第二章隨機變量的概率分布與數(shù)字特征

1、第二章 隨機變量的概率分布與數(shù)字特征在第一章中，我們介紹了隨機事件及其概率，可以看到很多事件都可以采取數(shù)值標識。如一個人的身高、體重、血壓、脈搏；抽檢產(chǎn)品時出現(xiàn)的廢品個數(shù)；擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)等對于那些表現(xiàn)為某種屬性的非數(shù)值標識的隨機事件，實際上也可以給它們以數(shù)值標識。例如，對新生兒的性別，可以0表示女，1表示男；對生化檢驗的結(jié)果，可以0表示為陰性，1表示為陽性；對生產(chǎn)的產(chǎn)品，可以2表示為優(yōu)質(zhì)品，1表示為次品，0表示為廢品等。這樣一來，隨機事件就都可以用數(shù)量來描述，從而，隨機試驗的結(jié)果可用一個變量來表示，隨機試驗的不同結(jié)果(隨機事件)表現(xiàn)為變量取不同的值。因此，本章先引入隨機變量的概念，把對隨機事

2、件及其概率的研究轉(zhuǎn)變成為對隨機變量及其概率分布的研究，本章主要討論兩類常用的隨機變量的概率分布及幾個常用的數(shù)字特征。§2-1離散型隨機變量及其概率分布2-1.1隨機變量例如一位隱性遺傳疾病的攜帶者有三個女兒，則每個女兒都有1/2的可能性從母親那里得到一個致病的X染色體而成為攜帶者(假設(shè)父親正常)，以A，B，C分別表示大女兒、二女兒和小女兒是攜帶者。若用X表示她們中的攜帶者人數(shù)，那么X=0，1，2，3是變量。但X等于多少要與試驗結(jié)果聯(lián)系在一起。如“X=0”=“X=3”=ABC“X1”=A+B+C等等，X取特定的值或特定范圍里的值是一個隨機事件，隨機事件的出現(xiàn)總是有一定的概率的，因而，變

3、量取特定值或某些值也有確定的概率。如：P(X=0)=P()=P()P()P()=()3=0.125P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= ()3=0.125P(X<)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P()=1通過該例，我們可對表示隨機試驗結(jié)果的變量下一個定義。定義1若對隨機試驗E的每一個可能的結(jié)果e，··都有惟一的實數(shù)x(e)與之對應(yīng)，則稱x(e)是隨機變量，記為X。亦可用Y，Z等表示。隨機變量通過隨機事件與概率聯(lián)系起來，對任何形式的隨機變量都有性質(zhì)1隨機變量取任何值的概率均為非負。性質(zhì)2隨機變量取所有可能取的值的概率為1。按

4、隨機變量的取值情況通常將其分為兩種基本類型，即離散型隨機變量和非離散型隨機變量，而非離散型隨機變量中最重要的也是實際工作中經(jīng)常遇到的是連續(xù)型隨機變量。本書只簡單介紹離散型及連續(xù)型這兩種隨機變量。(1) 離散型隨機變量其可取值是有限個或可列個。(2) 連續(xù)型隨機變量可以取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值或在整個數(shù)軸上取值。2-1.2離散型隨機變量的概率分布對一個隨機變量進行研究，首先要判斷它的取值范圍以及可能取哪些值，其次還要知道它取這些值的概率，也就是要知道它的取值規(guī)律。隨機變量X的取值規(guī)律稱為X的概率分布，簡稱分布。通常用隨機變量的概率函數(shù)(或概率密度函數(shù))、分布函數(shù)來描述隨機變量的分布。定義2設(shè)離散

5、型隨機變量X的所有可能取值為xi(i=1,2,n)，X取各個值的對應(yīng)概率為pi(i=1,2,，n)，則稱P(X=xi)=pi(i=1,2,n)(2-1)為離散型隨機變量X的概率函數(shù)(又稱分布律)。概率函數(shù)也可用列表的方式來表示(表2-1)：表2-1Xx1x2xixnP(X=xi)p1P2pipn這張表稱為X的概率分布表(又稱分布列)。概率函數(shù)具有下列基本性質(zhì)：(1)Pi0(i=1,2,n)(2)(2-2)從概率函數(shù)中能夠得到所有像“X=xi”這樣事件的概率，但有時，我們更關(guān)心如“Xxi”或“Xxi”這類事件的概率，如病人的身體狀況至多能承受多大劑量的放射治療；從失效率為1%的針劑中任取10支，

6、取到2支以上失效的概率是多少等，就需要計算事件Xxi或Xxi的概率，即P(Xxi)或P(Xxi)。定義3設(shè)X是隨機變量(可以是離散型的，也可以是非離散型的)，對任何實數(shù)x，令F(x)=P(Xx)(-<x<+)(2-3)稱F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)。對于任意實數(shù)x1<x2，有P(x1<Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)故P(x1<Xx2)=F(x2)-F(x1)因此，若已知X的分布函數(shù)F(x)，就能知道X在任何一個區(qū)間上取值的概率。從這個意義上來說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的變化情況，它具有下列性質(zhì)：(1) 0F(x)1(-<x<+)；(2)

7、F(x)是x的不減函數(shù)；(3) F(-)=F(x)=0,F(+)=F(x)=1；(4) F(x)至多有可列個間斷點，且在間斷點右連續(xù)。對于離散型隨機變量有F(xi)=P(Xxi)=P(X=x1)+P(X=x2)+P(X=xi)(2-4)即F(xi)=p1+p2+pi而pi=P(X=xi)=P(Xxi)-P(Xxi-1)=F(xi)-F(xi-1)(2-5)例1設(shè)某藥檢所從送檢的藥品中先后抽檢3件，如果送檢的10件中有2件失效，試列出檢得次品數(shù)的概率分布表，求出分布函數(shù)。解檢得次品數(shù)為隨機變量，設(shè)為X，則X的可取值為0，1，2，由第一章中古典概率的定義可計算得P(X=0)=0.4667P(X=1

8、)=0.4667P(X=2)=0.0666所以，其概率分布表為(如表2-2)表2-2X012Pi0.46670.46670.0666X的分布函數(shù)為：當x<0時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=0；當0x<1時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=p1=0.4667；當1x2時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=p1+p2=0.9334；當x2時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=p1+p2+p3=1于是，X的分布函數(shù)為如果取X的值于橫軸，pi的值于縱軸，便得到X的概率函數(shù)圖，它由幾條函數(shù)線組成，每條線長的值等于該點上的概率；如果仍取X的值于橫軸，而取F(x)的值于縱軸，便得到X的概率分布函數(shù)圖，它的圖形呈遞增臺階形，在分段點右連

9、續(xù)。本例X的概率函數(shù)圖如圖2-1，分布函數(shù)圖如圖2-2。圖2-1圖2-22-1.3二項分布、泊松分布及其他常見的離散型變量的分布一、 伯努利模型為了說明二項分布，先介紹伯努利模型。在醫(yī)藥領(lǐng)域內(nèi)，許多試驗只有兩種互斥的結(jié)果，如對病人治療的結(jié)果，有效或無效；生化檢驗的結(jié)果，陰性或陽性；毒性試驗的結(jié)果，存活或死亡；射擊試驗的結(jié)果，擊中與未擊中等。為了找到這些試驗結(jié)果的規(guī)律性，往往需要在相同條件下做n次獨立重復(fù)試驗，我們把這種試驗結(jié)果具有對立性的n重獨立重復(fù)試驗稱為n重伯努利試驗，簡稱伯努利試驗。伯努利試驗的共同特點是:(1) 對立性，每次試驗的結(jié)果只能是對立事件中的一個，要么出現(xiàn)A，要么出現(xiàn)。(2)

10、 獨立重復(fù)性，每次試驗的結(jié)果互不影響，且各次試驗中事件A出現(xiàn)的概率都相等，設(shè)為p，當然事件出現(xiàn)的概率亦相等，設(shè)為q,則q=1-p。例2某藥治某病的治愈率為p，今用此藥試治該病5例，問治愈3例的概率是多少?解設(shè)Ai=第i例治愈，則=第i例未愈(i=1,2,，5)，B=治愈3例，在5例治療中各例的治愈率都相等，即P(Ai)=p(i=1,2,，5)，且各例間的治療結(jié)果是獨立的，故治療5例就是做5次伯努利試驗。治療5例治愈3例的情況有種：A1A2A3，,于是+由于各例治療是相互獨立的，因此有=又由于種事件是互斥的，因此即治療5例治愈3例的概率為。這類問題的一般情形如下面的定理所述。定理1(伯努利公式)

11、在伯努利試驗中，若事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為p，則在n次試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為(2-6)如果上例的治愈率為0.7，那么治療5例治愈3例的概率是例3作抽球試驗，每次抽球一個：(1) 袋中裝有白球20個和黑球10個，作有放回抽取5次，求抽到白球3次的概率；(2) 袋中裝有白球2個和黑球1個，作有放回抽取5次，求抽到白球3次的概率；(3) 袋中裝有白球20個和黑球10個，作無放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。解(1) 有放回抽球?qū)俨囼?，令A(yù)=抽到白球，有，所以(2) 屬伯努利試驗，。(3) 無放回抽球不屬伯努利試驗，無放回抽球5次，可轉(zhuǎn)換成一次抽5個球，此時抽球的概率，參照1-

12、2.2古典概率例2的算法，有P(抽白球3次)對于伯努利模型應(yīng)當注意的是要區(qū)別P(A)和Pn(k)的含義。前者體現(xiàn)一般性(每次試驗中A 發(fā)生的概率)，后者體現(xiàn)特殊性(n次試驗中A恰好發(fā)生k次的概率)。兩者的關(guān)系是P(A)=P1(1)。二、 二項分布定義4若隨機變量X的概率函數(shù)為(k=0,1,n)其中0<p<1，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為XB(k；n,p)或XB(n,p)由于諸概率函數(shù)值(k=0,1,n),正好是二項式p+(1-p)n展開式中按p的升冪排列的對應(yīng)各項，故名二項分布。顯然二項分布對應(yīng)于n重伯努利試驗，其概率函數(shù)具有離散型隨機變量概率函數(shù)的兩個基本性質(zhì)，即(1)

13、(2-7)(2)(2-8)它的分布函數(shù)為(k=0,1,2,n)(2-9)對于二項分布的有關(guān)計算，可直接用概率函數(shù)、分布函數(shù)的公式進行計算，但通常n較大計算較煩，這時可利用書后附表1即二項分布累積概率P(Xk)(n30時)表進行查表計算。例4設(shè)XB(k；20,0.20)，求P(X=4)，F(xiàn)(4)，P(26)的值。解用公式計算用查表法計算較簡便，P(X=4)=P(X4)-P(X5)=0.58855-0.37035=0.2182F(4)=P(X4)=1-P(X5)=1-0.37035=0.62965P(2<X<6)=P(3X5)=P(X3)-P(X6)=0.79392-0.19579=0

14、.59813對于二項分布中概率p較大(p>0.5)時，就不能直接查表計算，但可以轉(zhuǎn)化為其對立事件(p<0.5，且亦服從二項分布)的概率計算。因為二項分布對應(yīng)于n重伯努利試驗，若事件A出現(xiàn)的次數(shù)XB(k；n,p)，則其對立事件出現(xiàn)的次數(shù)YB(k；n,1-p)(k=0,1,2,n)，兩變量取值間受如下關(guān)系的限制k+k=n,因此通過上述轉(zhuǎn)換式可將對X的有關(guān)概率的計算轉(zhuǎn)化為對Y的有關(guān)概率的計算。例5設(shè)XB(k；10,0.7)，求P(X7)。解 設(shè)Y為X所代表的事件的對立事件，則YB(k；10,0.3)， k+k=10，所以P(X7)=P(Y3)=1-P(Y4)=1-0.35039=0.64

15、961在二項分布中，X取不同值k(k=0,1,2,n)的概率是不同的，使P(X=k)取最大值的k(記為k0)稱為二項分布的最可能值，即n次獨立重復(fù)試驗中事件A最可能出現(xiàn)次數(shù)。因為顯然，當k<(n+1)p時，有單調(diào)增加，k>(n+1)p時，有單調(diào)下降，因此，當k在(n+1)p附近時，P(X=k)達最大值。若(n+1)p為整數(shù)，則，故最可能值k0為(n+1)p和(n+1)p-1；若(n+1)p為非整數(shù)時，則最可能值k0為(n+1)p取整數(shù)。例如：最可能值為4；最可能值為3和2；最可能值為2；最可能值為0。例6據(jù)報道，有10%的人對某藥有腸道反應(yīng)。為考察此藥的質(zhì)量，現(xiàn)隨機選5人服用此藥，

16、試求：(1)其中k個人(k=0,1,2,3,4,5)有反應(yīng)的概率；(2) 不多于2人有反應(yīng)的概率；(3) 有人有反應(yīng)的概率。解隨機選5人服藥，各人間對藥物的反應(yīng)具有獨立性，且每人服藥后有反應(yīng)的概率均可視為0.10，這相當于做5次獨立重復(fù)試驗，即p=0.10,n=5的伯努利試驗。因而反應(yīng)的人數(shù)X服從二項分布B(k；5,0.10)。按二項分布公式計算得概率分布表如下(1) k個人(k=0,1,2,3,4,5)有反應(yīng)的概率如表2-3。表2-3X=k012345P(X=k)0.590490.328050.072900.008100.000450.00001(2) 不多于2人有反應(yīng)的概率為這就是說，服藥

17、的人中不多于2人有反應(yīng)幾乎是肯定的，而多于2人有反應(yīng)幾乎不可能。因此，如果試驗結(jié)果超過2人有反應(yīng)，則可認為10%的人有反應(yīng)的報道是值得懷疑的。(3) 有人有反應(yīng)的概率P(X1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951例7某批產(chǎn)品有80%的一等品，若進行重復(fù)抽樣試驗，共取出4個樣品，求其中一等品數(shù)X的最可能值k0，并用二項分布公式驗證這一結(jié)果。若4個樣品中沒有或只有1個一等品，試說明此產(chǎn)品的質(zhì)量。解依題意，抽檢4個樣品，相當于做4重伯努利試驗，其中一等品的個數(shù)X應(yīng)服從二項分布B(k；4,0.8)，因為(n+1)P=5×0.8=4為整數(shù)，所以X的最可能值為4和3，即k取k0

18、=3和k0=4時，概率為最大。若用二項分布公式計算X取各值的概率列表2-4：表2-4X=k01234P(X=k)0.00160.02560.15360.40960.4096由上表可以看出，當X=3和X=4時概率最大，與前面所推測結(jié)果一致。另從上表中可知，4個樣品中沒有或只有一個一等品的概率為P(X1)=0.0016+0.0256=0.0272通常約定，概率不超過0.05的事件算作小概率事件。因為概率小，可以認為這種事件在一次試驗中幾乎不會出現(xiàn)，此謂“小概率原理”。如果它一旦出現(xiàn)，便被視為反常，從而有理由懷疑以至否定導(dǎo)致它出現(xiàn)的原因。例7中事件發(fā)生的概率為0.0272，屬于少概率事件?？梢姵霈F(xiàn)這

19、種情況的可能性很小，如果在一次抽檢中出現(xiàn)，說明80%的一等品的說法是可疑的。三、 泊松分布(稀有事件模型)在很多實際問題中，n次獨立重復(fù)試驗中的n往往很大，p往往很小。例如某人獨立射擊，每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，若按二項分布來計算擊中次數(shù)X的概率分布是很麻煩的，如果np=又是個較小的常數(shù)時，便可根據(jù)下面的泊松分布公式進行近似計算。定義5如果隨機變量X的概率函數(shù)為(2-10)其中>0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布。記為XP(k；)。對于泊松分布同樣有性質(zhì)：(1)(2-11)(2)(2-12)它的分布函數(shù)為(2-13)此外，它還有一個規(guī)律(2-14)當需要計算一連串概率函數(shù)值時

20、，可利用此規(guī)律進行遞推計算。服從泊松分布的隨機變量在實際中是很多的，例如三胞胎出生次數(shù)，癌癥發(fā)病人數(shù)，放射的粒子個數(shù)，特大洪水發(fā)生的年數(shù)，抽檢大量產(chǎn)品中出現(xiàn)次品的件數(shù)，同類型的設(shè)備在工作中出現(xiàn)故障的臺數(shù)等等。例8已知某廠生產(chǎn)的針劑的廢品率為0.01，400支針劑中，廢品有5支以上的概率是多少? 解由題意知針劑中出現(xiàn)廢品的支數(shù)X應(yīng)服從二項分布，即XB(k；400,0.01)，有由于n=400較大，P=0.01較小，且np=400×0.01=4<5。故X可認為近似地服從泊松分布，=np=4，可按泊松分布來計算概率。按公式計算查表計算，按=4,k=5，查附表2得P(X5)=0.371

21、163例9某人在一次試驗中遇到危險的概率是1%，如果他在一年里每天都要獨立重復(fù)做一次這樣的試驗，那么他在一年中至少遇到一次危險的概率是多少?解因為他要獨立重復(fù)做365次試驗，所以n=365,p=0.01，=np=365×0.01=3.65。P365次試驗中至少遇到一次危險=1-P365次試驗都未遇到危險此結(jié)果表明，即使在一次試驗中很難碰到危險，當試驗經(jīng)常重復(fù)時，至少遇到一次危險的概率仍然可以達到很大。四、 其他離散型變量的分布(1) 二點分布定義6設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)(2-15)即其中0<p<1，則稱X服從二點分布。例10一批產(chǎn)

22、品共100件，其中有95件正品，5件廢品，從中任取一件，其結(jié)果用隨機變量X來描述，試求X的概率分布。解設(shè)X=0表示“抽到正品”，X=1表示“抽到廢品”，由古典概型可知即X服從二點分布二點分布是特殊的伯努利模型，即為n=1時的二項分布。(2) 幾何分布定義7設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為(k=1,2,) （2-16)其中0<p<1,q=1-p，則稱X服從幾何分布。在伯努利試驗中，若事件A的概率為p，那么首次出現(xiàn)A時所做過的試驗次數(shù)X(包括A出現(xiàn)的那一次)服從幾何分布。pqk-1就是等待A出現(xiàn)共等了k-1次的概率。如袋中裝有白球3個，黑球2個，今有放回地多次抽球，每次抽一個球。有p=P(白)

23、=0.6，那么到第6次才首次抽到白球的概率是P(X=6)=0.6×0.45=0.006144(3) 超幾何分布定義8設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為(k=0,1,2,，l)(2-17)其中nN-M,l=min(M,n)，則稱X服從超幾何分布。設(shè)N個產(chǎn)品中有M個正品，現(xiàn)在無放回地抽取n次，每次抽一個，那么所抽n個中的正品個數(shù)X服從超幾何分布。因為它是無放回抽取，各次抽取試驗非獨立，所以不屬于伯努利試驗。而當N時，有，能證明這就是說，如果產(chǎn)品總數(shù)很多，無放回地抽取可以當作有放回抽取來看待，即可按二項分布計算，這時。§2-2連續(xù)型隨機變量及其概率分布由于連續(xù)型隨機變量能夠取某區(qū)間中的所有

24、值，它不能像離散型變量那樣將其可取值與對應(yīng)概率一一列出，因而不能用概率函數(shù)來描述，另外，從實際出發(fā)，沒有必要確認連續(xù)型變量X取某一值的概率，如追究人的體溫恰好等于37001度的概率未必有現(xiàn)實意義，人們關(guān)心的是體溫屬于正常值范圍的概率，故也沒必要用概率函數(shù)來描述。在這一節(jié)中我們引入概率密度函數(shù)來描述連續(xù)型隨機變量的概率分布，并介紹一些常見的連續(xù)型變量的概率分布。2-2.1連續(xù)型變量的概率分布定義1對于隨機變量X，如果存在一個非負的可積函數(shù)f(x)(-<x<+)，使對任意a,b(a<b)，都有P(a<x<b)=(2-18)則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率密

25、度函數(shù)，有時簡稱為概率密度或密度函數(shù)。概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1)f(x)0；(2)。對于連續(xù)型隨機變量X來說，它取任意一指定的實數(shù)值x0的概率為零，即P(X=x0)=0。事實上由定義式有0P(X=x0)P(x0-x<Xx0)=令x0，則上式右端0，故P(X=x0)=0。據(jù)此，對于連續(xù)型隨機變量X有P(x1<X<x2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)(x1<x2)即在計算X落在某區(qū)間里的概率時，可以不考慮區(qū)間是開的、閉的或半開半閉的情況。這里要說明一點，P(X=x0)=0并不意味著X=x0為不可能事件，它是可能會發(fā)生的。也就是說零概率事件也是有

26、可能發(fā)生的。如X為被測試某地大學生的身高，若大學生的身高都在1.60m以上，則P(X=1.60)=0，但事件X=1.60是可能發(fā)生的?？梢?，不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。同理，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。由定義和上述性質(zhì)可以看出(2-19) 即f(x)表示了隨機變量X在區(qū)間 (x,x+x)上的平均概率，它與物理學中線密度的定義類似，故稱為密度函數(shù)。它是連續(xù)函數(shù)。若不計高階無窮小，則當x很小時，由上式可得P(x<Xx+x)f(x)x從幾何上看，介于概率密度函數(shù)曲線y=f(x)與x軸間平面圖形的面積為1(圖2-3)，而X落在區(qū)間(x,x+

27、x)里的概率等于圖2-4中陰影部分的面積。圖2-3圖2-4定義2設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，稱(2-20)為隨機變量X的分布函數(shù)。它具有以下性質(zhì)：(1) 0F(x)1；(2) F(x)是不減的函數(shù)；(3)另由定義有P(x1<X<x2)=(x1<x2)(2-21)P(X>x)=1-P(Xx)=1-F(x)從幾何上看F(x)等于曲線y=f(x)與x軸間平面圖形在點x處左邊部分的面積。分布函數(shù)F(x)與概率密度函數(shù)互為逆運算關(guān)系，即(x)連續(xù)型隨機變量的概率分布就是指概率密度函數(shù)和分布函數(shù)。2-2.2正態(tài)分布及其他常見的連續(xù)型變量的分布一、 正態(tài)分布(1) 正態(tài)分布的定義定義3若隨

28、機變量X的概率密度函數(shù)為(-<x<+)(2-22)其中和>0是常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布(或高斯分布)，記為XN(，)。其分布函數(shù)為(2-23)(2) 正態(tài)分布的圖形與性質(zhì)。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖形見圖2-5，2-6。圖2-5圖2-6從正態(tài)分布的概率密度曲線可以看出正態(tài)分布的以下性質(zhì)：1) 概率密度函數(shù)f(x)>0，曲線y=f(x)以x=為對稱軸，以x軸為水平漸近線，在x=±處有拐點，當x=時取得取大值的單峰鐘形曲線。2)，即曲線與x軸間平面圖形的面積恒為1。當固定時，改變的值，y=f(x)的圖形沿x軸平行移動而不

29、改變形狀，故又稱為位置參數(shù)。若固定，改變的值，則y=f(x)的圖形的形狀隨的增大而變得平坦，隨的減小而變得陡峭，故稱為形狀參數(shù)。(3) 標準正態(tài)分布定義4稱參數(shù)=0,的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，記為XN(0,1)。其概率密度函數(shù)記為(2-24)其分布函數(shù)記為(2-25)標準正態(tài)分布具有正態(tài)分布的一切性質(zhì)，只是因為=0，y=(x)的圖形關(guān)于x=0對稱，因而具有更特殊的性質(zhì)：(-x)=(x)和(-x)=1-(x)，如圖2-7所示。標準正態(tài)分布非常重要，它是我們解決一般正態(tài)分布和許多其他統(tǒng)計分布的工具和橋梁。為了使用方便，前人已編制了標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)(x)值表(附表3)和標準正態(tài)分布分布函數(shù)(

30、x)值表(附表4)，以供查用。(4) 正態(tài)分布的有關(guān)計算1) 對標準正態(tài)分布，(x)和(x)的值可借助于圖2-7附表3、附表4進行查表計算。如查表得(0)=0.3989，(-1.45)=(1.45)=0.1394(-2.42)=0.007760或(-2.42)=1-(2.42)=1-0.992240=0.0077602) 對于一般正態(tài)分布，可先將其標準化。設(shè)XN(，)，則即得(2-26)(2-27)通過上兩式可將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布再利用(x)和(x)值表進行計算。例1設(shè)XN(0,1)，求：(1) P(X<-4.64)；(2) P(X>2.58)；(3) P(X<1

31、.96)。解(1) P(X<-4.64)=(-4.64)=0.000001742(2) P(X>2.58)=1-P(X<2.58)=1-(2.58)=1-0.995060=0.00494(3)P(X<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=(1.96)-(-1.96)=0.97500-0.02500=0.9500例2設(shè)XN(1.5，4)，計算：(1) f(5.5)；(2) P(-4<X<2)。解(1)(2) P(-4<X<2)=F(2)-F(-4)=例3設(shè)XN(,)，求：(1) P(X-<1.96)；(2) P(X-<

32、2.58)。解(1) P(X-<1.96)=P(-1.96<X-<1.96)=P(-1.96<X<+1.96)=F(+1.96)-F(-1.96)=(1.96)-(-1.96)=0.975-0.025=0.95(2) 同理可得P(X-<2.58)=0.99該例說明，若XN，則在試驗中X的取值落在區(qū)間(-1.96,+1.96)的概率為95%，落在區(qū)間(-2.58,+2.58)的概率為99%。用上例中同樣的方法還可求得P(X-<3)=0.9974說明在一次試驗中，X落在區(qū)間(-3，+3)內(nèi)的概率相當大，即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)。或者說，在一般情形下，X在

33、一次試驗中落在區(qū)間(-3，+3)以外的概率可以忽略不計，這就是通常所說的3原理。例4設(shè)XN(，2)，求X以95%的概率所落入的區(qū)間(關(guān)于的對稱區(qū)間)。解設(shè)X落入的區(qū)間是(-m,+m)，由題意知反查值表得m=1.96故X以95%的概率落入的區(qū)間是用同樣的方法可求出X以99%的概率落入的區(qū)間是醫(yī)學上，常把正態(tài)變量的95%或99%的概率的落入?yún)^(qū)間即(±1.96)或(±2.58)稱為正常值范圍。對于標準正態(tài)分布而言，正常值范圍為(-1.96，1.96)或(-2.58，2.58)。在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，存在許多服從正態(tài)分布的隨機變量。如測定正常人的各項生理指標，一臺機器所生產(chǎn)藥丸的

34、丸重，對一個物理量在相同的條件下進行多次重復(fù)測試的結(jié)果，一種農(nóng)作物的產(chǎn)量等等都服從正態(tài)分布，它們都可以看做由許多微小的、獨立的隨機因素作用的結(jié)果，且每種因素都不起壓倒其他因素的主導(dǎo)作用。凡具有這種特點的隨機變量，都可認為近似地服從正態(tài)分布，故正態(tài)分布又稱為隨機誤差模型。另外，許多其他分布在一定條件下也常用正態(tài)分布作為近似分布，因此正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中特別重要。二、 其他連續(xù)型變量的分布(1) 均勻分布定義5若隨機變量X的概率密度函數(shù)為(2-28)則稱X在區(qū)間a,b上服從均勻分布。由定義式顯然有f(x)0,f(x)的圖形如圖2-8所示。顯然，X落在區(qū)間(a,b)以外的概率為零?？紤]X落在

35、區(qū)間(c,c+l)(ac<c+lb)上的概率這表明X落在區(qū)間(a,b)中任意長度相同的子區(qū)間的概率是相同的，或者說X落在子區(qū)間的概率只與子區(qū)間的長度有關(guān)而與子區(qū)間的位置無關(guān)。在a,b上服從均勻分布的隨機變量X的分布函數(shù)為(2-29)分布函數(shù)F(x)的圖形如圖2-9所示。圖2-8圖2-9(2) 對數(shù)正態(tài)分布定義6若隨機變量X的概率密度函數(shù)為(2-30)其中>0，為常數(shù)，則稱X服從對數(shù)正態(tài)分布。因變量X的對數(shù)lgXN(，2)而得名。顯然有f(x)0，且在實際中，當驗證某一隨機變量服從正態(tài)分布失敗時，接著考慮的常常是對數(shù)正態(tài)分布。(3) 韋布爾分布定義7若隨機變量X的概率密度函數(shù)為(2-

36、31)則稱X服從韋布爾分布。其中m>0稱為形狀參數(shù)，稱為位置參數(shù)，>0稱為尺度參數(shù)。顯然有f(x)0，且=1韋布爾分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形分別如圖2-10(a)，2-10(b)所示。圖2-10韋布爾分布最有用的特殊情況之一是指數(shù)分布，它的密度函數(shù)為(2-32)它是在式2-31中取參數(shù)的結(jié)果。指數(shù)分布在實際中亦有重要意義，許多元件或設(shè)備的壽命、一些動物的壽命等都服從指數(shù)分布。憑借形狀參數(shù)m的調(diào)節(jié)，使得韋布爾分布可以概括許多不同類型的情況。近年來，它在藥學領(lǐng)域中獲得了廣泛的應(yīng)用。(4) 分布定義8若隨機變量X的概率密度函數(shù)為(2-33)其中>-1,>0，則稱X服從

37、分布。記為X()。這里是微積分中所熟知的函數(shù)。順便指出，當=0時，我們再次由分布密度函數(shù)得出了指數(shù)分布的密度函數(shù)。分布在推導(dǎo)統(tǒng)計學中有重要地位的2分布，t分布，F(xiàn)分布中很有用，它是一種非常重要的非正態(tài)分布。§2-3隨機變量的數(shù)字特征前面介紹的概率分布能完整地描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，然而在一些實際問題中要確定一個隨機變量的概率分布卻并非容易，且有些實際問題并不需要知道它的完整的分布，而只需知道它的某些特征，對隨機變量的全貌有個概括的了解就可以了。這些特征的數(shù)字表示就稱為隨機變量的數(shù)字特征。這節(jié)中我們將介紹其中最重要也是最常用的兩種數(shù)字特征，均數(shù)和方差。2-3.1均數(shù)(數(shù)學期望)例1設(shè)有

38、一批藥材是由1等、2等、3等這三個等級的藥材組成，今任取一件藥材觀察它的等級X。顯然X是隨機變量，且它所有可能的取值為1，2，3。如果有放回地抽取10件，在取得的10件中有5件1等，3件2等，2件3等，那么所取的10件產(chǎn)品的平均等級是多少?解如果用(1+2+3)/3=2作為平均等級顯然不合理，因為1，2，3三個等級在所取10件藥材中的地位不平等，如1等品的件數(shù)比3等品的件數(shù)的兩倍還多。那么自然會想到按算術(shù)平均的方法去計算：把上式換個寫法這種把每個等級與相應(yīng)的頻率乘積的和，稱為1，2，3等分別以為權(quán)的加權(quán)平均。我們知道，如果再抽取10件，1，2，3等品出現(xiàn)的件數(shù)就不一定是5，3，2了，也就是它的

39、頻率不一定是了，因此平均等級就不一定是1.7(等)了。可見由于抽樣不同，抽樣的平均等級亦不同，它也是一個隨機變量。但是，隨著試驗(抽取藥材)的次數(shù)增大，出現(xiàn)1，2，3等品的頻率就會逐漸穩(wěn)定在各自的概率附近，設(shè)pi表示第i(i=1，2，3)等藥材出現(xiàn)的概率，在求藥材平均等級時，用概率代替頻率，所得平均等級數(shù)1×p1+2×p2+3×p3就是一個確定的數(shù)，它表示該批藥材的平均等級。我們稱這種加權(quán)平均值為均數(shù)(數(shù)學期望)。下面分別對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的均數(shù)給出定義。定義1設(shè)離散型隨機變量X的概率分布表如表(2-5)表2-5Xx1x2xiP(X=xi)p1p2p

40、i則規(guī)定X的均數(shù)（2-34）這里，當X的可取值為無窮可數(shù)多個時，等式右端是一個無窮級數(shù)。由于平均值應(yīng)該與x1,x2,，xi的排列次序無關(guān)，因此要求這級數(shù)絕對收斂。所以，只有當級數(shù)收斂時才說X的均數(shù)存在。均數(shù)是反映隨機變量取值的集中趨勢的一個數(shù)字特征。例2甲乙二射手在同樣條件下進行射擊，它們命中的環(huán)數(shù)X、Y的概率分布表分別如表2-6，表2-7：表2-6X678910P(X=xi)0.100.200.300.300.10表2-7Y678910P(Y=yi)0.150.150.250.250.20試問誰的射擊水平較高?解由定義得甲平均命中環(huán)數(shù)為EX=6×0.10+7×0.20+8

41、×0.30+9×0.30+10×0.10=8.10(環(huán))乙的平均命中環(huán)數(shù)為EY=6×0.15+7×0.15+8×0.25+9×0.25+10×0.20=8.2(環(huán))可見乙的平均射擊水平較高。對于連續(xù)型隨機變量，由于它沒有像離散型變量那樣的分布律，因此不能以級數(shù)去定義它的均數(shù)。但是可設(shè)想把連續(xù)型變量X的取值區(qū)間分成無窮多個小區(qū)間(xk,xk+xk)，然后求出它在每個小區(qū)間上取值的概率。設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機變量X的分布密度，當xk很小時有Pxk<X<xk+xkf(xk)xk仿定義1得這樣自然會想到利用此式

42、右端的極限(若存在)，即去定義X的均數(shù)。定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則規(guī)定X的均數(shù)為(2-35)與離散型變量類似，這里只有在右端的廣義積分收斂時，才說EX存在。例3求在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機變量X的均數(shù)。解依題意有由式(2-35)得X的均數(shù)為下面我們再求常見的二項分布、泊松分布和正態(tài)分布的均數(shù)。例4若XB(k；n,p)，求EX。解例5若XP(k；)，求EX。解例6若XN(，求EX。解令,有,則均數(shù)有如下一些基本性質(zhì)：(1) E(c)=c(c為常數(shù))；(2) E(kX)=kEX(k為常數(shù))；(3) E(kX+b)=kEX+b(k,b為常數(shù))；(4) E(X±

43、;Y)=EX±EY(可推廣到有限個變量的情形)；(5) E(XY)=EX·EY(X與Y獨立)。2-3.2方差和標準差均數(shù)反映了隨機變量取值的平均情況，它是隨機變量的一個重要數(shù)字特征。但只看均數(shù)是不夠的，還應(yīng)該知道隨機變量的取值對均數(shù)的偏離程度。例如，設(shè)有甲、乙兩臺制丸機生產(chǎn)同一種藥丸的直徑(單位：mm)的概率分布表分別如下表2-8，表2-9：表2-8X56789P(X=xi)0.050.10.70.10.05表2-9Y45678910P(Y=yi)0.050.10.20.30.20.10.05如果藥丸的標準直徑為7，問哪臺機器的性能更好?容易算出EX=EY=7，可見兩臺機器

44、都是按標準生產(chǎn)的。但是從分布表可見，甲機器生產(chǎn)的丸徑比乙穩(wěn)定，也就是甲機器生產(chǎn)的丸徑與標準丸徑的總離差要小。因此，甲機器的生產(chǎn)性能比乙更好。為了用一個數(shù)字來刻畫隨機變量X取值對其均數(shù)EX的偏離程度，容易想到取(X-EX)的均數(shù)E(X-EX)，但這樣常常會造成正、負抵消，從而掩蓋實際偏差的大小，如果用E(X-EX)則可以反映全部偏差的大小，但絕對值運算起來不方便。因此常用E（X-EX）2來刻畫隨機變量X的取值對其均數(shù)EX的偏離程度，或刻畫X取值對其均數(shù)的波動程度。定義3 設(shè)X是一個隨機變量，則稱E(X-EX)2為X的方差，記作DX。即DX=E(X-EX)2(2-36)而DX稱為X的標準差。離散型

45、隨機變量X的方差為(2-37)其中pi=P(X=xi)(i=1,2,)連續(xù)型隨機變量X的方差為(2-38)其中f(x)是X的概率密度函數(shù)為了便于計算方差，可以由DX=E(X-EX)2推導(dǎo)出實用計算公式為DX=EX2-(EX)2(2-39)因為根據(jù)均數(shù)的性質(zhì)有DX=E(X-EX)2=EX2-2XEX+(EX)2=EX2-2(EX)·(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2例7設(shè)X的概率分布表如表2-10：表2-10X01Pi1-pp求DX。解EX=0·(1-p)+1·p=p，EX2=p若記1-p=q，則DX=E(X-EX)2=(0-p)2(1-p)+(1-p)2&#

46、183;p=p2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)=pq或DX=E(X2)-(EX)2=p-p2=p(1-p)=pq例8設(shè)X的概率密度為求DX。解由本節(jié)例3已知又于是下面再計算常用的二項分布、泊松分布和正態(tài)分布的方差及標準差。例9若XB(k；n,p)，求DX和。解由本節(jié)例4知EX=np，又所以例10若XP(k；)，求DX和。解由本節(jié)例5知EX=，又所以例11若XN(，2)，求DX和。解由本節(jié)例6知EX=，又令u=,x=u+,dx=du，得從以上例題可以看出，上述三種重要分布完全可由它們的均數(shù)和方差所確定。方差有如下一些基本性質(zhì)：(1) D(C)=0(C為常數(shù))；(2) D(kX)=k2D

47、X(k為常數(shù))；(3) D(X±Y)=DX+DY(X與Y相互獨立)(可推廣到任意有限個相互獨立隨機變量的情況)。2-3.3變異系數(shù)用方差或標準差來描述一個隨機變量取值的離散程度固然滿意，但在比較兩個變量取值的離散程度時，如果兩個變量的均數(shù)相差懸殊或者取值單位不同，這時用方差或標準差就不行了。為此，引入又一數(shù)字特征，稱隨機變量X的標準差與均值之比為X的變異系數(shù)，記為CVX。即(2-40)變異系數(shù)是標準差相對于均數(shù)的變化率，它同樣是描述隨機變量的離散程度，因其無量綱，更便于對不同隨機變量之間波動程度的比較。例12據(jù)調(diào)查，某地18歲男子身高均數(shù)為165.08cm，標準差為4.98cm，體重

48、均數(shù)為51.60kg，標準差為5.01kg，試比較該地男子的身高和體重波動程度哪個大。解因為身高和體重單位不同，直接用標準差比較波動程度不合適，應(yīng)該用變異系數(shù)來比較。×100%=3.02%×100%=9.71%可見，體重的相對波動程度大于身高的相對波動程度。§2-4三種重要分布的漸近關(guān)系離散型變量的二項分布、泊松分布和連續(xù)型變量的正態(tài)分布，是三種最基本也是最重要的概率分布，它們之間有著密切的漸近關(guān)系，也即：當n時，二項分布B(k；n,p)以泊松分布P(k；np)為極限分布。當n時，二項分布B(k；n,p)以正態(tài)分布N(np,npq)為極限分布。當n增大時，泊松分布

49、P(k；)以正態(tài)分布N(，)為極限分布。2-4.1二項分布的泊松近似定理1對于二項分布B(k；n,p),若，則(2-41)證明從略。由此可得，當n充分大時，二項分布的概率函數(shù)可用泊松近似表示。例1某車間送檢一批針劑，其中次品的概率是0.01，問抽檢500支針劑，有5支次品的概率是多少?解抽檢500支針劑中，檢出次品的支數(shù)為XB(k；500,0.01)，有5支次品的概率為(2-42)由于用二項分布公式直接計算難度很大，又n=500，因此可以近似化為泊松分布來計算，即是(2-43)有5支次品的概率是0.1755。2-4.2二項分布的正態(tài)近似定理2如果X表示在n次獨立試驗中的成功次數(shù)，p為每單一試驗

50、成功的概率，則當試驗次數(shù)無限增大時，變量X的分布趨于具有均數(shù)為np，標準差為的正態(tài)分布。這個定理表明，當n為大數(shù)時，某事件成功的概率的近似值，可用正態(tài)分布求得。二項分布的正態(tài)近似的幾何意義如圖2-11。當n大時，二項分布概率函數(shù)的包絡(luò)近似于正態(tài)概率密度曲線f(x)。從數(shù)值上看，二項分布概率函數(shù)值P(X=k)近似于正態(tài)分布概率密度f(k)值。即(2-44)接著討論二項分布累積概率的正態(tài)近似。設(shè)二項分布B(k；n,p)的概率函數(shù)如圖2-12所示，則其累積概率P(k1Xk2)等于從k1到k2共k2-k1+1條概率函數(shù)線之和，注意到小區(qū)間k-0.5,k+0.5的長度為1，因而概率函數(shù)P(X=k)，在數(shù)

51、值上正好等于該小區(qū)間上，高為P(X=k)的矩形面積，又因為X每相鄰兩個取值點的間隔為1。因此，二項分布累積概率P(k1Xk2)在數(shù)值上應(yīng)等于區(qū)間k1-0.5,k2+0.5上的k2-k1+1個矩形所組成的階梯形的面積，而這面積可以近似等于該區(qū)間上那條近似正態(tài)曲線所圍成的曲邊梯形的面積。因此，可得二項分布累積概率的正態(tài)近似圖2-11 圖2-12(2-45)若化成標準正態(tài)近似，可得(2-46)其中np,。有了二項分布的兩個近似計算，可以總結(jié)一下二項分布問題中的計算方法的選擇：(1) 當n為一個小的數(shù)時，可直接應(yīng)用二項分布公式計算；(2) 當n是一個大的數(shù)，而且p值很小或接近于1，np不很大，則應(yīng)用泊

52、松分布近似計算；(3) 當n是一個大的數(shù)，p不是很小或不是接近于1時，可應(yīng)用正態(tài)分布近似計算。例2對于某一癌癥高發(fā)病地區(qū)進行普查結(jié)果，其患癌癥的概率是0.005，現(xiàn)有這地區(qū)一萬人的鄉(xiāng)村，試推測：(1) 這個鄉(xiāng)有70人患癌癥的概率；(2) 有30至50人患癌癥的概率；(3) 有不少于50人患癌癥的概率。解全鄉(xiāng)1萬人中患癌癥人數(shù)X服從二項分布。因為n=104,p=0.005,np=104×0.005=50，可用正態(tài)近似計算。(1)(2)(3)有70人患癌癥的概率為0.001；有30至50人患癌癥的概率為0.4977；全鄉(xiāng)不少于50人患癌癥的概率為0.5557。2-4.3泊松分布的正態(tài)近似

53、上面已討論過，當n大時，二項分布B(k；n,p)近似于泊松分布P(k；np)，同時它又近似于正態(tài)分布N(np,npq)，由此可推出當n大時，泊松分布也會近似于正態(tài)分布，一般說，當變量X服從泊松分布時，p的值較小，因此q的值可以近似看為1，則從二項分布的參數(shù)推算可得，,所以，對于P(k；)向N(，2)逼近的參數(shù)替換為。 經(jīng)標準化，可得到泊松分布的標準正態(tài)近似。(2-47)(2-48)其中例3某藥廠大批量生產(chǎn)外用藥，平均每個月的廢品數(shù)為35件，試估計該廠：(1) 下個月內(nèi)出現(xiàn)廢品件數(shù)為65件的概率；(2) 下個月內(nèi)出現(xiàn)廢品少于40件的概率。解此廠出現(xiàn)廢品屬于伯努利試驗之稀有事件，可認為其每月出現(xiàn)廢

54、品的件數(shù)X服從參數(shù)=35的泊松分布，泊松分布可用正態(tài)近似：,。(1)(2)該廠下個月內(nèi)出現(xiàn)廢品為65件的概率為0；出現(xiàn)廢品少于40件的概率為0.7517。§2-5大數(shù)定律及中心極限定理所謂極限定理，就是采用極限的方法得出隨機變量分布的一系列定理，也就是說，極限定理是研究隨機變量的極限分布的。一般可以分為兩類，第一類極限定理，是闡述若干個隨機變量的均數(shù)的極限定理，統(tǒng)稱為大數(shù)定律。第二類極限定理是闡述在怎樣的條件下，當n時，獨立隨機變量之和的極限分布為正態(tài)分布，有關(guān)第二類極限定理的命題統(tǒng)稱為中心極限定理。下面我們簡單地不加證明地給出有關(guān)的一些定理。2-5.1切比雪夫不等式我們知道，一個隨

55、機變量離均差平方的數(shù)學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度。切比雪夫不等式就是研究隨機變量的離差與方差之間關(guān)系的工具。定理1(切比雪夫不等式)設(shè)隨機變量X有均值EZ及方差DZ，則對任給的0，有(2-49)或(2-50)切比雪夫不等式只利用均值及方差就描述了隨機變量的變化情況，如(2-50)斷言不管X的分布是什么，X落在(EZ-，EZ+)中的概率不小于。 因此它在理論研究及實際應(yīng)用中很有價值。例1某地區(qū)調(diào)查10000名某疾病的患者，該病需住院治療的概率是07，估計10000名患者中同時需住院治療的人數(shù)在6800與7200之間的概率。解令Z表示同時住院的患者數(shù)，它服從二項分布，P=