線性代數(shù)：第六章 二次型

1、 第一節(jié)二次型的概念二次型的概念 第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 第三節(jié) 慣性律、二次型的規(guī)范形慣性律、二次型的規(guī)范形 第四節(jié) 二次型的正定性二次型的正定性第六章 二次型6.1 n定義元二次型12,nnx xx含 個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式21211 112 1 213 1 311222 223 2 32221( ,) 222 22 ,nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xxa xa x xa x xa xx稱為2,nxx的一個(gè)n元二次型ija系數(shù)為實(shí)數(shù)的二次型，簡實(shí)二次型：稱二次型第一節(jié)二次型的概念二次型的概念22212312313,2454 f x x xxxxx

2、x例：是二次型123121323, f x x xx xx xx x是二次型 ()ijjiaaij令 111212122221122112122122212(,) +nnnnnnnnnnnnf x xxxx xx xx xxxaaxx xxaaaaaxaax11nnijijija x x12111 11221221 122221 122( ,) () () ()nnnnnnn nnn nf x xxx a xa xa xx a xa xa xx a xa xax矩陣表示：11 1122121 12222121 122( ,)nnnnnnn nnna xa xa xa xa xa xx xxa

3、xa xax1112112122221212( ,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxTX AX12( ,)Tnf x xxX AX二次型的矩：陣表達(dá)式: fA二實(shí)對(duì)稱型矩陣次的矩陣 : fA實(shí)對(duì)二次矩陣型稱的二次型12( ,)nf x xx解解,a,a,a321332211 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例112312323120(,)(,) 223033Txf x xxx xxxX AXx12212,aa1211222111111211212221221212(,

4、) (,) nnTnijijniiniijniinninnnnnnnf xxxXAXa x xXCYd yd yd yCXCYcccxcccxccyf xxxxdc二次型通過非退化線性變換化成的稱為。其中：是可逆矩陣；非退化線性變二次換型的標(biāo)準(zhǔn)形：定定義義6 6. .2 211111122211211nnnnnnnnnnyxc ycyyxcycyyxcycy 即第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、正交變換法一、正交變換法12 ( ,), Tnf x xxX AXXQY對(duì)任意n元二次型， 必存定在正交變換 1使得理6.2211()TTTnnX AXYQ AQ Yyy1212( , n, n

5、nAnQA 其中，為實(shí)對(duì)稱矩陣 的 個(gè)特征值；的 個(gè)列向量是 的對(duì)應(yīng)于特征值的 n個(gè)單位正交特征向量。）解解：1 1寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A1722det()21442414AE 9182 222123121323 171414448 .fxxxx xx xx xXQY將二次型通過化正變換成標(biāo)準(zhǔn)形交例例從而得特征值從而得特征值:.18, 9321 90,AE X1將代入 得基礎(chǔ)解系2 2求特征向量求特征向量23180,AE X將代入得基礎(chǔ)解系2,2,1,0()TX 3.( 2,0,1)TX 3 3將特征向量正交化將特征向量

6、正交化11 ,X取1.(1 2, 1, 1)TX22,X2333222(,),(,)XX 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 1 325245 2 315445 .2 30545Q所以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣Q于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxx1222123212312331()() ()() (,)

7、9181 , 918188.TTTTTTfX AXQYA QYYQ AQ AQdiaQ YYYYYyy yyyyyyyg 且有化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次表示何種二次 1,321 xxxf曲面曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 例例：求一正交變換，將二次型：求一正交變換，將二次型513 153 ,333A 二次型的矩陣為解解),9)(4()det( EA可求得可求得, 9, 4, 0321 的特征值為的特征值為于是于是A.111,011,211 321 ppp對(duì)應(yīng)特征向量為對(duì)應(yīng)特征向量為將其單位化得,626161 111 ppq

8、,02121222 ppq.313131 333 ppq故故正正交交變變換換為為,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化二次型為化二次型為123(,)1 .f x xx由于正交變換具有保形性，可知 表示 橢圓柱面 二、配方法二、配方法用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保保持幾何形狀不變持幾何形狀不變問題問題有沒有其它方法，也可以把二次型化有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？為標(biāo)準(zhǔn)形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法

9、12 ( ,)Tnnf x xxX AX定理6對(duì)任意 元二2次.型，可用配方法找到非退化線性變換XCY TX AX使得化為標(biāo)準(zhǔn)形。 (證明略)32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例31212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 3223222xxxx 322322652xxxx 223()xx322322652xxxx 211232(2)xxxx 223()xx含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 322322232144xxxxxxx

10、 .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為111012 ,001det( )10, .CCCXCY由于是可逆矩陣是非退化線性變換。,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入2211221213232223321322222333233 224248282(44)6222()yy yyyyfyyy yy yyy yyy yyyy得.,6

11、22 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以112233110 110001yyyxxx即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用變換矩陣為所用變換矩陣為 100210101100011011C.100111311 det( )20, .CCXCY 由于是可逆矩陣是非退化線性變換。12 ,

12、TfX AXT T二次型若被分別化為標(biāo)準(zhǔn)形：2211rrfyy221 1rrfzz1212111222,() : , : , T TTTTXYYPXXCYTXZP XXC Z設(shè)是兩個(gè)非退化線性變換 即：也就是即：Z也就是( 0,0, ,1,2, . ( ) )iji jrrR Aij在和 （i,j=1,2, ,r）中，取正值的個(gè)數(shù)相同第三節(jié) 慣性律、二次型的規(guī)范形慣性律、二次型的規(guī)范形標(biāo)準(zhǔn)形中不為零的系數(shù)總是有r個(gè)22211221212341 , (,)2TnnnTXPYfX AXXPYffk yk yk ykpqrkkpqAf x xx xX AXy：設(shè)二次型 的秩為r， 無論用何種實(shí)的可逆

13、變換把 化成標(biāo)準(zhǔn)形：則n個(gè)系數(shù)中，取正數(shù)系數(shù)的個(gè)數(shù) 與取負(fù)數(shù)系數(shù)的個(gè)數(shù) 總是不變，且總有如： 設(shè) rank(慣性定理（慣性律3 ）)=r=2222234222212341234 2, 1, 2, 1,420 (,)1053 TX QZyyyf x xx xpqrpqpqrpqX AXzzzzpq 正慣性指數(shù) ，負(fù)慣性指數(shù)22221111ppppp qp qffd yd ydydy的任一標(biāo)準(zhǔn)形均如： ( ) 0 (1,2,)jpqR Ardjp q其中，:pq正系數(shù)的個(gè)數(shù) 負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)222211 (11-)ppp qffzzzzpqnp qff再進(jìn)一步做可逆變換， 可變成： 個(gè)正系數(shù)都是 ，排

14、列在前， 個(gè)負(fù)系數(shù)都是- ，個(gè)零系數(shù)排列在后稱為 的。對(duì) 而言其規(guī)范，規(guī)范形形惟一。12 ( ,)Tnf x xxX AX設(shè)二次型，不定二次型：既非正定又非負(fù)定的二次型6.3定義正定二次型經(jīng)非退化線性變換，正定性不變。12 ( ,)TnXx xx對(duì) 任意非零向量，總有1212( ,)0( ,)0nnf x xxff x xxfAA，則稱 是。，則稱 是。正定二次型的矩陣 稱為；負(fù)定二次正定二次型負(fù)型的矩定二次型正陣 稱為定矩陣負(fù)定矩陣。性質(zhì)性質(zhì)1第四節(jié)第四節(jié) 二次型的正定性二次型的正定性 TfX AXpn為正定的其正慣性指數(shù)21 , niifpnXQYfy 充分性。設(shè) 的正慣性指數(shù) 因?yàn)橛蟹峭?/p>

15、化變換化二次型 為規(guī)范形證:211 ( , ,0)TnXx xx0YQ X對(duì)任意有210 TniifX AXy且有 f為正定的。6.3定理f必要性。反證法.設(shè) 是正定二次型。222211. ppp qpn fXQYfyyyy假設(shè)經(jīng)非退化變換化為規(guī)范形12(,) (0,0, 1, 0,0)TnTYy yy0取向量 第第p+1項(xiàng)項(xiàng)Y0XQY02222212 ( ,)100000nf x xx f與的正定性矛盾。證畢 1 AAn為正定矩陣的充要條件是： 的 個(gè)特征值推論全為正數(shù)22111, TTnnnfX AXXQYfX AXyyAnQ： 對(duì)存在正交變換使得其中， ，是 的 個(gè)特征值。證是正交矩陣。

16、22111 TnnnpnfX AXyyAn 正慣性指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) ，都是正數(shù) 即： 的 個(gè)特征值全為正數(shù)。 A為正定矩陣 , 2 TACAC C為正定矩陣的充要條件是： 存在可逆矩陣使得推論22212 , TTnAApnfX AXXPYfyyyY EY證：充分性。設(shè) 為n階正定矩陣， 則 的正慣性指數(shù)有可逆變換使得其規(guī)范形: ()()() TTTTTTX AXPYA PPYYYYYEEP APAP則有：即：，11111()( )() () C, TTTAPE PPPPAC C 則令：則必要性。反推即得。det( )0AA 正定，則推論2TACAC C證：若 正定，由推論 知，存在可逆矩陣 ，

17、使得 2detdet()det(det)0TACCC 6 4 .kAk方陣 的階順序主子式定義111212122212 (1)kkkkkkkaaaaaaknaaa 0 (1,2, )TfX AXAkn k二次型為正定的充要條件是：得各階順序主子式證明略。k (-1)0 (1,2, )()-6.5TkTTfX AXknfX AXfXA XA 二次型為負(fù)定的充要條件是：證：是負(fù)定的是正定的的各階順序定理主子式06.4定理1112121222122430()-( 1)0,00,0,kkkkkkkkAaaaaaaaaaA 1的各階順序主子式0證畢。負(fù)接定22212312136. 264262fxxxx

18、 xx x 判斷二次型 是正定還是例負(fù)定。解：123211160104202111016211160380104AA 所以， 是負(fù)定的。222123121323522tfxxtxx xx xx x： 取何值時(shí)，4例+是正定的。22123111212511 1 10, 1,1254 1 125tAtttttttt 解：222101 540(54)01140 05540405ttAtttttttttf 要正定，則所以，當(dāng)時(shí)， 正定。TBAB B：設(shè) 是實(shí)可逆矩陣，證明：例是正定矩陣。()() ATTTTTTTAB BBBB BA：是證實(shí)對(duì)稱的。0()n,()TTTTYBXfX AXX B BXBX

19、BXX對(duì)維向令任意量0BY 由于 可逆，則122221212() (),0TTnnnyyBXBXY Yy yfyyyyfAy是正定二次型， 是正定矩陣(第六章習(xí)題2（1）)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出變換矩陣：22212313224xxxx x2 2123202 0102022022222010( 1)(1)(1)2220222(1)()(1) (4)11014AA 解：求特征值：det(A- E)=的特征值為： ， ， 1123110 (A-0E)X=02022021011A-0E=010010010 020200000011X001xxcx 對(duì) ：解方程組通解：基礎(chǔ)解系：就是 的特征

20、向量。212223 (A1E)X=0102102100A1E=000000001201003000001 X100 xxcx 對(duì) 1：解方程組通解：基礎(chǔ)解系：就是 1的特征向量。112333 (A4E)X=0202202101A4E=030010010202000000110 X011xxcx 對(duì) 4：解方程組通解：基礎(chǔ)解系：就是 4的特征向量。123111222333123 , 111(1,0,1),0,2221(0,1,0)0,1,01111( 1,0,1),0,22211022(,)01011022, ()TTTTTTTTTXXXXqXXqXXqXQq q qXQYfX AXYQ AQ

21、Y 將正交組單位化：得到正交矩陣：用正交變換: 使得二次型2223(0,1,4)4TY diagYyy(第六章習(xí)題5) 判斷下列二次型是正定，負(fù)定，還是不定：22212312231 34544fxxxx xx x（ ）12332024202530328024320122122det242242086280025025025fAAf 解： 的矩陣所以， 是正定的。(第六章習(xí)題5) 判斷下列二次型是正定，負(fù)定，還是不定：1213233 26fx xx xx x（ ）210111031300fAf 解： 的矩陣所以， 是不定的。()n 0, 1,2,ijn niiAaAain） 設(shè)為 階實(shí)對(duì)稱陣，試

22、證：(1例)若 是正定的，則（習(xí)題六第8題0, 0TXAX AX：因?yàn)?是正定總有的證對(duì)任意，2110,0,0,1,0,0,1,0 0 (1,2, )0, 1,2,TijnnTijijiiiiiijiiXxxX AXa x xa xainain 取即其余所以，121111211221222212()n,1,2, )()rijn nnijiijjijn nnnnnnnnnrrAaccbc a ci jnBbcaaaccaaacBcaaacBB例（習(xí)題六第12題證（方法1） 設(shè)為 階正定矩陣，c , , 是非零實(shí)數(shù)， =,(，試證：也是正定矩陣。：的 階順序主子式1111211221222222212120, (1,2, )0, (1,2, ) rrnrrrrrrrrrrcaaaccaaacc cccaaacAArnBBrnB 因?yàn)?正定，所以 的順序主子式的順序主子式所以， 是正定矩陣。1111111122111211n(,)002,()(),00()(), nnnnTijijijijnnijiijjijTnnTnnijiijjijnnTijijijiijjniTjX BXx x