行列式計算方法研究0905020124蘭晨晨—論文定稿

1、畢業(yè)論文（設(shè)計）論文題目：行列式計算方法研究學(xué)生姓名：蘭晨晨學(xué) 號：所在院系：數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系專業(yè)名稱：信息與計算科學(xué)屆 次：2013屆指導(dǎo)教師：季全寶目 錄1 引言21.1 研究背景21.2 研究目的22 行列式的定義及性質(zhì)22.1 行列式的定義22.1.1 二級行列式22.1.2 三級行列式32.1.3 n級行列式42.2 行列式的性質(zhì)53 行列式的計算方法53.1 化三角形法53.2 提取公因式法73.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法83.4 利用遞推關(guān)系法114 總結(jié)概述14參考文獻(xiàn)：15行列式計算方法研究學(xué)生：蘭晨晨（指導(dǎo)教師：季全寶）（淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系）

2、摘 要：行列式的計算具有很強的技巧性，從理論上來說，所有的行列式都可以按照其基本定義直接進行計算，但是按照其定義直接去計算而不依靠計算機的幫助，很多時候是不可能的。本論文在總結(jié)了現(xiàn)有的常規(guī)型行列式的計算方法的基礎(chǔ)上，對行列式的一些計算方法和技巧進行了更加深入的研究和探討?？偨Y(jié)出了“化三角形法”、“提取公因式法”、“利用范德蒙(Vandermonde)行列式法”和“利用遞推關(guān)系法”4種具有很強代表性的計算技巧和途徑。關(guān)鍵詞：行列式；計算方法；三角形行列式；遞推關(guān)系式Research on the Method of Determinantal CalculationStudent: Lan Ch

3、enchen (Faculty Adviser: Ji Quanbao)(Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University)Abstract: The computing methods of determinant rely much on techniques. Theoretically, all the determinants can be computed by the definition of determinant directly. However, it is so

4、metimes impossible to indirectly compute by the definition, rather than by computer. In this paper, based on the computing methods of the conventional determinant, I further study and discuss some computing methods and skills of the determinant. Then I summarize four representative method stand skil

5、ls as following: transforming triangular determinant, Extract the common factor of the determinant, use the method of the Vandermonde determinant, the method of recursive relational formula.Keywords: Determinant; calculation method; triangle determinant; recursive relational formula1 引言1.1 研究背景 行列式是

6、高等數(shù)學(xué)中一個十分重要的課題，在數(shù)學(xué)理論的研究中起到了相當(dāng)重要的作用。早在十七世紀(jì)末和十八世紀(jì)初，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨在解線性方程組的過程中，就各自提出了行列式的概念；到了1772年的時候，法國數(shù)學(xué)家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式獨立于線性方程之外，將其作為專門的理論來進行研究；而十九世紀(jì)又是行列式理論的形成和發(fā)展的重要時期，尤其在十九世紀(jì)中葉出現(xiàn)了行列式的大量定理。因此，在十九世紀(jì)末的時候，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)清楚的描述出了行列式的基本形式。 行列式最早產(chǎn)生于解線性方程組的過程中，而其初步的應(yīng)用也是服務(wù)于解線性方程組，不過它現(xiàn)在的應(yīng)用范圍不僅僅局限

7、于解線性方程組的過程中，而且已經(jīng)成為許多學(xué)科十分重要的計算工具。所以，對于我們來說掌握行列式的計算方法是非常重要的。1.2 研究目的 行列式的計算是數(shù)學(xué)研究中的一個十分重要的問題，也是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題。當(dāng)行列式的階數(shù)相對較低（不超過3）時，通?？梢园凑招辛惺降亩x和性質(zhì)直接進行計算得出結(jié)果，而行列式出現(xiàn)很多的零元素時（如三角形行列式）也可以按行列式的定義直接進行求值。但是對于階數(shù)比較大的n階行列式，按照其定義和性質(zhì)直接去計算行列式，這幾乎是不可能的事，因此，對于研究一般的n階行列式的計算方法，是十分必要的。2 行列式的定義及性質(zhì)2.1 行列式的定義2.1.1 二級行列式定義：由4個數(shù)組成的記

8、號：, (1)我們稱(1)為二級行列式,它的值等于, 即, 數(shù)我們稱為行列式(1)的元素，元素的兩個下標(biāo)i和j, 我們稱其為行標(biāo)和列標(biāo)，分別表示該元素處于行列式的第i行和第j列。對于二元線性方程組,當(dāng)時，此方程組有唯一解，即：.我們就稱為二級行列式，用符號表示為. 于是，上述解可以用二級行列式的形式敘述為：當(dāng)二級行列式時，此方程組有唯一解，即：.若記：,則：.2.1.2 三級行列式 定義：假設(shè)由9個數(shù)組成的一個3行3列的數(shù)表：, (2)記：, (3)我們就可以稱(3)式稱為數(shù)表(2)所確定的三級行列式，所以，對于三元線性方程組,我們有：當(dāng)三級行列式：時，該方程組有唯一解，即：,其中：.2.1.

9、3 n級行列式定義：設(shè)有個數(shù)，排列成一個n行n列的數(shù)表：, 記：, (4)它的值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積 (5)的代數(shù)和，這里的是的一個排列，每一項(5)都按下面的規(guī)則帶有符號：當(dāng)為偶排列時，(5)式帶有正號；當(dāng)為奇排列時，(5)式帶有負(fù)號，我們可以將這個定義寫成：,這里表示對所有的n級排列求和。2.2 行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1: 行列互換，行列式不變15，即：.注：行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式。 性質(zhì)2: ,這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個數(shù)乘此行列式15。 性質(zhì)3: ,這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和

10、，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣15。 性質(zhì)4: 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零15。所謂兩行相同就是說兩行的對應(yīng)元素都相等。 性質(zhì)5: 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零15。 性質(zhì)6: 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變15。 性質(zhì)7: 對換行列式中兩行的位置，行列式反號15。3 行列式的計算方法3.1 化三角形法 化三角形法的原理是將普通形式的行列式轉(zhuǎn)化為上(下)三角形形式的行列式或?qū)切涡问降男辛惺?，然后在進行計算，這是行列式的基本計算方法中重要的方法之一，對于上(下)三角形行列式或者對角形行列式的值，因為利用行列式的定義求較為容易，所以原則上來說,

11、每個行列式都可以利用其性質(zhì)將行列式一般形式轉(zhuǎn)化為三角形形式來進行計算。但是對于階數(shù)較高的行列式,在通常情況下,計算往往比較繁瑣。因此,在很多情況下,我們都是先利用行列式的基本性質(zhì)，把一行（列）的適當(dāng)倍數(shù)加到另一行（列），這樣就可以把一個n級行列式轉(zhuǎn)化為三角形行列式，然后再利用三角形行列式的性質(zhì)來進行計算。 例1: 計算級行列式的值。解：=. 例2: 計算級行列式的值。解：=. 注意：可以采用化三角形法來進行計算的行列式，它們都有一個共同特征：行列式每行（列）的相同元素要盡可能多。利用行列式的性質(zhì)，我們可以將某行（列）的適當(dāng)倍數(shù)加到其它行（列），這樣行列式就會出現(xiàn)更多的零，可以進一步轉(zhuǎn)化為三角形

12、行列式。類似這樣的行列式還有：等等。3.2 提取公因式法行列式如果滿足下面幾個條件之一，那么就可以用這種方法：(1) 有一行（列）的元素相同，我們稱之為“”型；(2) 有兩行（列）相對應(yīng)元素之間的和或者差相等，我們稱這種形式的行列式為“鄰和型”；(3) 各行（列）元素之和都相等，我們稱之為“全和型”。對于滿足條件(1)的行列式，我們可以按照行列式的性質(zhì)直接提取出公因式a化為型，然后按照行列式展開原理，使行列式降一級；而滿足條件(2) (3)的行列式都可以依據(jù)行列式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為滿足條件(1)的行列式，從而間接利用提取公因式法。 例3: 計算行列式的值。 解：觀察行列式的結(jié)構(gòu)可知，此行列式的各

13、行元素之和都等于, 屬于“全和型”行列式，所以：. 例4: 計算行列式的值。 解：觀察行列式可知，此行列式的各行元素之和都等于, 則：.3.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)為：. 有些情況下的行列式構(gòu)造結(jié)構(gòu)與范德蒙行列式很相似,這種情況下，我們可以將行列式化為范德蒙行列式的形式并計算結(jié)果。 例5: 計算行列式的值。 解：從題中我們可以看出，行列式并不是范德蒙行列式,但與范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)很相似，所以我們可以考慮構(gòu)造階的范德蒙行列式來間接求出的值。將其構(gòu)造為階的范德蒙行列式形式,得：,將按第列展開得：,其中,的系數(shù)為：,又根據(jù)范德蒙行列式的結(jié)果知：,由上式可求得

14、的系數(shù)為：,所以有：. 例6: 計算級行列式的值。 解：加邊構(gòu)為造范德蒙行列式得：,將第一列的(-1)倍加到其他各列得：,將該行列式拆分為兩項得：=. 例7: 計算級行列式的值。 解：可以將第一行視為, 再按照行列式的性質(zhì)，按第一行將行列式拆分為兩項得：把第一個行列式從第一行開始將第行依次加到第行；從第二個行列式的第列提取出項，得：=.3.4 利用遞推關(guān)系法 對于有很多元素重復(fù)出現(xiàn)的行列式，我們可以利用其按行（列）展開的性質(zhì)，能夠得到原行列式和與其類型相同的低階行列式它們之間的遞推關(guān)系式。這種方法有的時候需用到, 有的時候要用到, 如果出現(xiàn)的是的關(guān)系，那么可以直接來進行遞推；如果出現(xiàn)的是的關(guān)系

15、，那么通常就要寫成的形式來進行遞推，這里的和能夠用待定系數(shù)法去求，也能夠利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出。(1) 利用進行遞推 例8: 計算行列式的值。 解：=,而：,假設(shè)：, 代入到上面的遞推關(guān)系式得到：+=. 例9: 計算行列式的值。 解：=,同理有：,若, 解得：,若, 解得：.(2) 利用,進行遞推 例10: 計算行列式的值。 解：=,所以有：,從而：, 而：,所以：, (1)同理可得：. (2) 若, 又(1) (2)兩式消去, 得：， 若, 得：. 注意：像這種類型的行列式，它們的特征是：行列式按其中某行（列）展開后可以得到與原行列式結(jié)構(gòu)類型相同的低階行列式，由此我們可以得到類型相同的

16、高階行列式和低階行列式它們之間的遞推關(guān)系。 除此以外，對于各行（列）元素的和都相等的行列式，我們通常先將各列（行）進行相加，然后提取公因式，再按照行列式的性質(zhì)來進行計算。除了上述幾種方法之外，還有的行列式可利用行列式的基本性質(zhì)來進行計算，這類題目的計算較為容易，在此不另再詳細(xì)介紹。4 總結(jié)概述 對于行列式的計算，不同類型的行列式在計算過程中可能需要用到不同的計算方法，但是至于利用哪一種方法進行計算比較簡單合適，要視其具體的結(jié)構(gòu)形式而定。而且同樣的題目有的時候也可以用不同的方法來計算，行列式的計算雖說并不是非常的簡單，但是其計算方法和技巧卻也不是想象中的那么復(fù)雜，只要我們多多觀察行列式的特點，就

17、能夠找到適合的計算方法。在計算行列式的過程中，需要特別注意的一點是，有些行列式的計算并不是僅僅靠一種方法就可以完成，更多的時候可能要用到兩種或者兩種以上的計算方法。參考文獻(xiàn)：1 樊正華, 徐新萍. 淺談行列式的計算方法J. 江蘇教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 27(1): 61-64.2 倪淑琪. 論行列式的計算方法J. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2001, 7(4): 31-34.3 史昱. 關(guān)于行列式計算方法的探討J. 山東電力高等?？茖W(xué)校學(xué)報, 2006, 9(2): 25-34.4 張新功. 行列式的計算方法探討J. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 28

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