畢業(yè)論文基于MATLAB的自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)

1、摘 要最小二乘(RLS)法是一種典型的有效的數(shù)據(jù)處理方法。由著名學(xué)者高斯在1795年提出，他認為根據(jù)所獲得的觀測數(shù)據(jù)來推斷未知參數(shù)時，未知參數(shù)最可能的值是這樣一個數(shù)據(jù)，即它使各項實際觀測值和計算值之間的差的平方乘以度量其精度的數(shù)值以后的和為最小。這就是著名的最小二乘法。自適應(yīng)濾波算法根據(jù)的最佳準則為最小均方誤差準則。自適應(yīng)算法的目標在于，使濾波器輸出與需要信號的誤差的平方的統(tǒng)計平均值最小。這個準則根據(jù)輸入數(shù)據(jù)的長期統(tǒng)計特性尋求最佳濾波。最小二乘法對不同的數(shù)據(jù)組導(dǎo)出不同的“最佳”濾波器。因而常說最小二乘法導(dǎo)出的最佳濾波器是“精確”的。遞推最小二乘法(RLS)是最小二乘法的一類快速算法。本文基于m

2、atlab進行仿真，研究不同輸入和信噪比濾波器的性能。通過對比實驗，分析收斂性和濾波效果，確定了濾波器正則化系數(shù)的選取，信噪比高正則化系數(shù)選取小正常數(shù)，反之取大正常數(shù)。對不同類型濾波器輸入信號獨立實驗，周期型號和非周期信號的濾波器效果都較好，但周期信號的濾波效果更好。但從程序的運行時間上看，其復(fù)雜度高，計算量比較大。關(guān)鍵詞：自適應(yīng)濾波器，最小二乘法，matlab仿真AbstractLeast squares (RLS) method is a kind of typical effective data processing method. Gauss proposed in 1795 by

3、famous scholars, he thinks, according to the observed data to infer unknown parameter is obtained, the unknown parameters is the most possible values that a data, which make the actual observed value multiplied by the square measure of the difference between calculated value and the accuracy of nume

4、rical and later to a minimum. This is the famous least-square method.Adaptive filtering algorithm based on optimum criterion for the minimum mean square error criterion. Adaptive algorithm's goal is to make the filter output and signal statistical average of the squared error is minimal. The cri

5、teria according to the long-term statistical characteristics of the input data for optimal filter. Least squares method for different data sets derived different "best" filter. Thus derived the optimum filter often say least-square method is "accurate". Recursive least squares (R

6、LS) is a fast algorithm of the least-square method. this paper studies the performance of the filter input and SNR and simulation based on matlab. Convergence analysis and filtering effect by experiment, confirmed the filter selection of regularization coefficient, high SNR regularization coefficien

7、t selected normal number, instead take dazheng constant. For different types of filter input signal independent experiment, the cycle model and aperiodic signal filter effects are better, but the periodic signal filtering effect is better. But look from the program's running time, its complexity

8、 is high, the relatively large amount of calculation. Key words：Adaptive filtering, the least square method,emulation verify by MATLAB目 錄第一章 前言11.1 自適應(yīng)濾波器簡介11.2 選題背景及研究意義11.3 國內(nèi)外研究發(fā)展現(xiàn)狀2第二章 自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)理論42.1 濾波器概述42.1.1 濾波器簡介42.1.2 濾波器分類42.1.3 數(shù)字濾波器概述42.2 自適應(yīng)濾波器基本理論72.3 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)9第三章 自適應(yīng)濾波器遞歸最小二乘算法113.

9、1 遞歸最小二乘算法113.1.1 遞歸最小二乘算法簡介113.1.2 正則方程113.1.3 加權(quán)因子和正則化163.1.4 遞歸計算183.2遞歸最小二乘(RLS)算法的性能分析22第四章 基于MATLAB自適應(yīng)濾波器仿真234.1 正弦波去噪實驗234.2 濾波器正則化參數(shù)的確定284.2.1 高信噪比284.2.2 低信噪比314.2.3 結(jié)論334.3 輸入信號不同對濾波效果的影響334.3.1 輸入信號為周期信號334.3.2 輸入信號為非周期信號38第五章 結(jié)論與展望445.1 結(jié)論445.2 對進一步研究的展望44參考文獻45致 謝46附 錄46聲 明58第一章 前 言1.1自

10、適應(yīng)濾波器簡介自適應(yīng)濾波器屬于現(xiàn)代濾波的范疇，它是40年代發(fā)展起來的自適應(yīng)信號處理領(lǐng)域的一個重要應(yīng)用，自適應(yīng)信號處理主要是研究結(jié)構(gòu)可變或可調(diào)整的系統(tǒng)，可以通過自身與外界的接觸來改善自身對信號處理的性能，通常這類系統(tǒng)是時變的非線性系統(tǒng)，可以自動適應(yīng)信號傳輸?shù)沫h(huán)境和要求，無須詳細的知道信號的結(jié)構(gòu)和實際知識，無須精確設(shè)計處理系統(tǒng)本身。自適應(yīng)系統(tǒng)的非線性特性主要是由系統(tǒng)對不同的信號環(huán)境實現(xiàn)自身參數(shù)的調(diào)整來確定的。自適應(yīng)系統(tǒng)的時變特性主要是由其自適應(yīng)響應(yīng)或自適應(yīng)學(xué)習(xí)過程來確定的，當自適應(yīng)過程結(jié)束和系統(tǒng)不再進行時，有一類自適應(yīng)系統(tǒng)可成為線性系統(tǒng)，并稱為線性自適應(yīng)系統(tǒng)，因為這類系統(tǒng)便于設(shè)計且易于數(shù)學(xué)處理，所

11、以實際應(yīng)用廣泛。本文研究的自適應(yīng)濾波器就是這類濾波器。自適應(yīng)濾波器是相對固定濾波器而言的，固定濾波器屬于經(jīng)典濾波器，它濾波的頻率是固定的，自適應(yīng)濾波器的頻率則是自動適應(yīng)輸入信號而變化的，所以其適用范圍更廣。在沒有任何信號和噪聲的先驗知識的條件下，自適應(yīng)濾波器利用前一時刻已獲得的濾波器參數(shù)來自動調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。1.2選題背景及研究意義伴隨著移動通信事業(yè)的飛速發(fā)展，自適應(yīng)濾波技術(shù)應(yīng)用的范圍也日益擴大。早在20世紀40年代，就對平穩(wěn)隨機信號建立了維納濾波理論。根據(jù)有用信號和干擾噪聲的統(tǒng)計特性(自相關(guān)函數(shù)或功率譜)，用線性最小均方誤差

12、估計準則設(shè)計的最佳濾波器，稱為維納濾波器。這種濾波器能最大程度地濾除干擾噪聲，提取有用信號。但是，當輸入信號的統(tǒng)計特性偏離設(shè)計條件，則它就不是最佳的了，這在實際應(yīng)用中受到了限制。到60年代初，由于空間技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了卡爾曼濾波理論，即利用狀態(tài)變量模型對非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機序列作最優(yōu)估計。現(xiàn)在，卡爾曼濾波器已成功地應(yīng)用到許多領(lǐng)域，它既可對平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的隨機信號作線性最佳濾波，也可作非線性濾波。實質(zhì)上，維納濾波器是卡爾曼濾波器的一個特例。在設(shè)計卡爾曼濾波器時，必須知道產(chǎn)生輸入過程的系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程，即要求對信號和噪聲的統(tǒng)計特性有先驗知識，但在實際中，往往難以預(yù)知這些統(tǒng)計特性，因此實

13、現(xiàn)不了真正的最佳濾波。Widrow.B等于1967年提出的自適應(yīng)濾波理論，可使自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的參數(shù)自動地調(diào)整而達到最佳狀況，而且在設(shè)計時，只需要很少的或根本不需要任何關(guān)于信號與噪聲的先驗統(tǒng)計知識。這種濾波器的實現(xiàn)差不多像維納濾波器那樣簡單，而濾波性能幾乎如卡爾曼濾波器一樣好。因此，近十幾年來，自適應(yīng)濾波理論和方法得到了迅速發(fā)展。自適應(yīng)濾波是一種最佳濾波方法。它是在維納濾波，Kalman濾波等線性濾波基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種最佳濾波方法。由于它具有更強的適應(yīng)性和更優(yōu)的濾波性能。從而在工程實際中，尤其在信息處理技術(shù)中得到廣泛的應(yīng)用。自適應(yīng)濾波的研究對象是具有不確定的系統(tǒng)或信息過程?！安淮_定”是指所研究

14、的處理信息過程及其環(huán)境的數(shù)學(xué)模型不是完全確定的。其中包含一些未知因數(shù)和隨機因數(shù)。任何一個實際的信息過程都具有不同程度的不確定性，這些不確定性有時表現(xiàn)在過程內(nèi)部，有時表現(xiàn)在過程外部。從過程內(nèi)部來講，描述研究對象即信息動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是我們事先不知道的。作為外部環(huán)境對信息過程的影響，可以等效地用擾動來表示，這些擾動通常是不可測的，它們可能是確定的，也可能是隨機的。此外一些測量噪音也是以不同的途徑影響信息過程。這些擾動和噪聲的統(tǒng)計特性常常是未知的。面對這些客觀存在的各種不確定性，如何綜合處理信息過程，并使某一些指定的性能指標達到最優(yōu)或近似最優(yōu)，這就是自適應(yīng)濾波所要解決的問題。近十幾年來

15、，自適應(yīng)濾波理論和方法得到了迅速的發(fā)展，究其原因是因為自適應(yīng)濾波器相比于其他一般的濾波器在濾波性能、設(shè)計實現(xiàn)的難易程度、對外部環(huán)境的復(fù)雜程度的適應(yīng)能力和對系統(tǒng)先驗統(tǒng)計知識的依賴程度等方面都顯現(xiàn)出強大的優(yōu)勢。自適應(yīng)濾波器具有很強的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性，它在噪聲量化信號的檢測增強，噪聲干擾的抵消，通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡，圖象的自適應(yīng)增強復(fù)原以及未知系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)辯識等方面都有廣泛的應(yīng)用。本文僅討論自適應(yīng)濾波器在噪聲干擾的抵消方面的原理、算法及仿真。1.3國內(nèi)外研究發(fā)展現(xiàn)狀經(jīng)過數(shù)十年的研究，自適應(yīng)濾波理論得到了極大的發(fā)展，成為信號處理理論研究的熱點之一，而依據(jù)不同的優(yōu)化準則可以推導(dǎo)

16、出許多截然不同的自適應(yīng)理論，目前自適應(yīng)濾波理論主要包括以下幾個分支：(1) 基于維納濾波器理論的最小均方算法(2) 基于卡爾曼濾波理論的卡爾曼算法(3) 基于最小二乘法的算法(4) 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法由于設(shè)計簡單、性能最佳，自適應(yīng)濾波器是目前數(shù)字濾波器領(lǐng)域是活躍的分支，因而被廣泛應(yīng)用到各種信號處理領(lǐng)域中.(1) 廣泛用于系統(tǒng)模型識別如系統(tǒng)建模:其中自適應(yīng)濾波器作為估計未知系統(tǒng)特性的模型。(2) 通信信道的自適應(yīng)均衡 如:高速modem采用信道均衡器:用它補償信道失真，modem必須通過具有不同頻響特性而產(chǎn)生不同失真的信道有效地傳送數(shù)據(jù)，則要求信號均衡器具有可調(diào)系數(shù)，據(jù)信道特性對這些系數(shù)進行優(yōu)化

17、，以使信道失真的某些量度最小化。又如:數(shù)字通信接收機:其中自適應(yīng)濾波器用于信道識別并提供碼間串擾的均衡器。 (3)雷達與聲納的波束形成 如自適應(yīng)天線系統(tǒng)，目前在通信領(lǐng)域研究的一個重要課題就是如何在有限的頻譜資源基礎(chǔ)上提高通信系統(tǒng)的容量。在第三代移動通信系統(tǒng)(TD-SCDMA)中的一個關(guān)鍵技術(shù)就是智能天線技術(shù)，它的核心是自適應(yīng)天線波束形成技術(shù)，它結(jié)合了自適應(yīng)技術(shù)的優(yōu)點，利用天線陣列對波束的匯成和指向的控制，產(chǎn)生多個獨立波束，可以自適應(yīng)地調(diào)整其方向圖消除不希望的干擾以跟蹤信號的變化。(4)消除心電圖中的電源干擾一 如:自適應(yīng)回波相消器，自適應(yīng)噪聲對消器:其中自適應(yīng)濾波器用于估計并對消預(yù)期信號中的噪

18、聲分量。噪聲中信號的濾波、跟蹤、譜線增強以及線性預(yù)測等。第二章 自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)理論2.1 濾波器概述2.1.1 濾波器簡介濾波是電子信息處理領(lǐng)域的一種最基本而又極其重要的技術(shù)。在有用信號的傳輸過程中，通常會受到噪聲或干擾的污染。利用濾波器技術(shù)可以從復(fù)雜的信號中提取所需要的信號，同時抑制噪聲或者干擾，以便更有效地利用原始信號。濾波實際上是一種選頻系統(tǒng)，它對某些頻率的信號給以很小的衰弱，讓該部分信號順利通過；對其它不需要的頻率信號則給以很大的衰弱，盡可能阻止這些信號通過。在電子系統(tǒng)中濾波器是一種基本的單元電路，使用很多，技術(shù)也較為復(fù)雜，有時候濾波的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的性能，所以很多國家非常重視濾

19、波器的理論研究和產(chǎn)品開發(fā)。2.1.2 濾波器分類濾波器的分類方法很多，總的來說可以分為經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器兩大類。經(jīng)典濾波器是假定輸入信號中有用的成分和希望去掉的成分各占有不同的頻帶，即關(guān)于信號和噪聲應(yīng)具有一定的先驗知識，這樣當原始信號通過一個線性系統(tǒng)時有效的去掉無用的成分。如果有用信號和噪聲的頻譜相互疊加，那么經(jīng)典濾波器就無能為力了。現(xiàn)代濾波器是在沒有任何關(guān)于信號和噪聲的先驗知識的條件下，從含有噪聲的測量數(shù)據(jù)或時間序列中估計信號的某些特征或信號本身。一旦信號被估計出，那么被估計的信號將比原信號具有更高的信噪比。現(xiàn)代濾波器把信號和噪聲都視為隨機信號，利用它們的統(tǒng)計特性（如自相關(guān)函數(shù)、功率譜）

20、導(dǎo)出一套最佳的估計算法，然后用硬件或軟件予以實現(xiàn)。根據(jù)所處理的信號不通，濾波器還通常分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，現(xiàn)代濾波器大多是數(shù)字濾波器。2.1.3 數(shù)字濾波器概述從輸入信號中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱為濾波，相應(yīng)的裝置稱為濾波器。如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號，稱該濾波器為數(shù)字濾波器。當濾波器的輸出信號為輸入端的線性函數(shù)時，該濾波器稱為線性濾波器，否則就稱為非線性濾波器。數(shù)字信號處理的一種重要方式就是濾波，數(shù)字濾波器就是指具有某種選擇性的器件、網(wǎng)絡(luò)或以計算機硬件支撐的計算機程序。與模擬濾波器不同的是，數(shù)字濾波器處理的信號是離散的數(shù)字信號。數(shù)字濾波器可以用差分方程、單位取樣響應(yīng)

21、以及系統(tǒng)函數(shù)等表示。對于研究系統(tǒng)的實現(xiàn)方法，即它的運算結(jié)構(gòu)來說，用框圖表示最為直接。設(shè)輸入信號為x(n)，輸出信號為y(n)，該數(shù)字濾波器可用以下差分方程來表示： （2-1）式中，稱為濾波器系數(shù)。當時，上式變?yōu)椋?（2-2）這種濾波器稱為全零點濾波器。如果，時，則稱為全極點濾波器或遞歸濾波器。由上式，可知數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為: (2-3)其單位沖擊響應(yīng)函數(shù)為: (2-4) (2-5)如果當n<0時，有h(n)=0，這樣的濾波器系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)。如果沖激響應(yīng)函數(shù)是有限長的，即(2-6)則稱此濾波器為有限沖激響應(yīng)FIR(FiniteImpulseResponse)濾波器，否則，稱之為無限

22、沖激響應(yīng)IIR(InfiniteImpulseResponse)濾波器。如果h(n)滿足如下條件: (2-7)則稱此濾波器是因果的，并且是穩(wěn)定的。一個給定的輸入輸出關(guān)系，可以用多種不同的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)。在不考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法是等效的；但在考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法性能上就有差異。因此，運算結(jié)構(gòu)是很重要的，同一系統(tǒng)函數(shù)H(z)，運算結(jié)構(gòu)的不同，將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等許多重要性能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應(yīng)

23、。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實現(xiàn)，因而有時也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時間，在工程實際中可以采用遞歸的方式實現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計算機輔助設(shè)計有了可能，而且還可以使設(shè)計達到最優(yōu)化。數(shù)字濾波器設(shè)計的基本步驟如下：1.確定指標在設(shè)計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標。在很多實際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實現(xiàn)選頻操作。因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。幅度指標主要以兩種方式

24、給出。第一種是絕對指標。它提供對幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計。第二種指標是相對指標。它以分貝值的形式給出要求。在工程實際中，這種指標最受歡迎。對于相位響應(yīng)指標形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。運用線性相位響應(yīng)指標進行濾波器設(shè)計具有如下優(yōu)點：只包含實數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運算；不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；長度為N的濾波器(階數(shù)為N-1)，計算量為N/2數(shù)量級。2.逼近確定了技術(shù)指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計方法，設(shè)計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。3.性能分析和計算機仿真數(shù)字濾波器的實現(xiàn)，

25、大體上有如下幾種方法：(1) 在通用的微型機上用軟件來實現(xiàn)。軟件可以由使用者自己編寫或使用現(xiàn)成的。自IEEE DSP Comm.于1979年推出第一個信號處理軟件包以來，國外的研究機構(gòu)、公司也陸續(xù)推出不同語言不同用途的信號處理軟件包。這種實現(xiàn)方法速度較慢，多用于教學(xué)與科研。(2) 用單片機來實現(xiàn)。目前單片機的發(fā)展速度很快，功能也很強依靠單片機的硬件環(huán)境和信號處理軟件可用于工程實際，如數(shù)字控制、醫(yī)療儀器等。(3) 利用專門用于信號處理的DSP片來實現(xiàn)。DSP芯片較之單片機有著更為突出的優(yōu)點，如內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)，多總線，速度快，配有適于信號處理的指令等，DSP芯

26、片的問世及飛速發(fā)展，為信號處理技術(shù)應(yīng)用于工程實際提供了可能。2.2 自適應(yīng)濾波器基本理論所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動的調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器實質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達到最優(yōu)的維納濾波器。自適應(yīng)濾波器不需要關(guān)于輸入信號的先驗知識，計算量小，特別適用于實時處理。由于無法預(yù)先知道信號和噪聲的特性或者它們是隨時間變化的，僅僅用FIR和IIR兩種具有固定濾波系數(shù)的濾波器無法實現(xiàn)最優(yōu)濾波。在這種情況下，必須設(shè)計自適應(yīng)濾波器，以跟蹤信號和噪聲的變化。自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算

27、法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實現(xiàn)的。一般而言，自適應(yīng)濾波器由兩部分組成，一是濾波器結(jié)構(gòu)，二是調(diào)整濾波器系數(shù)的自適應(yīng)算法。濾波器是參數(shù)可變的。自適應(yīng)算法則用來控制數(shù)字濾波器參數(shù)的變化。自適應(yīng)濾波器實際上是一種能夠自動調(diào)整本身參數(shù)的特殊維納濾波器，在設(shè)計時不需要預(yù)先知道關(guān)十輸入信號和噪聲的統(tǒng)計特性，它能夠在工作過程中逐步了解或估計出所需的統(tǒng)計特性，并以此為依據(jù)自動調(diào)整自身的參數(shù)，以達到最佳濾波效果。圖2.1 自適應(yīng)濾波器的一般形式自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過調(diào)整可編程濾波器系數(shù)來實現(xiàn)的。一般而言，自適應(yīng)濾波器由可編程濾波器(濾波部分)和自適應(yīng)算法(控制部分)兩部分組成?？删幊虨V波器即參數(shù)可調(diào)

28、的濾波器，自適應(yīng)算法對其參數(shù)進行控制以實現(xiàn)最佳濾波工作?？删幊虨V波器可以是FIR橫式濾波器、IIR橫式濾波器以及格型濾波器。圖2.1給出了自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)，其中輸入信號x(n)通過可編程濾波器后產(chǎn)生輸出信號(或響應(yīng))y(n)，將其與標準信號d(n)進行比較，形成誤差信號e(n)，并以此通過某種自適應(yīng)算法對濾波器參數(shù)進行調(diào)整，最終使得e(n)的均方值最小。根據(jù)濾波器的輸出端信號與輸入端信號之間的函數(shù)關(guān)系，自適應(yīng)濾波器可以分為線性自適應(yīng)濾波器和非線性自適應(yīng)濾波器。由十線性自適應(yīng)濾波器和相應(yīng)的算法具有結(jié)構(gòu)簡單、計算復(fù)雜性低的優(yōu)點，分析和實現(xiàn)容易，而廣泛應(yīng)用十自適應(yīng)信號處理系統(tǒng)中;非線性自適應(yīng)濾

29、波器具有更強的信號處理能力，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著明顯的優(yōu)勢，具有通過監(jiān)督學(xué)習(xí)逼近未知非線性輸入輸出映射的能力。但由十非線性自適應(yīng)濾波器的計算較復(fù)雜，硬件實現(xiàn)比較困難，實際用得最多的仍然是線性自適應(yīng)濾波器。線性自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)可以是FIR型結(jié)構(gòu)，也可以是IIR型結(jié)構(gòu)。盡管IIR結(jié)構(gòu)的濾波器能夠以很小的復(fù)雜度來實現(xiàn)和FIR濾波器相同的功能，但IIR型濾波器在自適應(yīng)處理過程中，極點移出單位圓之外時，就會使濾波器產(chǎn)生不穩(wěn)定。所以在實際應(yīng)用中一般都采用FIR型結(jié)構(gòu)，主要是因為:FIR結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)技術(shù)實現(xiàn)更容易，其權(quán)系數(shù)的修正就就是濾波器性能的調(diào)整，同時 FIR結(jié)構(gòu)的濾波器是絕對穩(wěn)定的，目_具有

30、更好的魯棒性，這也更適合實時嵌入式應(yīng)用。通常一個穩(wěn)定的IIR濾波器總是可以用足夠多階的FIR濾波器來近似代替，用FIR型結(jié)構(gòu)作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)具有廣泛的應(yīng)用空間。一個自適應(yīng)的FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，可以是橫截型結(jié)構(gòu)，對稱的橫截型結(jié)構(gòu)以及格型結(jié)構(gòu)。其中橫截型結(jié)構(gòu)是大多數(shù)應(yīng)用情況下所采用的最主要的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)，它可應(yīng)用所有FIR濾波器，具有形式簡單，易十實現(xiàn)等特點，并可以用流水線提高性能;對稱的橫截型結(jié)構(gòu)可滿足符合對稱性條件的FIR濾波器，具有權(quán)系數(shù)少，計算量小的特點，并可以用流水線提高性能，但收到對稱性條件的約束;格型結(jié)構(gòu)具有收斂速度快，穩(wěn)定性好，對系數(shù)量化精度要求不高的特點，但計算量大，不

31、容易實時實現(xiàn)，只能部分實現(xiàn)流水線。2.3 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)與算法有著密切的聯(lián)系，因為自適應(yīng)濾波器既要估計濾波器能實現(xiàn)期望信號的輸出，又要估計濾波參數(shù)朝有利于目標方向的調(diào)整，并保證濾波器的穩(wěn)定工作。同時，結(jié)構(gòu)的選取不僅會影響到計算復(fù)雜度(即每次迭代的算術(shù)操作數(shù))，還會對達到期望性能標準所需的迭代次數(shù)(自適應(yīng)收斂的時間)產(chǎn)生影響。另外，不同的結(jié)構(gòu)還有特定的應(yīng)用場合，需要根據(jù)實際環(huán)境來選擇相應(yīng)的結(jié)構(gòu)和算法。自適應(yīng)濾波器根據(jù)其沖擊響應(yīng)的形式一般分為有限沖擊響應(yīng)自適應(yīng)濾波器(FIR )、自適應(yīng)格型濾波器和無限沖擊響應(yīng)自適應(yīng)濾波器（IIR)三種結(jié)構(gòu)。本文采用自適應(yīng)濾波器設(shè)計中最常用的F

32、IR橫向型結(jié)構(gòu)。利用抽頭延遲線做成的橫向濾波結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)濾波器，通稱為自適應(yīng)橫向濾波器(或自適應(yīng)FIR濾波器)。它是研究所有自適應(yīng)濾波算法的基本結(jié)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)簡單、成本較低，也是工程領(lǐng)域最常用的一種自適應(yīng)濾波器。圖2.2 自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)橫向濾波器的結(jié)構(gòu)圖如圖2.2所示，為可調(diào)節(jié)抽頭權(quán)系數(shù)表示在n時刻的系數(shù)值。它利用正規(guī)直接形式實現(xiàn)全零點傳輸函數(shù)，而不采用反饋調(diào)節(jié)。權(quán)系數(shù)的調(diào)節(jié)過程是首先自動調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)的自適應(yīng)訓(xùn)練步驟，然后利用濾波系數(shù)加權(quán)延遲抽頭上的信號來產(chǎn)生輸出信號，將輸出信號與期望信號進行對比，所得的誤差值通過一定的自適應(yīng)控制算法再用來調(diào)整權(quán)值，以保證濾波器處在最佳狀態(tài)，其抽頭加權(quán)

33、系數(shù)集正好等于它的沖激響應(yīng)，達到實現(xiàn)濾波的目的。第三章 自適應(yīng)濾波器遞歸最小二乘算法3.1 遞歸最小二乘算法3.1.1 遞歸最小二乘算法簡介用最小二乘法解決線性濾波問題，這種方法不需要對濾波器輸入信號的統(tǒng)計特性進行假設(shè)。為了說明最小二乘法的基本思想，假定有一組實數(shù)，它們分別取自時刻。要求構(gòu)造一條曲線，這條曲線能夠以某種最優(yōu)方式擬合這些數(shù)據(jù)點?，F(xiàn)用表示這條曲線與時間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)最小二乘法，“最優(yōu)”擬合是使與，之差的平方和最小。最小二乘法可以看成維納濾波理論的另一種表示方法。本質(zhì)上，維納濾波是從集平均導(dǎo)出的，其結(jié)果是一種統(tǒng)計意義上最優(yōu)的、在各種現(xiàn)實運行環(huán)境下獲得的濾波器；并假定該濾波器是廣義平

34、穩(wěn)的。另一方面，最小二乘法是確定性的。具體來說，由于它涉及使用時間平均，故其濾波器結(jié)果取決于計算所用的樣本數(shù)。在計算過程中，最小二乘法是一種批處理方法，因為最小二乘濾波器用來處理一批數(shù)據(jù)。這種濾波器通過一個數(shù)據(jù)塊接一個數(shù)據(jù)塊的重復(fù)計算來適應(yīng)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。遞歸最小二乘估計算法是以最小誤差平方和為優(yōu)化目標，它是在在最小二乘基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。我們先看最小二乘算法的推導(dǎo)。3.1.2 正則方程采用如圖2.2所示的線性橫向濾波器作為模型。通過組成抽頭與相應(yīng)的抽頭權(quán)值之間的內(nèi)積，并用作為期望響應(yīng)，我們將誤差定義為期望響應(yīng)和濾波器輸出之間的差值，即 (3-1)其中 (3-2)將式（3-2）代入（3-1）式可得

35、(3-3)在最小二乘法中，橫向濾波器抽頭權(quán)值的選擇應(yīng)該使得誤差平方和構(gòu)成的代價函數(shù)最小。該代價函數(shù)定義為 (3-4)其中和定義了取值范圍，我們在這一范圍使誤差最小化，式中的和也可以看成誤差能量?？偟膩碚f，我們要解決的問題就是將式（3-3）代入式（3-4），然后得到代價函數(shù)在的間隔保持不變。最小化結(jié)果得到的濾波器叫做線性最小二乘濾波器。和取值取決于數(shù)據(jù)開窗的情況。橫向濾波器模型所用的抽頭權(quán)值共有M個，由輸入數(shù)構(gòu)成的矩陣可以有不同的形式。這里我們用到協(xié)方差法數(shù)據(jù)開窗。協(xié)方差法這種方法對時間段1,N之外的數(shù)據(jù)不做假設(shè)。因此，由定義的極限范圍和可以將輸入數(shù)據(jù)用矩陣表示為 (3-5)將式（3-4）改寫為

36、 (3-6)設(shè)第k個抽頭權(quán)值用實部和虛部表示為 (3-7)將式（3-7）代入式（3-3），可得 (3-8)代價函數(shù)對抽頭權(quán)值實部虛部的導(dǎo)數(shù) (3-9)得 (3-10)為了使得代價函數(shù)關(guān)于橫向濾波器抽頭權(quán)值最小，要求同時滿足下列條件 (3-11)用表示按照式（3-11）使代價函數(shù)最小時求出的估計誤差的特殊值。從式（3-10）容易看出，式（3-11）表示的條件等效于下列方程組 (3-12)式（3-12）為正交性原理的瞬時描述。在最小二乘的條件下，最小誤差時間序列與橫向濾波器第k個抽頭上的輸入序列正交，k為橫向濾波器長度。正交性原理建立了一組抽頭輸入與最小誤差之間的關(guān)系。令式（3-3）中的抽頭權(quán)值為

37、最小二乘意義下的最優(yōu)權(quán)值，可得 (3-13)將式（3-13）代入式（3-12），整理后得到M個聯(lián)立方程組 (3-14)式（3-14）中兩個以i為下標的和式表示求時間平均，知識沒考慮比例因子。這可解釋如下：1. 式（3-14）左邊的時間平均（對i）表示線性橫向濾波器中抽頭輸入的時間平均自相關(guān)函數(shù)，可以寫為 (3-15)2. 式（3-14）右邊的時間平均（對i）表示抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時間平均互相關(guān)函數(shù)，可以寫成 (3-16)相應(yīng)地，可將瞬時方程組（3-14）改寫成 (3-17)方程組（3-17）是線性最小二乘濾波正則方程的展開式。將式（3-17）表示的方程組改寫為矩陣形式。首先引入定義：1)

38、 輸入的時間平均自相關(guān)矩陣為 (3-18)2) 抽頭輸入與期望之間的時間平均互相關(guān)向量為 (3-19)3) 最小二乘濾波器的抽頭向量為 (3-20)按照這些矩陣定義，將M個聯(lián)立方程組（3-14）簡單地改寫為 (3-21)式（3-21）是線性最小二乘濾波器的正則方程的矩陣形式。假定是非奇異矩陣，因此逆矩陣存在，可由式（3-21）解得線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量為 (3-22)式（3-22）是一個很重要的結(jié)論：它是矩陣的維納-霍夫方程在線性最小二乘條件下的解。式（3-22）表明線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量由濾波器抽頭輸入的時間平均相關(guān)矩陣的逆矩陣與抽頭輸入和期望響應(yīng)之間時間平均互相關(guān)向量Z的乘

39、積唯一確定。3.1.3 加權(quán)因子和正則化另外，習(xí)慣上還在的定義中引入加權(quán)因子。于是可以寫出 (3-23)即 (3-24)其中是時刻的抽頭輸入向量，定義為 (3-25)式中是時刻的抽頭權(quán)值響應(yīng)，定義為 (3-26)式（3-23）的加權(quán)因子滿足關(guān)系01。一般來說，加權(quán)因子其目的在于確保濾波器能夠忘記“過去的”數(shù)據(jù)以確保算法適用于非平穩(wěn)的環(huán)境，能跟蹤觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計變化。最小二乘法是一個病態(tài)求逆過程。在該問題中，給定構(gòu)成抽頭輸入向量的輸入數(shù)據(jù)和相應(yīng)的期望響應(yīng)，要求出估計出多重回歸模型的位置參數(shù)向量，該向量與和有關(guān)。最小二乘的病態(tài)特性源于一下原因：1 輸入數(shù)據(jù)中的信息不足以唯一地構(gòu)建輸入輸出之間的映射關(guān)

40、系。2 在輸入數(shù)據(jù)中不可避免地存在著噪聲或不確定的精確性，這為構(gòu)建輸入輸出映射關(guān)系增加了不確定性。為使估計問題變?yōu)榉遣B(tài)，需要某種與輸入輸出有關(guān)的先驗信息。這意味著必須擴展代價函數(shù)公式，使其能考慮先驗信息。為了滿足這一要求，我們代價函數(shù)擴展為兩部分之和 (3-27)（假設(shè)使用了預(yù)加窗。）代價函數(shù)的兩個分量如下：1) 誤差加權(quán)平方和 (3-28)它與輸入數(shù)據(jù)有關(guān)。這個分量反映出期望響應(yīng)與濾波器實際響應(yīng)之間的指數(shù)加權(quán)誤差，且與抽頭輸入向量之間的關(guān)系可用公式表示為 (3-29)2) 正則化項 (3-30)式中是一個正實數(shù)，稱為正則化參數(shù)。將這一項包含在代價函數(shù)中，一遍通過平滑作用來穩(wěn)定遞歸最小二乘問

41、題的解。將式（3-27）展開并進行整理，我們發(fā)現(xiàn)，在代價函數(shù)中增加正則化項，相當于將抽頭輸入向量的時間平均相關(guān)矩陣表示為 (3-31)式中是單位矩。容易發(fā)現(xiàn)，增加正則化項還有這樣的作用：它使得相關(guān)矩陣在從開始的整個計算過程中非奇異。將式（3-31）修正為相關(guān)矩陣的過程叫對角加載。橫向濾波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時間平均互相關(guān)向量為 (3-32)它將不受正則化的影響，依然假定使用預(yù)加窗法。遞歸最小二乘問題的正則方程可用矩陣形式寫為 (3-33)3.1.4 遞歸計算將對應(yīng)于的項與式（3-31）右邊的求和項分開，可寫出 (3-34)根據(jù)定義，式（3-34）右括號內(nèi)的表達式等于相關(guān)矩陣。于是，可使得

42、用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 (3-35)其中是相關(guān)矩陣的過去值，矩陣乘積在更新過程中起著修正的作用。式（3-35）的遞歸過程與初始條件無關(guān)。類似的，可用式（3-32）導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之間互相關(guān)向量的更新公式 (3-36)為了按式（3-31）計算抽頭權(quán)向量的最小二乘估計，必須確定相關(guān)矩陣的逆。然而在實際中，我們通常盡量避免這樣做，因為這種運算非常耗時，特別是當抽頭數(shù)很大時。為此，我們先引入一個著名的結(jié)果矩陣求逆引理。設(shè)和是兩個正定矩，他們之間的關(guān)系為 (3-37)其中，是正定矩，是矩陣。根據(jù)矩陣求逆引理，可將的矩陣表示為 (3-38)假定相關(guān)矩陣是非奇異的，因而它可逆。我們對式（3

43、-35）所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定- (3-39)然后將這些定義代入求逆引理，可得計算相關(guān)矩陣的遞歸方程如下 (3-40)為了方便計算，令 (3-41)和 (3-42)用上面的定義，可將式（3-40）改寫為 (3-43)矩陣叫做逆相關(guān)矩陣，向量叫做增益向量。式（3-43）是RLS算法的Riccati方程。整理式（3-42），可得 （3-44）即 (3-45)從式（3-43）可以看出，式（3-45）右邊最后一行括號里的表達式等于。因此，我們可將式（3-45）簡化為 (3-46)這一結(jié)論，連同，可以用來定義增益向量 (3-47)換句話說，增益向量可定義為經(jīng)相關(guān)矩陣逆矩陣變換的

44、抽頭輸入向量。3.1.3 抽頭向量的時間更新下面導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計的遞歸公式。為此，用式（3-31）、式（3-36）和式（3-41）來表示抽頭權(quán)向量n次迭代的最小二乘估計 (3-48)將式（3-48）右邊第一項中用式（3-43）代替，可得 (3-49)最后，應(yīng)用等于增益向量，可使得更新抽頭權(quán)向量的遞歸方程為 (3-50)其中 (3-51)是一個先驗誤差。內(nèi)積表示基于時刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計舊值得期望響應(yīng)的估值。3.1.3 RLS算法小結(jié)算法初始化(3-52)對每一時刻，計算 (3-53) (3-54) (3-55) (3-56)3.2遞歸最小二乘(RLS)算法的性能分析RLS(遞

45、推最小二乘法)算法的關(guān)鍵是用二乘方的時間平均的最小化鋸帶最小均方準則，并按時間進行迭代計算。對于非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)處理，最合適的方法是采用最小二乘自適應(yīng)濾波器。它使誤差的總能量最小。RLS算法的優(yōu)點是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻譜特性無關(guān)，但其缺點是計算復(fù)雜度很高，對于N階的濾波器， RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子。該遺忘因子的引入，使RLS算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號進行跟蹤。粗略的說，的倒數(shù)可以用來衡量算法的記憶能力；而的特殊情況，則對應(yīng)于無限記憶。本文后續(xù)實驗部分默認。由于設(shè)計簡單、性能最佳，其中RLS濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡單，收斂性能良好。第四章 基于MATLAB自適應(yīng)濾

46、波器仿真MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學(xué)計算軟件的先進水平。MATLAB和Mathematica、Maple、MathCAD并稱為四大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函

47、數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。本節(jié)中我們利用MATLAB仿真軟件，仿真系統(tǒng)框圖如下圖所示。圖4.1 仿真框圖4.1 正弦波去噪實驗原始信號為單一正弦波，加入方差為0.8的隨機高斯噪聲，濾波器輸入信號為，輸出信號為。以下為相關(guān)程序：clear;clc;randn('seed', 0) ;rand('seed', 0) ; N=1000;n=200; k=12; b=0.8*randn(1,N); x=(zeros(1,N);for i=1:N

48、xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N);x(1,i)=xr(1,i)+b(i); endDelta=0.0001;p=(1/Delta)*eye(n);K=zeros(N,n); w=zeros(N,n); e=zeros(1,N); y=zeros(1,N); for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(i-n+1:i)'./(1+x(i-n+1:i)*p*x(i-n+1:i)')' e(1,i)=xr(i)-w(i-1,:)*x(i-n+1:i)' w(i,:)=w(i-1,:)+e(1,i)*K(i,:); p=p-K(i,:)'*x(

49、i-n+1:i)*p; y(1,i)=w(i,:)*x(i-n+1:i)' endfigure(1) subplot(2,1,1);plot(0:N-n,xr(1,n:N),'r')ylabel('幅值');xlabel('時間');title('原始輸入信號xr時域圖') grid onsubplot(2,1,2);plot(abs(fft(xr);grid;ylabel('幅值');xlabel('時間');title('原始輸入信號xr頻域圖');figure(2) s

50、ubplot(2,1,1);plot(0:N-n,x(1,n:N)title('濾波器輸入信號x時域圖') ylabel('幅值');xlabel('時間');gridsubplot(2,1,2);plot(abs(fft(x);grid;ylabel('幅值');xlabel('時間');title('濾波器輸入信號x頻域圖');figure(3) plot(0:N-n,e(1,n:N);hold onplot(0:N-n,y(1,n:N),'r');hold ongrid on;

51、title('誤差信號e(t)和輸出信號y(t)') ;gtext('e(k)'),gtext('y(k)') figure(4) subplot(2,1,1);plot(abs(fft(e);ylabel('幅值');xlabel('時間');grid;ylabel('幅值');xlabel('時間');title('誤差信號e頻域圖');subplot(2,1,2);plot(abs(fft(y);grid;ylabel('幅值');xlabel(

52、'時間');title('濾波器輸出信號y頻域圖');運行以上程序，得到圖4.2到4.5。圖4.2 原始輸入信號時域及頻域圖圖4.3 濾波器輸入信號時域及頻域圖圖4.4 誤差信號及輸出信號時域圖圖4.5 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖圖4.2為原始輸入信號，為單一頻率正弦波，幅值為1，圖4.3為原始信號疊加方差為0.8的隨機高斯噪聲，得到濾波器輸入信號，從頻譜圖可以看出，包含原始信號有很多頻率。圖4.4中紅色部分為經(jīng)過RLS濾波器后的輸出信號，藍色部分為誤差信號?？梢钥闯稣`差信號較小。圖4.5為輸出信號和誤差信號的頻域圖，可以看出輸出信號頻率較集中。由上可知，

53、濾波效果較好。4.2 濾波器正則化參數(shù)的確定RLS算法有兩個特殊的可變參數(shù)：抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比，這個量由運行的條件決定；正則化參數(shù)。以下做了對比實驗，在輸入為正弦波，控制加性高斯噪聲的均值，相同均值的隨機的噪聲都保持不變。來實現(xiàn)不同信噪比，分析正則化參數(shù)的在最佳選擇。4.2.1 高信噪比原始輸入信號是幅值為1的正弦波，噪聲方差為0.1。實驗組1：實驗組2：程序如下：實驗組1randn('seed', 0) ;rand('seed', 0) ; N=5000;n=200; k=12; b=0.1*randn(1,N); x=(zeros(1,N);for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N);x(1,i)=xr(1,i)+b(i); endDelta=0.9;p=(1/Delta)