《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計》習(xí)題及答案

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及答案機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及參考答案1-1、簡述優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答:優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型就是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計變量向量xXiX2mXnT使f(x)min且滿足約束條件hk(x)0(k1,2,|l)gj(x)0(j1,2,|(|m)2-1、何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計有何意義？答:二元函數(shù)f(x1,x2)在xo點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面的形.ffI,fIcffcos1工l:cos1cos2dxox1|xox2|xox1x2xocos2f人7ffT令f(x0),fx1

2、x2xo-x2則稱它為函數(shù)f(x1,x2)在xo點(diǎn)處的梯度。(1)梯度方向就是函數(shù)值變化最快方向，梯度模就是函數(shù)變化率的最大值。(2)梯度與切線方向d垂直,從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就就是最速上升方向。負(fù)梯度-f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2、求二元函數(shù)f(x1,x2)=2x12+x22-2x1+x2在x00,0T處函數(shù)變化率最大的方向與數(shù)值。解:由于函數(shù)變化率最大的方向就就是梯度的方向，這里用單位向量p表示,函數(shù)變化率最大與數(shù)值時梯度的模|f(x0)|。求f(x1,x2)在x0點(diǎn)處的梯度方向與數(shù)值，計算如下：ff

3、x0x14x122f2x21x01f(x0)x2fx12 f x22= 5f(x0)f(x0)52-3、試求目標(biāo)函數(shù)fx1,x23x124x1x2x2在點(diǎn)X0=1,0T處的最速下降方向，并求沿著該方向移動一個單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解:求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) f6x14x2,4x1 2x2x1x2則函數(shù)在X0=1,0/處的最速下降方向就是fPf(X0)x16x14x14x22x2x11x20x2x11x20這個方向上的單位向量就是：P6,4T.(6)2423,2T、13新點(diǎn)就是3X1X013213新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值1f(X)942132-4、何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃?13（要求配圖）的線段都全部

4、包含答:一個點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn)x1、x2在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(x)為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對任何的01及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2,存在如下不等式：x2fX11X2稱f(x)就是定義在圖集上的一個凸函數(shù)。fx11對于約束優(yōu)化問題若f(x)、gj(x)j=1,2,m都就是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃3-1、簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖)答:搜索區(qū)間(a,b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)a1,b1abi,并計算函數(shù)值f(ai),f(b)將有下列三種可能情形;1)f(ai)f(

5、bi)由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間(a,bi)內(nèi)2)f(ai)»f(bi),同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間(ai,b)內(nèi)3)f(ai)=f(b1),這就是極小點(diǎn)應(yīng)在(ai,bi)內(nèi)f (bi)魚i2)1313-2、簡述黃金分割法搜索過程及程序框圖1b(ba)2a(ba)其中，為待定常數(shù)。3-3、對函數(shù)f()22，當(dāng)給定搜索區(qū)間55時，寫出用黃金分割法求極小點(diǎn)的前三次搜索過程。(要列表)黃金分割法的搜索過程序號aa1a2bY1比較Y20-5-1、181、185-0、9676<3、75241-5-2、639-1、181?1、686>-0、9672?-1、18-0、2791、18-

6、0、9676<-0、483-2、639-1、737-1、181?-0、457>-0、4823-4、使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間2,6的極小點(diǎn)，寫出計算步驟與迭代公式，給定初始點(diǎn)Xi=2,X2=4,X3=6,»10-4。解：1234Xi244、554574、55457X244、554574、736564、72125X36664、73656y10、909297；-0、756802-0、987572-0、987572y2-0、756802-0、987572-0、999708-0、999961y3-0、279415-0、279415-0、279415-0、9997

7、08Xp4、554574、736564、721254、71236yp-0、987572-0、999708-0、999961-1迭代次數(shù)K=4,極小點(diǎn)為4、71236.最小俏為-1Ciy3y1,c2y2y16C2Ci,c3X3XiX2XiX2X3xp1(X1X3當(dāng)2C3收斂的條件:4-1、簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共鈍梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及答案答:梯度法就是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即就是相鄰兩個搜索方向相互垂直。這就就是說在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過程，走的就是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相

8、垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以瞧到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？删褪窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這就是因?yàn)樘荻染褪呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上瞧，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降就是最快的，但從整體上瞧則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軻梯度法就是共軻方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€共軻的量都就是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軻梯度法。該方法的第一個搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就就是最速下降法。其余各步的搜索方向就是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就就是對負(fù)

9、梯度進(jìn)行修正。所以共軻梯度法實(shí)質(zhì)上就是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法就是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軻方向的一種共軻方向法，這種方法就是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)f(x)1xTGxbTxc的極小化問題時形成的。其基本思想就是2在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軻方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)與終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”，這就是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組就是否需要替換。如果需要替換,還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個最壞的向量，以保證逐次

10、生成共軻方向。4-2、如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？答:優(yōu)化設(shè)計就是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-f(x)。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法k1kkxxf(x)(k=0,1,2,)k由于最速下降法就是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法k為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-f(x)能獲得最大的下降值，其步長因子a應(yīng)取一維搜k索的最佳步長。即有k1kkkkfxfxaf(x)minfxaf(x)min()k根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得；f (xk f(x )0或?qū)懗?2分)由此可知，在最速下降

11、法中，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個搜索方向相互垂直。這就就是說在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過程。4-3、給定初始值x0=-7,11T,使用牛頓法求函數(shù)f(x1,x2)(x12)2(x12x2)2的極小值點(diǎn)與極小值。解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為f便公)2(x12)2(x12x2)4(x12x2)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及答案1 12 f(Xi,X2)44,2f111(4分)481144假設(shè)初始值x0=-7,11T則f(x0)76,(1分)11612x1X02ff(x0)2(2分)1一10八則f(x1)0,(1分)x1滿足極值的必要條件，海賽矩

12、陣就是正定的，所以就是極小點(diǎn)*11xx1,f(x)1。(2分)14-4、以二元函數(shù)f(x1,x2)為例說明單形替換法的基本原理答:如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個點(diǎn)x1,x2,x3，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。計算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f(x1)>f(x2)>f(x3),這說明x3點(diǎn)最好，x1點(diǎn)最差。為了尋找極小點(diǎn)，一般來說。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過x1并穿過x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5使x5=x4+(x4-x1)x5稱作x1點(diǎn)相對于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計算反射點(diǎn)的函數(shù)值f(X5)，可能出現(xiàn)以下幾種情形；1)f(x5)<f(x3)即反射點(diǎn)比最

13、好點(diǎn)好要好，說明搜索方向正確，可以往前邁一步，也就就是擴(kuò)張。2)f(x3)<f(x5)<f(x2)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說明反射可行，一反射點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3)f(x2)<f(x5)<f(x1),即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說明x5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。4) f(x5)>f(x1)，反g寸點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在x1x4之間5) f(x)>f(x1),說明x1x4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。0xl5-1、簡述約束優(yōu)化方法的分類。(簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接解法的原理、特點(diǎn)及主

14、要方法。)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及答案答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，它的基本思路就是在m個不等式約束條0件所確定的可行域內(nèi)選擇一個初始點(diǎn)x，然后決定可行搜索方向d,且以適當(dāng)?shù)牟介L沿d方向1進(jìn)行搜索得到一個使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)x，即完成一個迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向就是指，當(dāng)設(shè)計點(diǎn)沿該方向作微量移動時，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)就是：1）由于整個求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計算不論何時終點(diǎn)，都可以獲得一個比初始點(diǎn)好的設(shè)計點(diǎn)。

15、2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行計算，以便從求得多個局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路就是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，與目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。間接解法就是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)就是：1）由于無約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，已經(jīng)研究出不少有效的無約束最優(yōu)化方法與程序，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)。目前,這類算法的計算效率與數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。2）可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。3）間接算法存在的主要問題就是，選取加權(quán)因子比較困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度與計算精度，甚至?xí)?dǎo)致計算失敗。間