電磁波第三章

1、 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括：場量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 3.1 靜電場分析靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力2.

2、邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式：積分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表

3、面的邊界條件為邊界條件為 0nnEDeeS0tnEDS或或 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件0E由由即即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電場的標(biāo)量電位或簡稱電位電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)2. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對于點(diǎn)電荷的電場對于點(diǎn)電荷的電場同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得體電荷的電位：體電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR3( )4qRE r

4、R3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrR( )1( )d4SSrrSCR1()4qR 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrr1cos2drr用二項(xiàng)式展開，由于，得用二項(xiàng)式展開，由于，得dr 302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP2cos2drr 由球坐標(biāo)系中的梯

5、度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererEr 3. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將ddEll 上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得dQPElP、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場力做電場力做的功的功dll d dQP ( )( )PQ關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至點(diǎn)移至Q 點(diǎn)點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到

6、低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即)(CC選參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值4. 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零

7、，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即 解解 選定均勻電場空間中的一點(diǎn)選定均勻電場空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點(diǎn)若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即為電位參考點(diǎn)，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標(biāo)系中，取極軸與在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0Ezree z

8、 在圓柱坐標(biāo)系中，取在圓柱坐標(biāo)系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。000( )()cosxzPEreE ee zE 在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0DE 202標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程E 6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí)0dl

9、im21021PPlEl由由 和和Se)(21nDDD12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：常數(shù)，常數(shù)，SnSnn112221 例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩

10、塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea122112202100

11、0SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx最后得最后得 處，處，0 x 1(0)0 處，處，x a2( )0a所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電

12、感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號電荷（兩個(gè)帶等量異號電荷（ q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介

13、質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 (5) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (4) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； 計(jì)算電容的方法計(jì)算電容的方法：UqC 21dlEU (2) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和q ； (3) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E； (1) 根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀,選取合適的坐標(biāo)系選取

14、合適的坐標(biāo)系 ； 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場強(qiáng)度為的電場強(qiáng)度為llDa011( )()2lxE xexDx兩導(dǎo)線間的電

15、位差兩導(dǎo)線間的電位差21dUEl故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD a011()d2D alaxxDx0lnlDaaxyzxDaP 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lE

16、e內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差1( )dd2bblaaUEell故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程

17、中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 1. 靜電場的能量靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為

18、充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為q 、電位為、電位為 。(01) 當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即qW21e體分布電荷的電場能量為體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第第i 個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷i 第第i 個(gè)導(dǎo)體的

19、電位個(gè)導(dǎo)體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴(kuò)大時(shí)，則有無限擴(kuò)大時(shí)，則有211 O( O()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS2. 電場能量密度電

20、場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶龇e分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)

21、d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e112ddaraErEr 方法二方法二：利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV220()()23rara3200dd33arararrr 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律

22、可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計(jì)算靜電力。計(jì)算靜電力。 虛位移法：虛位移法：假設(shè)第假設(shè)第i 個(gè)帶電個(gè)帶電導(dǎo)體在電場力導(dǎo)體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)椋到y(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體

23、相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變,或假定各帶電導(dǎo)或假定各帶電導(dǎo)體的電位不變。體的電位不變。3.1.5 靜電力靜電力此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此，因此1. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變各帶電導(dǎo)體的電荷不變eddiiF gW 式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。eiiWFg q不變不變2. 各帶電導(dǎo)體的電位不變各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與

24、外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不變不變 例例: :若平板電容器極板面積為若平板電容器極板面積為A,A,間距為間距為x, x,電極電極之間的電壓為之間的電壓為U,U,求極板間的作用力求極板間的作用力. .0()lx bbxCdd所以電容器內(nèi)的電場能量為所以電容器內(nèi)的電場能量為220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不變由由

25、可求得介質(zhì)片受到的靜電力為可求得介質(zhì)片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d ，用一塊介，用一塊介質(zhì)片（寬度為質(zhì)片（寬度為b、厚度為、厚度為d ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。由于由于0，所以介質(zhì)，所以介質(zhì)片所

26、受到的力有將其片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢拉進(jìn)電容器的趨勢22e022 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式此題也可用式 來計(jì)算來計(jì)算eiiWFg q不變不變設(shè)極板上保持總電荷設(shè)極板上保持總電荷q 不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo) 恒定電場的

27、基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ)(rE 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0EE0 J由由0)(023.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件2. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即 電位的邊界條件電位的邊界條件nn2

28、21121,場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系12tantan1t1n11n12t2n22n2/EEJEEJ 恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面； 說明說明：b11、a媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。

29、此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行?；痉匠袒痉匠蘀D,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量對應(yīng)物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定

30、電場GC0d, 0dlESDCS3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。 例例3.2.3 求同軸電纜單位長度絕緣電阻。設(shè)內(nèi)

31、外的半徑分別為求同軸電纜單位長度絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計(jì)算方法：直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo)2ln(/)IGUba絕緣電阻絕緣電阻11ln2bRGaddln22baIIbUaElba則則I2IJ2JIE設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁

32、場的能量 3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)

33、標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁

34、矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式3( )( )d4VJ rRB rVR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR JB1( )()d4VJ rVR 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：利用磁矢位計(jì)算磁

35、通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ細(xì)線電流細(xì)線電流：CRlIrAd4)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAdd0dSSA2t1tAA 2n1nAAdddSSCBSASAl 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關(guān)，計(jì)算無關(guān)，計(jì)算 xO z 平平面上的矢量磁

36、位與磁場面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxyre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO對于遠(yuǎn)區(qū)，有對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，

37、所以上式可寫成，所以上式可寫成yee于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr11(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer式中式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。是小圓環(huán)的面積。 載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，載流小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則（或磁偶極矩），則mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )4rpB reer2. 恒定磁場的標(biāo)量磁位恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)一般情況下，

38、恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（電流（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有即在無傳導(dǎo)電流即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個(gè)的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。描述磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位的引入0HmH 標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 標(biāo)量磁位的邊界條件標(biāo)量磁位的邊界條件m1m212nn和和m1m2 磁標(biāo)位的微分方程磁標(biāo)位的微分方程00,BBH將將 代入代入mH 2m03.3.3 電感電感 設(shè)回路設(shè)回路 C 中的電流為中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈為為 ，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的

39、電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系，其比值IL稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感外自感ILiiILoo1. 自感自感 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。電流無關(guān)。 自感的特點(diǎn)自感的特點(diǎn)： ii 單匝線圈形成的回路的磁鏈定單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總鏈定義為所有線圈的磁

40、通總和和 CI 細(xì)回路細(xì)回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿；另一部分是磁力線穿過過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路 磁通是針對某一截面而言的，正像3樓所言，磁通是穿過某一截面所通過的磁力線的多少，叫做磁通量或磁通，因此 磁通是磁密在某一截面上的積分。說磁通時(shí)一定要說穿過那個(gè)截面的磁通。磁鏈?zhǔn)轻槍δ骋痪€圈的，因此說磁鏈時(shí)一定要說匝鏈某個(gè)線圈的磁鏈。磁鏈?zhǔn)侵复?/p>

41、過線圈各匝的磁通量之和，當(dāng)穿過某一線圈各匝的磁通量不相等時(shí)（如穿過線圈第一匝的磁通量和第二匝的磁通量可能不同），那么磁通就是匝的函數(shù)，此時(shí)，磁鏈等于穿過線圈各匝的磁通的積分，從首匝積分到末匝。當(dāng)穿過某一線圈各匝的磁通量相等時(shí)，則匝鏈該線圈的磁鏈就等于磁通乘以匝數(shù)。 例例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。ZdI1Bdab 解解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理0ii22,

42、22IIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為的磁通為0ii2ddd2IBSa (0)a得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa 則與則與di 相應(yīng)的磁鏈為相應(yīng)的磁鏈為30ii4ddd2IIIaidCHlI2222IIaa因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為300ii40dd28aIIa0ii8LI故單位長度的內(nèi)自感為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I則則o0oln2bLIa故單位長度的外自感為故單位長度的

43、外自感為單位長度的總自感為單位長度的總自感為 例例3.3.5 計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為徑為a ，兩導(dǎo)線的間距為，兩導(dǎo)線的間距為D ，且，且 D a 。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為導(dǎo)率為0 。odBS011( )()2yIB xexDx穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為 解解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I 。由。由于于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路

44、定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為xyzxDaPII011()d2D aaIxxDx0lnIDaa于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感o00olnlnDaDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為 對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1 和回路和回路 C2 ，當(dāng)回路，當(dāng)回路 C1 中通過中通過電流電流 I1 時(shí)，不僅與回路時(shí)

45、，不僅與回路 C1 交鏈的交鏈的磁鏈與磁鏈與I1 成正比，而且與回路成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈 21 也與也與 I1 成正比，其成正比，其比例系數(shù)比例系數(shù)12121IM 稱為回路稱為回路 C1 對回路對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。的互感系數(shù)，簡稱互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 對回路對回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r4. 紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個(gè)如圖所示的兩個(gè)回路回路 C1 和回路和回路 C2 ，回路回路 C1中的電流中的電流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位點(diǎn)產(chǎn)生的

46、矢量磁位111021d4)(CRlIrA回路回路 C1中的電流中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r紐曼公式紐曼公式22112dCAl同理同理 2112021dd4CCRllM故得故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM210 121dd4CCIllR 02IBe0dd2dbSdIzBS由圖中可知由圖中可知()tan( 3)3()zbdbd長直導(dǎo)線與三角形回路長直導(dǎo)線與三角形回路Idz60bddSz穿過三角形回路面積的磁通為穿過三角形回路面積的磁通為 解解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電

47、流為設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I ，根據(jù)根據(jù)安培環(huán)路定理，得到安培環(huán)路定理，得到 例例3.3.6 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因此因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為 例例3.3.7 如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和和 C2，半徑分別為半徑分別為a1和和 a2 ，中心相距為，中心相距為d 。求它們之間的互感。求它們之間的互感。2221 2

48、211212212cos()rrdaaa a于是有于是有 2201221212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用紐曼公式來計(jì)算，則有利用紐曼公式來計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈兩個(gè)平行且共軸的線圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中式中=21為為 與與 之間的夾角，之間的夾角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且且1dl2dl 12122121021210ddcos4dd4CCCCrrllrrllM 若若d a1，則，則2221 2221 21 21

49、2121222222cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或或 d a2 時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量1. 磁場能量磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁

50、場能量。 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定 磁場具有能量。磁場具有能量。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。 假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。 假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻假定在恒定電流建立過程中，電流

51、的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。射損耗。L1I1L2I2 1、 設(shè)回路設(shè)回路L2暫時(shí)開路電流保持為暫時(shí)開路電流保持為0 ，回路回路L1從零開始充電，最終的電流為從零開始充電，最終的電流為I1外加電壓應(yīng)為外加電壓應(yīng)為111ddut dt時(shí)間，外電源所做的功時(shí)間，外電源所做的功11 1dWu I dt對對L1回路電流從回路電流從0 到到 I1 過程中，外電源做的總功為過程中，外電源做的總功為11211 1111 110dd22IL IIWWL I I11dI1 11dL I I2、回路、回路L1電流為電流為I1 ，回路，回路L2從零開始充電，最終的電流為從零開始充電，最終的電流為I22222222

52、2dddWu I dtIL II211 111212 12dddWu I dtIM I I對對L2回路電流從回路電流從0 到到 I2 過程中，外電源做的總功為過程中，外電源做的總功為22222222220d22IL IIWL II21212 1212 1 20dIWM I IM I I回路回路L1、L2中電流達(dá)到中電流達(dá)到I I1 I I2，系統(tǒng)所具有的磁場能量，系統(tǒng)所具有的磁場能量Wm ，即，即221 122122121 1 222mL IL IWWWWM I I1 121221211()()22mWL IMIIL IMI I 對于對于N 個(gè)載流回路，則有個(gè)載流回路，則有m112NiiiWI

53、m1111.d22NNiiiiiCiiiWIIAl 對于體分布電流，則有對于體分布電流，則有VVAJWd21m21 12211222iiiIII細(xì)導(dǎo)體回路若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有無限擴(kuò)大時(shí)，則有 故故 推證推證：BA JH HAAHHA)(RSJ0J 1()d2VA HAHVSVSHAVHAd)(d )(SVSHAVHBd)(21d21)1O(),1O(2RHRA0)1O()d11O(d)(2RSRRSHASSVAHVAJWVVd21d21m2. 磁場能量密度磁場能量密度磁場能量密度：磁場能量密度：磁場的總能量：磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)?/p>

54、電場積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV 例例3.3.8 同軸電纜的同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為分別為 b 和和 c ，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量。中單位長度儲存的磁場能量。 解解：由安培環(huán)路定理，得：由安培環(huán)路定理，得abc1202IHeaa22IHeab223222IcHeb

55、ccb40Hc22220m322() () 2 d22cbIcWcb 三個(gè)區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為三個(gè)區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為2200m120() 2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度內(nèi)總的磁場能量為mm1m2m3222422000222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb3.3.5 磁場力磁場力 SmdddiiWF gW 假定第假定第i 個(gè)回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移個(gè)回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移dgi 。此時(shí)，。此時(shí)，