線性代數(shù)：第2章第5節(jié) 矩陣的秩

1、1老子語錄 w人法地，地法天，天法道，道法自然。2 第五節(jié)第五節(jié) 矩陣的秩與初等變換矩陣的秩與初等變換 第二章3矩陣的秩 :, m nkAkk中行 列的交叉處 元素按原順階子矩陣序組成. : kk 階子矩陣階子式的行列式12121: 1kkiiimkkjjjn例取定 行 列11 11 22 12 2212 kkkkk ki ji ji ji ji ji ji ji ji jaaaaaakaaa階子式為 4(1)：A 的每個元素的每個元素 都是都是 A 的一個一階子式的一個一階子式(2)：當(dāng)：當(dāng) A 為為 n 階方陣時，階方陣時，n 階子式即為階子式即為 | A |注：注：5例如：例如：5000

2、43200101A一個3階子式10500420001問：A共有多少個三階子式？6 ()max: det0k krank AkA 0定義矩陣的秩是0.矩陣A的秩顯然顯然： r (A) min (m, n)若矩陣若矩陣 A 中至少有一個中至少有一個 k 階子式不為階子式不為0，而所有而所有 k+1 階子式全為階子式全為0，則，則 r ( A ) = k。7例如：例如：中有一個三階子式500043200101A010500420001故：故：r(A) = 38注：注：(3) 非奇異矩陣非奇異矩陣A，有，有 | A | 0，A的秩就等于它的階的秩就等于它的階數(shù)，數(shù)，A又稱為滿秩矩陣。又稱為滿秩矩陣。(

3、2) 奇異矩陣奇異矩陣A，也稱為降秩矩陣。，也稱為降秩矩陣。(1): 矩陣矩陣A的不為的不為0的子式的最高階數(shù)稱的子式的最高階數(shù)稱為矩陣為矩陣A的的秩秩，記為，記為r (A)。9矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義10對矩陣施行下列三種變換稱為矩陣的對矩陣施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換(1) 互換兩行互換兩行 ( 記作記作 ri rj );(2) 以數(shù)以數(shù) 0 乘以某一行乘以某一行 ( 記作記作 ri );(3) 將第將第 j 行各元素乘以數(shù)行各元素乘以數(shù) 后加到第后加到第 i 行行的對應(yīng)元的對應(yīng)元素上去素上去 (記作記作 ri + rj )相應(yīng)地，矩陣的三種初等列變換初等列變

4、換的記號只需將 r 換成換成 c。10性質(zhì)性質(zhì)1 對矩陣施行初等變換，矩陣的秩不變。對矩陣施行初等變換，矩陣的秩不變。例：例：.34333230126624202121 的秩求矩陣A解：解：34333230126624202121A122rr 021216200021230132rr 32690143rr 11階梯形階梯形r ( A ) = 332690212306200002121A32rr 0212162000212303269034rr 6200032690233rr 21230021213100062000342rr 310002123002121000001001302213012

5、(1) (2) ,; ,; (3)定義： 階梯形矩陣若有零行 則零行在非零行的后面若有零列 則零列在非零列的后面后一行的第一個非零元素在前一行的 第一個非零元素之后。13 課堂練習(xí)： 判斷下列矩陣是否為階梯形矩陣。51 034 502 72 0 200042 000000 0A5102000272100414024B14(0)2 AA 定理矩陣階梯形矩陣.111121211111, : 000 00jjnjnm jm nAaaaaaaa證明等價于行初等變換15(1) (2) (3)(4) ( )( ) ABrank Arank BAAABBAABACBC問：所有問：所有n階矩陣按上面得等價關(guān)系

6、階矩陣按上面得等價關(guān)系（秩相等即為同一類）可分為多少類？（秩相等即為同一類）可分為多少類？若矩陣若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換成為矩陣經(jīng)過有限次初等變換成為矩陣B則稱矩陣則稱矩陣A與與B等價等價16()()()() (0)rr n rm rrm rn rE0A00A 行經(jīng)初等變變列換經(jīng)初等換矩陣 ( ),.m nrrank ArA右端是秩為 的的等價標(biāo)準(zhǔn)形推論117A00000001000001000001A的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形000003010022130012210000030100*030*0210000030100*030*001000000010000030000010000031000212

7、300212143cc 100010001rE0000000000000018注：若注：若A 為為 n 階滿秩方陣，階滿秩方陣， 則其標(biāo)準(zhǔn)形為則其標(biāo)準(zhǔn)形為 n 階單位陣階單位陣E。1920初等矩陣初等矩陣定義定義11由單位矩陣由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣。.三 種 初 等 變 換 對 應(yīng) 三 種 初 等 矩 陣211 0 1 ( ,) 1 0 1ijA i j 第 行 第 行 ,:Ei j(1) 交換的第兩行(列)22(2) (0)()k kEi數(shù)乘于的第 行 列( )1() 1kkiE i 第 行23(3) kEjEi數(shù) 乘于

8、的第 行加到 的第 行1 1 ( ) 1 1(, )kkEiijj 第 行第 行(ikj第 列 乘 于 數(shù)加 到 第 列 )24初等矩陣都是可逆矩陣其逆矩陣也是初等矩陣1( ,)( ,)()i ji jEE11( )()()kii kEE1( ),(),()()()kkE jiE ji25性質(zhì)性質(zhì)對對A施行一次施行一次初等行變換初等行變換，相當(dāng)于在，相當(dāng)于在A的的左側(cè)乘以左側(cè)乘以一個相應(yīng)的初等矩陣一個相應(yīng)的初等矩陣；對對A施行一次施行一次初等列變換初等列變換，相當(dāng)于在，相當(dāng)于在A的的右側(cè)乘以右側(cè)乘以一個相應(yīng)的初等矩陣一個相應(yīng)的初等矩陣；例如：例如：34333231242322211413121

9、1aaaaaaaaaaaaA設(shè)設(shè)A是一個是一個 m n 矩陣矩陣26(1)Ar1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaP(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa27(2)Ac3 c4333432312324222113141211aaaaaaaaaaaaA P(3, 4) 0100100000100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa3334323123242221131412

10、11aaaaaaaaaaaa2812 .isAPP PP A定理：，使得是階梯形矩陣1212 0 00iirtsAPQEPPP AQ QQ定理：，和使得 (1,2, ) (1,2, ) m niirmiQinAPst秩為階：任意矩陣：初等矩陣：階初等矩陣29定理 (1)n nA是可逆矩陣(2) () rank An(3) det0 A (4) A可表示為有限個初等矩陣 的乘積證明證明: (1)(2) (2)(3) (2)(4) (4)(1)301212 0 00rtsAEP PP AQ QQ 可 逆 初等矩陣可逆左端矩陣可逆 右端不可能有零行向量 ( )rank An 定理2證 (1) (2)

11、311212 tnsP PP AQ QQE1111112121 stAPPPQQQ 又初等矩陣的逆矩陣是初等矩陣 A可 表 示 為 初 等 矩 陣 的 乘 積 ()rank An證明 (2)(4)32 , , m nm mAPPA定理可逆矩陣為階梯形矩陣 m nm nm mn nABPQPAQB 和等價兩個可定理逆矩陣和() 0 00 m mn nrrank ArCCEC AC 兩可逆矩陣和33逆矩陣的實(shí)用算法1111112211 stAPP P QQ Q可逆矩陣12121 tsAQ QQ P PP11212 ( )( )tsQ QQ PPPAEEA1( )( )AEEA 初等行變換1 .A變

12、換過程出現(xiàn)零行向量不存在34設(shè),343122321A求 A1.解：100343010122001321)(EAr22r1r33r110362001252000132135103620012520001321111100012520011201111100563020231001r1 2r3r2 5r31111002/532/3010231001)21(2r) 1(3rr1 + r2r3 r236故1112/532/32311A371 11 11 12 21 11 11 12 20 0A A陣A的逆矩陣陣A的逆矩陣用初等行變換求可逆矩用初等行變換求可逆矩100111010211001120,EA

13、 10011100112001021121rr38 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr110100212121010010211212r391102121212523211A1101002121210102523210013212rrr40對對 A 也可通過初等列變換求也可通過初等列變換求 A1EA初等列變換初等列變換 1AEA = P1 P2 Pm注：注：表示為：表示為：11121PPPmEAEA111121PPPm41對于n元線性方程組AX = B則則XA1B|A| 0，即，即A1存在存在若若(1). 解線性方程組解線性方程組42x1

14、 + 2 x2 + 3 x3 = 12 x1 + 2 x2 + x3 = 13 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3解：解：方程組簡記為,343122321A,311B,321xxxXX = A 1 B由于 | A | = 2 0, A可逆，故A X = B其中43而,111253232311A321xxxXBA111125323231311398即 x1= 8, x2= 9, x3= 3.44315241213124021X解：解：矩陣方程簡記為 A X = B31524121312402111BA 0 A1存在45315241 6521211245171356

15、371661517146AX + E = A2 + X其中,101020101AE 為三階單位矩陣.解：解：由 AX + E = A2 + X,即 ( A E ) X = ( A E )( A + E ).得 AX X = A2 E,001010100 EA而所以 A E 可逆可逆.47故 X = A + E100010001101020101201030102( A E ) X = ( A E )( A + E )所以 (AE)1( A E ) X = (AE)1( A E )( A + E ).48(1) 若若 A X = A Y X = Y(2) 若若 A B =O B = O證：A1 ( A X ) = A1 ( A Y )( A1 A ) X = ( A1 A ) YEX = EYX = Y(1)A X = A Y由所以(2) 由 AB =O，有A1 (AB) = A1 O所以 B =O( A1 A ) B = O49 ()min( ),( )m nn pABrank ABrank A rank B和 det()det( ) det( )n nn nABABAB和1(1) ,n nn nABEABAB和 都可逆11(2) det()det( )AAA可逆定理定理推論50課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：(1) | A | = n |