壓力管道元件變形的幾種基本形式

1、管道元件變形的幾種基本形式管道元件變形的基本形式有拉伸(壓縮)、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲共四種，受多種載荷作用的管子變形都可視為這四種基本變形形式的組合。因此可以說，管道元件的基本變形形式是解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)問題的基礎(chǔ)。在了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的管道應(yīng)力分析之前，有必要先了解一下四種基本變形形式。(一)拉伸和壓縮管子的拉伸和壓縮是由大小相等、方向相反、作用線與管道中心軸線重合的一對外力引起的管子變形形式。其變形特點(diǎn)是管子沿中心軸線方向被拉伸或被壓縮，如圖6-1所示：圖6-1 管子的拉伸與壓縮變形根據(jù)圣維南原理可知，管子的兩端部沿截面上的力不一定均勻分布，但遠(yuǎn)離端部的任一橫截面上的內(nèi)力是均勻分布的。假想將管道

2、元件在m-m處切開，那么m-m截面上的內(nèi)力是均勻的。根據(jù)力的平衡法則可知此時N=F。根據(jù)應(yīng)力的定義可以得到m-m截面上內(nèi)力N與應(yīng)力的關(guān)系為： 平面假設(shè)認(rèn)為，對于各向同性材料，此時截面上的應(yīng)力是均勻分布的，實(shí)驗(yàn)證明也如此。故有：N=.A由于此時N=F，故有：F=.A， 或者 (a) 一般情況下，管道元件受拉時，其外力F和應(yīng)力為正，受壓時，F(xiàn)和為負(fù)。對管子來說，設(shè)管子外徑為D，內(nèi)徑為d，故其橫截面積為： (b) 1 / 11將式(b)代入式(a)可得： (6-1) 式6-1即為管道元件受拉壓時的強(qiáng)度校核公式。求解該式的過程稱做管道元件的強(qiáng)度校核過程。在已知力F和材料許用應(yīng)力的情況下，可以通過式6-

3、1變換求解管道元件需要的截面積大小，即 。 這一過程稱為管子的設(shè)計過程。同理，在已知管道元件尺寸和材料許用應(yīng)力的情況下，也可以通過式6-1變換求解最大允許載荷，即F=.A。這一過程稱為管道元件的載荷條件限制過程。值得一提的是，管道元件受壓縮時，在不考慮失穩(wěn)的情況下，其彈性模量E和屈服極限s與拉伸時相同，但材料屈服后，管子橫截面積會不斷增加，其抗壓能力也將不斷提高。因此，研究彈性材料的壓縮強(qiáng)度破壞無太大工程意義，而此時較多研究的是其剛度破壞。對于單純拉壓變形，無須用物理方程和幾何方程即可求解，故它是比較簡單的變形形式。(二)剪切管子的剪切變形是由大小相等、方向相反、作用線垂直于管軸且距離很近的一

4、對力引起的管子變形形式。其變形特點(diǎn)表現(xiàn)為受剪管子的兩部分沿力的作用方向發(fā)生相對錯動，見圖6-2所示。圖6-2 管子的剪切變形與管道的拉伸和壓縮相似，可以近似地認(rèn)為在管子遠(yuǎn)離端部的任一截面上的剪力(內(nèi)力)是沿截面均勻分布的，且其內(nèi)(剪)力與外力大小相等、方向相反，即F=N。同理，可認(rèn)為其剪應(yīng)力沿截面也均勻分布，且有： 或者寫成： (6-1) 式6-2即為管道元件受剪切時的強(qiáng)度校核公式。同樣，對式6-2進(jìn)行變換，可以進(jìn)行管子受剪情況下的截面積計算和確定許可載荷。一般情況下，材料的許用剪切應(yīng)力很難查到，但試驗(yàn)證明材料的許用剪切應(yīng)力與許用拉伸應(yīng)力存在下列近似關(guān)系：對塑性材料：=(0.60.8)對脆性材

5、料：=(0.61.0)純剪切變形也無須用幾何方程和物理方程即可求解。(三)扭轉(zhuǎn)管子的扭轉(zhuǎn)變形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子軸線的兩個力矩引起的管子變形形式。其變形特點(diǎn)表現(xiàn)為管道元件的任意兩個橫載面繞管子的中心軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，見圖6-3所示：圖6-3 管子的扭轉(zhuǎn)變形根據(jù)圣維南原理可知，在管子的任一截面上的內(nèi)力(矩)Mn是均勻分布的，且根據(jù)力的平衡法則可知，Mn =M。Mn也是一個矢量，且規(guī)定：按右手螺旋法則，當(dāng)矢量方向與截面的外法線方向一致時，Mn為正，反之為負(fù)。對于管子的扭轉(zhuǎn)變形，其應(yīng)力在管子各橫截面上的分布已不再是均勻的。從圖6-4中可以看出，距軸線中心O越近，變形量越小。圖6-

6、4所示的為一從受扭轉(zhuǎn)變形的管子上截取的微元，微元沿軸線長度為dx。在扭轉(zhuǎn)力矩的作用下，位于半徑Ri上的a點(diǎn)因發(fā)生微小錯動到達(dá)a點(diǎn)，此時也相當(dāng)于oa線相對于oa線轉(zhuǎn)動了一個dj角度。那么由其幾何關(guān)系可知：aa=Ri dj。而ba線發(fā)生的角度改變(即剪應(yīng)變)i應(yīng)為： (a) 圖6-4 扭轉(zhuǎn)變形微元 式(a)即為管道元件扭轉(zhuǎn)變形時的幾何方程。由公式可以看出，橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到管子軸中心線的距離成正比，而到軸中心線距離相同的點(diǎn)(即在同一園周上的點(diǎn))，其剪應(yīng)變相同。由虎克定律知道，在半徑Ri上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力i=G.ri，將(a)式代入可得： (b) 式(b)即為管子扭轉(zhuǎn)變形時的物理方程。由式

7、中可以看出，橫截面上任意點(diǎn)的剪力與該點(diǎn)到管中心的距離成正比，且同一園周上的應(yīng)力相等。由此也可以看出，此時的剪應(yīng)力在管子橫截面上已非均勻分布。式(b)中由于有dj/dx這一未知條件，故仍無法計算剪應(yīng)力，此時須借助于靜力平衡方程。圖6-5表示了管子某一橫截面上的內(nèi)力微元，微元的寬度為dRi，周長為2Ri，面積為dAi=2Ri.dRi。由于dRi非常小，可認(rèn)為在微元中的剪應(yīng)力是均勻分布的，即此時面積dAi上的剪力為：Ni=idAi扭矩為：Mi=NiRI=iRI dAi對整個管道橫截面積積分可得： (c) 將式(b)代入式(c)可得： 圖6-5 扭轉(zhuǎn)變形內(nèi)力微元 在該積分方程中，只有Ri是變量，故可將

8、常量 移出積分外。設(shè) ，代入上式可以得到： (d) 將式(b)代入式(d)可得： 對上式進(jìn)行公式變換得： (e) 由式(e)可以看出，當(dāng)Ri=D/2時，i最大，即最大剪應(yīng)力發(fā)生在管子橫截面的最外園上，此時有： 設(shè) 并代入上式可得： (6-3) 式6-3即為管子受扭轉(zhuǎn)載荷時的強(qiáng)度校核公式。同樣，通過式子變換可以進(jìn)行管子受扭轉(zhuǎn)載荷時的截面參數(shù)計算和確定許可扭轉(zhuǎn)載荷。通常將Jp叫做管道元件的扭轉(zhuǎn)慣性矩，將Wn叫做管道元件的抗扭截面模量。通過Jp和Wn的定義式很容易求出圖6-5所示管子的表達(dá)式： 同樣，一般很難查到材料的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力。試驗(yàn)證明，扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力與拉伸許用應(yīng)力存在如下近似關(guān)系： (三)彎

9、曲在這里僅研究純彎曲的情況，即管子各橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力，管道元件中心軸線變形后為一平面曲線。此時管子的彎曲變形是由大小相等、方向相反、作用面為沿管子中心軸線的縱向平面并包含軸線在內(nèi)的兩個力矩引起的管子變形形式。其變形特點(diǎn)表現(xiàn)為管子的中心軸線由直線變?yōu)槠矫媲€，如圖6-6所示。圖6-6 管子的平面純彎曲變形在管子上用兩個橫截面截取得到一個微元。在彎矩的作用下，兩個橫截面都繞截面內(nèi)的某一軸線轉(zhuǎn)了一個角度，那么此時微元中兩個截面形成一個夾角d，見圖6-6(b)所示。在微元中，靠近彎曲內(nèi)側(cè)的金屬受壓縮，靠近彎曲外側(cè)的金屬受拉伸。那么在每個截面上，金屬由壓縮變?yōu)槔鞎r，肯定會存在一層金屬不發(fā)生

10、變形，并稱這層金屬為中性層。中性層的曲率半徑為R，那么距中性層為y的金屬在變形后的長度為aa=(R+|y|)d。由于中性層金屬的長度不變，且oo=R.d，那么距中性層為y的金屬變形量(即線應(yīng)變)則為： (a) 式(a)即為管道元件受平面純彎曲的幾何方程。公式表示，距中性層越遠(yuǎn)，其線應(yīng)變越大。y的正負(fù)號分別表示金屬受拉或受壓，當(dāng)直觀能判斷金屬受拉還是受壓時，其絕對值符號可以取消。根據(jù)虎克定律，可得其物理方程為： (b) 從式(b)中可以看出，管子在受平面純彎曲時，其正應(yīng)力在橫截面上的分布是不均勻的，應(yīng)力的大小與其距中性層的距離成正比。為了建立管子受平面純彎曲的靜力方程，可取一個內(nèi)力微元，見圖6-

11、7所示。微元的面積為dAy?？梢宰C明，中性層一定通過管子橫截面的形心。由于管子受純彎曲，故其靜力方程為： (c) 將(b)式代入(c)式可得： 設(shè) ，代入上式并進(jìn)行式子變換得： (d) 將式(d)代入式(b)可得： 圖6-7 平面純彎曲內(nèi)力微元 (e) 由式(e)可知，當(dāng)y最大時，此時的應(yīng)力也最大，即有： (f) 設(shè) ，代入式(f)可得： (6-4) 式6-4即為管子受平面純彎曲時的強(qiáng)度校核公式。同樣，通過式子變換，可以進(jìn)行管子受純彎曲荷載時的截面參數(shù)計算和確定許可彎曲載荷。通常將Jz叫做管子橫截面對Z軸的慣性矩，將Wz叫做管子的抗彎截面模量。通過Jz和Wz的定義公式，很容易求出圖6-7所示管

12、子的表達(dá)式為： 在工程上，有時不僅要核算管子在彎曲載荷作用下的強(qiáng)度，還要核算其撓度。所謂撓度，是指在彎曲載荷作用下，管子上各點(diǎn)(一般以形心為代表)上下的垂直位移，見圖6-8所示的y坐標(biāo)。由圖中可知，管子在彎曲載荷的作用下，其形心直線變?yōu)槠矫媲€，并可用y=f(x)表示，常稱之為撓曲線。對非純彎曲情況，彎矩M和曲率半徑R已不在是一個常數(shù)，而是x的函數(shù)，即：M=M(x)，R=R(x)在跨度l遠(yuǎn)大于管子直徑的情況下，尤其是受均布載荷的情況下，可忽略剪力對撓度的影響，那么可有下列近似公式： (g) 將式(g)代入式(d)可以得到： (h) 式(h)即為撓曲線的微分方程。對式(h)進(jìn)行兩次積分可以得到： 圖