行列式的計(jì)算方法和解析論文

1、行列式的計(jì)算方法與解析重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2007級(jí) 劉娟指導(dǎo)教師：孫曉梅中文摘要：高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系的一門基礎(chǔ)課，而行列式又是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。本文將行列式的計(jì)算方法進(jìn)行歸納總結(jié)，共論述了13種方法，并通過一些典型的例題介紹計(jì)算行列式的一些技巧。 關(guān)鍵詞：行列式 計(jì)算方法 范德蒙行列式 解析Abstract: Determinant of higher algebra is one of the basic and important curriculum content, in mathe

2、matics has been widely used, so it is very important for us to know how to calculate the determinant . This method of calculating the determinant is summarized, a total of 13 kinds of methods are discussed and some typical examples introduced by calculating the determinant of certain skills.Key Word

3、s: determinant calculation skill Vander Mongolia determinant analysis 一、前言行列式的計(jì)算，高等代數(shù)中重要內(nèi)容之一，最常用的是利用行列式的性質(zhì)和展開定理，需要熟練的掌握，根據(jù)其具體特點(diǎn)采用不同的計(jì)算方法，本文對行列式的解題方法進(jìn)行了總結(jié)歸納。將一個(gè)行列式化為三角形行列式，是行列式計(jì)算的一個(gè)基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個(gè)行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個(gè)基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用

4、拉普拉斯（Laplace）定理法、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法、利用乘法定理法、裂項(xiàng)法、升階法、公式法、規(guī)律缺損補(bǔ)足法、特征根法、數(shù)學(xué)歸納法、利用行列式乘法規(guī)則等可以看成是它們衍生出的具體方法。二、方法解析1、化三角形法此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表示為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且?guī)Х?hào)。例1計(jì)算N階行列式解 2、利用遞推關(guān)系法所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類型n階與n

5、-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。例2 計(jì)算n階行列式 ，其中解 將的第一列視為（a-c）+c,0+c,0+c,據(jù)行列式的性質(zhì)，得 (1)由b與c的對稱性，不難得到 (2)聯(lián)立（1），(2）解之，得 例3 計(jì)算n階行列式 解 將按第一行展開，得于是得到一個(gè)遞推關(guān)系式 ，變形得 ，易知 所以 ，據(jù)此關(guān)系式再遞推，有 如果我們將 的第一列元素看作a+b,1+0,0+0,按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式 ，同樣可 的值。3、提取公因式法若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對

6、應(yīng)元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式a變?yōu)椤?，1，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。例4計(jì)算N階行列式 解 該行列式各行元素之和都等于 x+，屬于“全和型”，所以 4、利用拉普拉斯（Laplace）定理法 首先，讓我們先來看看拉普拉斯定理的內(nèi)容：在n階行列式D=拉普拉斯定理，在計(jì)算行列式時(shí)，主要應(yīng)用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當(dāng)行列式里零元素很多時(shí)，運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理，往往會(huì)給行

7、列式的計(jì)算帶來方便。例5 計(jì)算2n階行列式解 5、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，因此在計(jì)算行列式時(shí)，可直接用其結(jié)果。例6 計(jì)算n階行列式 分析：由題目觀察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，將其化為兩個(gè)行列式的和，再來計(jì)算。解 原不等式可化為： 把第一個(gè)行列式從第一行起依次將i行加到i+1行；第二個(gè)行列式的第i列提取（i=1，2，3n），得6、利用乘法定理法在計(jì)算行列式時(shí)，有時(shí)可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個(gè)容易計(jì)算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列

8、式的值；有時(shí)不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。例7計(jì)算n階行列式 解 所以，當(dāng)n>2時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=1時(shí)， 7、裂項(xiàng)法 此法多用于將行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某種特殊算法 例8 計(jì)算=解：=+ =+=+ （1）同理 = （2）若，由（1），（2）組成的方程組解得 若，利用（1）遞推得到： 8、升階法在計(jì)算行列式時(shí)，我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時(shí)與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上添行加列使其升階構(gòu)造一個(gè)容易計(jì)算的新行列

9、式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種計(jì)算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應(yīng)元素成比例。升階時(shí)，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個(gè)位置？這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)作出選擇。例9計(jì)算n階行列式 ，其中分析：觀察行列式可知，除主對角線外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升階法，對原行列式添加一行一列，運(yùn)用行列式的性質(zhì)再來求解。解 將最后一個(gè)行列式的第j列的倍加到第一列（j=2,3,n+1），就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主對角線上的元素為故 例10 計(jì)算n階行列式解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙

10、行列式的結(jié)果，可以令 按第n+1列展開，則得到一個(gè)關(guān)于y的多項(xiàng)式， 的系數(shù)為，另外， 顯然，中的系數(shù)為，所以9、公式法根據(jù)分塊矩陣的知識(shí)，不難證明如下結(jié)論：（1） 設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，則有 （2） 設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，則有 （3） 設(shè)A，B，C，D都是n階方陣，且A可逆，則有 有些行列式可應(yīng)用上述結(jié)論計(jì)算，用上述結(jié)論計(jì)算行列式的方法，我們稱為公式法例11 計(jì)算n階行列式 解 令 A=則由結(jié)論（2），得 10、規(guī)律缺損補(bǔ)足法 此法多用于除去某些行列或?qū)蔷€的元素后行列式的各元素具有規(guī)律性，此時(shí)就須補(bǔ)足規(guī)律，而后再減去某些元素。例12 計(jì)算 解：（1）若 時(shí)D= (*)

11、這里, , 所以(*)式= （）（2）若存在 ，則 這時(shí)（）同樣適用，因而（）為計(jì)算公式.11、特征根法 此法用于行列式所對應(yīng)矩陣的特征根已知或易求的情況下，利用，其中為的特征根.例13 已知的特征根之模長均小于1，求證.證明:首先沒有零特征根，否則存在可逆陣，使得 所以，= 所以，1為的特征根矛盾. 設(shè)，所以，所以，<即1>-1即<2,所以，<即0<<.12、數(shù)學(xué)歸納法例14用數(shù)學(xué)歸納法證明：解：當(dāng)時(shí)有： 命題成立。假設(shè)時(shí)，命題成立，要證時(shí)，等式成立。 b按最后一行展開得： 將按最后一列展開 = 將 前列加到最后一列=按最后一列展開得：=所以 因?yàn)椋裕?/p>

12、 故本題得證！注：本題可按行列式定義展開，也可按行或者列展開，還可將第行乘以都加到第1行，再按第1行展開。同樣可證得此式 13、利用行列式乘法規(guī)則例13 設(shè)解：有所以三、總結(jié)以上總共給出了計(jì)算行列式的13種方法，其中有一些是常見的基本的方法，還有一些是特殊的方法。在課外書中還有一些其他方法，如極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，因?yàn)橛猛静粡V，所以不加以介紹。我認(rèn)為只要理解和掌握以上13種方法，不管哪種行列式的計(jì)算，都可以迎刃而解。而且一個(gè)題目有時(shí)候要由多種解法并用，或一個(gè)題可由多種方法獨(dú)自解出，這就需看大家的靈活應(yīng)用程度，找出一個(gè)最簡便的方法解出其值。參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等代數(shù)（第二版）.北京：高等教育出版社，1994