，若通過(guò)對(duì)的任意分割和對(duì)局部的任意取點(diǎn)，“乘積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，或第二類曲線積分。PS：若為空間曲線： 性質(zhì)：1）2） （必須注意積分弧段的方向!）PS：定積分是第二類曲線積分的特例。第二類曲線積分的計(jì)算：在有向光滑弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為：，則曲線積分存在，且有

24、特別地，：則兩類曲線積分之間的聯(lián)系：切向量的方向余弦為，故令，為在上投影，則4 格林公式GREEN：設(shè)區(qū)域是由分段光滑正向曲線圍成，函數(shù) 在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 （將區(qū)域分割為既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域）PS：域邊界的正向：域的內(nèi)部靠左。PS：X型區(qū)域： Y型區(qū)域：推論：正向閉曲線所圍區(qū)域的面積為 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件：設(shè)是單連通域，在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：3） 沿中任意光滑閉曲線， 4） 在內(nèi)每一點(diǎn)都有 5） 中任一分段光滑曲線，與路徑無(wú)關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān) 6） 在內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即 PS：1）計(jì)算曲線積分時(shí), 若在某區(qū)域內(nèi)，可選擇方便的積分路徑

25、；4） 求曲線積分時(shí)，可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算，若積分路徑不是閉曲線，可添加輔助線；5） 可用積分法求在域內(nèi)的原函數(shù)：取定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，則原函數(shù)為5 第二類曲面積分雙側(cè)曲面及其定向：指定了側(cè)的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封閉曲面?zhèn)鹊囊?guī)定> 0 為前側(cè)> 0 為右側(cè)> 0 為上側(cè)外側(cè)< 0 為后側(cè)< 0 為左側(cè)< 0 為下側(cè)內(nèi)側(cè)PS：設(shè)為有向曲面，其面元在面上的投影記為，的面積為，則規(guī)定 類似規(guī)定PS：光滑參數(shù)曲面：，的兩個(gè)法向量為 （PS：非單位法向量）顯式曲面：，的法向量 定義：設(shè)在光滑的有向曲面上定義向量場(chǎng)，則稱為向量場(chǎng)在曲面上第二類曲面積

26、分。在直角坐標(biāo)系下，可表示為性質(zhì)：1）對(duì)場(chǎng)的線性，即若，則 2）若由協(xié)調(diào)拼接而成，則 = ； 3）兩類曲面積分的關(guān)系： 第二類曲面積分的計(jì)算法： （單位法向量 面元）PS：1）如果是顯式曲面，則 （計(jì)算時(shí)注意輪轉(zhuǎn)對(duì)稱性） 2） （上正下負(fù)） （前正后負(fù)） （右正左負(fù)）6 Gauss定理及散度高斯定理：設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成。若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則向量場(chǎng)的通量：，向量場(chǎng)通過(guò)的通量為，如果為雙側(cè)封閉曲面，如果，說(shuō)明內(nèi)部有產(chǎn)生向量的能力，即為有“源”的；如果，說(shuō)明向量在內(nèi)流失，即為有“匯”或“漏”。向量場(chǎng)的散度： 故高斯定理又可以寫成向量形式： 散度的性質(zhì)：1）=+

27、2）=+7 Stokes定理即旋度Green定理的推廣Stokes定理：設(shè)光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線。若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （其中的法向與的方向滿足右手法則確定）或 旋度：向量場(chǎng)沿有向曲線的積分定義為環(huán)量，定義向量場(chǎng)的旋度為 （代表流場(chǎng)的渦旋特性）故Stokes定理可以寫成：8 保守場(chǎng)保守場(chǎng)：設(shè)是區(qū)域中的連續(xù)向量場(chǎng)，如果沿任何鑄鍛光滑的閉路，都有，則稱是中的一個(gè)保守場(chǎng)。恰當(dāng)微分形式和有勢(shì)場(chǎng)：函數(shù)在上連續(xù)，若，則稱是一個(gè)恰當(dāng)微分或全微分。若，則，則稱是有勢(shì)場(chǎng)，是的一個(gè)勢(shì)函數(shù)，同時(shí)，也是的勢(shì)函數(shù)。全微分的積分：設(shè)是內(nèi)的一個(gè)全微分，則光滑曲線上 （與路徑無(wú)關(guān)）定理：

28、下面三個(gè)等價(jià)命題1）是有勢(shì)場(chǎng) （即恰當(dāng)微分 ）2） 與路徑無(wú)關(guān)3）沿任何中的閉路 （即是保守場(chǎng)）4） （即是無(wú)旋場(chǎng)）9、 無(wú)窮級(jí)數(shù)1 無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)：；部分和：。若存在，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，并記級(jí)數(shù)的和。定理：若收斂級(jí)數(shù)，則各項(xiàng)乘以常數(shù)所得級(jí)數(shù)也收斂，其和為。定理：設(shè)兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)和則級(jí)數(shù)也收斂，其和為。定理：在級(jí)數(shù)前面加上、去掉或改變有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性。定理：收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。定理：設(shè)收斂級(jí)數(shù)，則必有。2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：若，則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 部分和序列有界。定理(比較審斂法)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在，對(duì)一切，有（常

29、數(shù)），則有：1）若強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂，則弱級(jí)數(shù)也收斂；2）若弱級(jí)數(shù)發(fā)散，則強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散。定理（柯西積分判別法）：設(shè)為定義于上的非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。定理(比較審斂法的極限形式)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且滿足。則有：1）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散；2）當(dāng)時(shí)，收斂，也收斂；3）當(dāng)時(shí)，發(fā)散，也發(fā)散。定理（比值審斂法/Dalembert 判別法）：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則：1）當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；2）當(dāng)>1或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。定理（根值審斂法/ Cauchy判別法）：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則：1）當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；2）當(dāng)>1或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；3）=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散

30、。3 級(jí)數(shù)收斂的一般判別法Cauchy收斂原理：級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：對(duì)任意給定的0，存在正整數(shù)N，使得下式對(duì)一切與一切正整數(shù)p成立：Leibnitz判別法：設(shè)單調(diào)趨于零，則級(jí)數(shù)收斂。4 絕對(duì)收斂與條件收斂定義：對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若收斂，則稱原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若原級(jí)數(shù)收斂, 但發(fā)散, 則稱原級(jí)數(shù)條件收斂。定理3：設(shè)收斂，則也收斂。定理6.14：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則它的更序級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和不變，即= 推論：1）絕對(duì)收斂的充分必要條件是和都收斂；2）條件收斂則和都發(fā)散。5 冪級(jí)數(shù)及其收斂性定義：形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中數(shù)列稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。后面著重討論的情形，即Abel定理：若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則對(duì)滿足不等式的的一切冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。反之，若當(dāng)點(diǎn)發(fā)散，則對(duì)滿足不等式的的一切冪級(jí)數(shù)都發(fā)散。由Abel定理可以看出，的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間。用表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn)。稱為收斂半徑，稱為收斂區(qū)間，加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域。定理：若的系數(shù)滿足，則：1）當(dāng)時(shí)，；2）當(dāng)時(shí)，；3）當(dāng)時(shí)，。 (比值審斂法) （即 ）定理：若的系數(shù)滿足，則收斂半徑。 (Cauchy判別法)6 傅里葉級(jí)數(shù)定理：（三角函數(shù)正交性）組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系在上正交，即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在上的積分等于0。定理：設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分，則有狄利克雷(Dirich