函數(shù)微分的定義

1、函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于x的常數(shù)，是x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy與y的差是關(guān)于x的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)x0時(shí)，ydy.導(dǎo)數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。導(dǎo)數(shù)

2、的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若y與x之比當(dāng)x0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)數(shù)公式微分公式函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則拉格朗日中值定理   如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)

3、間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使                          成立。   這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：   若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。   注：這個(gè)定

4、理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。   注：在此我們對這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍   下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理   如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。羅彼塔(L'Hospital)法則   當(dāng)xa(或x)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)xN)時(shí)，與都存在，0，且存在    

5、則：=   這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則   注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。   注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。曲線凹向的判定定理  定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：       

6、;    導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。  定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：           若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是下凹的；           若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是上凹的；不定積分的概念   函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的

7、不定積分，                              記作。   由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族         

8、;                     F(x)+C.                            

9、60; 即:=F(x)+C分部積分法   這種方法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。   設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：                      (uv)'=u'v+uv'，移項(xiàng)，得      

10、                 uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：                       ，   這就是分部積分公式例題：求 

11、  解答：這個(gè)積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。            設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：               關(guān)于分部積分法的問題  在使用分部積分法時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)：  

12、0;        (1)v要容易求得；           (2)容易積出。有理函數(shù)的積分舉例   有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時(shí)稱之為假分式，   反之為真分式。  我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時(shí)才可積？  定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。 

13、;     （2）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。定積分的性質(zhì)  性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.           即：  性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.           即：  性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間a,b上，f(x)g

14、(x)，則  （a<b)  性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則 m(b-a)M(b-a)  性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)，使下式成立：          =f()(b-a)          注：此性質(zhì)就是定積分中值定理定積分的換元法  我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我

15、們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計(jì)算定積分。  定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間m,n上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間m,n上變化時(shí)，x=g(t)的值在a,b上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:         例題:計(jì)算  解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，t=/2.于是：        注意：在使用定

16、積分的換元法時(shí)，當(dāng)積分變量變換時(shí)，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。定積分的分部積分法  計(jì)算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計(jì)算定積分也有分部積分法。  設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在a,b上的定積分，并移向得：  上式即為定積分的分部積分公式。  例題：計(jì)算  解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=1時(shí)，t=1.由前面的換元公式得：        再

17、用分部積分公式計(jì)算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：                故：廣義積分   在一些實(shí)際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點(diǎn)的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是廣義積分。一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分   設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+)上連續(xù)，取b>a.如果極限

18、60;                             存在，   則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+）上的廣義積分，              

19、           記作：，                           即：=.   此時(shí)也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時(shí)雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。 &#

20、160; 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，b上連續(xù)，取a<b.如果極限                               存在，   則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-，b上的廣義積分，      

21、                    記作：，                            即：=.   此

22、時(shí)也就是說廣義積分收斂。如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。  如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-,+)上的廣義積分，                          記作：，          &

23、#160;                 即：=  上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。  例題：計(jì)算廣義積分  解答：二：積分區(qū)間有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分   設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b上連續(xù)，而.取>0，如果極限             

24、0;                存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分，                      仍然記作：.