將軍飲馬問題拓展

1、“將軍飲馬問題”的探究與啟示【摘要】利用“將軍飲馬問題”中的軸對稱思想去解決線段和最小的問題，是較多學生解題的“障礙”問題，現(xiàn)通過數(shù)學建模思想把這類問題化歸為“將軍飲馬問題”，利用“兩點之間線段最短”加以證明，同時對數(shù)學教育工作者提出了啟示。【關鍵詞】軸對稱 最小值 問題探究 問題啟示【正文】一、問題再現(xiàn)基本問題：人教版八年級數(shù)學上冊P42有一道探究題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問題”，大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題。課文原題如下：如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 課本給出了如下的作圖及證明方法：&#

2、160;    如圖2，作B關于直線l的對稱點B，連結AB與直線l交于點C，點C就是所求的位置. 證明：如圖3，在直線l上另取任一點C，連結A C，B C， BC，因為直線l是點B，B的對稱軸，點C，C在l上，CB=CB， CB= CB，AC+CB=AC+C B=A B . 在A CB中，A BA C+ CB，AC+CBA C+ CB即AC+CB最小.反思：本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在A B與l的交點上，即A、C 、B三點共線）

3、。本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數(shù)學模型。二、問題探討1、在三角形（或四邊形）中的運用：已知正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一動點。則DN+MN的最小值為多少？分析：要求DN+MN的最小值，聯(lián)想“將軍飲馬問題”，作點M關于AC的對稱點E，且易知點E應該在線段BC上，這樣MN=NE，那么題目就轉化成求DN+NE的最小值了，由于點N在AC上移動且D、N、E可能構成一個三角形，因為“兩點之間線段最短”，所以，當點N移動到DE與AC交點處，即點D、N、E共線時，DN+NE=DE=10，達到最小值。反思：若引導學生把題中的D、M看著

4、是基本問題中的A、B兩點，把AC看著是基本問題中的燃氣管道l，本問題即為基本問題，學生可通過基本問題的聯(lián)想和遷移解決本問題。2、在平面直角坐標系中的運用：（2009年濟南）已知：拋物線的對稱軸為X=1，與軸交于兩點，與軸交于點其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小請求出點P的坐標（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）過點D作交軸于點連接、設的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由。 分析：（本題只對第2問作詳細分析）（1）拋物線的解析式為.（2）連結AC、BC.因為的長度一定，要

5、使周長最小，就是使最小。B點關于對稱軸的對稱點是A點，通過、C(0，-2)可求AC的解析式為AC與對稱軸的交點即為所求的點。（3）當時，反思：本題對第2問的解答是轉化為“求定直線上一動點與直線外兩定點B、C的距離和的最小值”，它的原型就是“將軍飲馬問題”的基本問題，由于和函數(shù)結合一起，增加了命題的想象空間，這里，蘊含了豐富的“數(shù)”與“形”相互轉化的數(shù)學思想。3、在代數(shù)式中的運用：已知a 、b均為正數(shù)，且 a+b=8，求代數(shù)式的最小值。分析：由a 、b均為正數(shù)，且 a+b=8，得 = ，構造合適圖形可將其轉化為求兩條線段和的最小值問題。如圖，取AC=2，BD=4，AB=8，作C關于AB的對稱點C

6、，連接CD交AB于P，連接CP，設PA=a，則PB=8a，CP=，DP=。此時C、P、D三點共線，CD=CP+DP=10為最小值。反思：正是由于a 、b均為正數(shù)，可以把此題構造“將軍飲馬問題”的基本圖形，順利地求出的最小值為13，想法新奇但又順理成章。三、問題推廣1、由“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”推廣到“求兩定直線上各一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”問題：義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊P47第9題，如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請你幫助他確定這一天的最短路線。分析：作A關于MN的對稱

7、點G，B關于直線l的對稱點H，連接GH交MN于I，交直線l于L，連接AI、BL，即可得出答案；反思：根據(jù)對稱點推出AI=GI，BL=HL，HK=BK，AJ=GJ，則四點G、I、L、H在同一直線上（基本問題中三點共線的推廣），根據(jù)兩點之間線段最短即可求出答案。2、從用“三角形周長最短”證明推廣到用“一邊為定值的四邊形周長最短”的證明：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標分析：由于DC、EF的長為定值，如果四邊形CDEF的

8、周長最小，即DE+FC有最小值為此，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，當點E在線段DG上時，四邊形CDEF的周長最小反思：此題主要考查軸對稱最短路線問題（將軍飲馬問題），它是在基本圖形證明線段和（一邊為定值的三角形周長）最短的基礎上增加了平移的線段（GE）和（兩邊為定值的四邊形周長）最短的問題，只要學生充分體會“將軍飲馬”的問題，通過對基本問題知識的類比與遷移，可以解決此問題四、問題啟示基于對“將軍飲馬問題”的探索，筆者認為對數(shù)學教育工作者有兩方面的啟示：1、對習題設計者（試卷命題者）的啟示：對習題的變式題的設計要“從學生發(fā)展的內(nèi)在需要出發(fā)，從教學內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過程的角度出發(fā)”，能融數(shù)學的教與學為一體，重視知識的形成過程，重視知識的“內(nèi)化”；對試題的設計要立足于教材，對例題或基本圖形進行深入的挖掘，以教材的例題或基本圖形為起點，結合學生的生活經(jīng)歷，難度視本題型在試卷所處的位置而定。2、對教師教學的啟示：從本文的解法反思中可以看出，即使是比較復雜的問題，所用到的知識也是簡單的基礎問題，這就要求教師在日常的教學中，特別是單元復習和中考復習時，不僅要從不同角度去分析問題，還原知識的發(fā)生、發(fā)展及形成的過程，教給學生解題的方法，而且要與學生共同探究基本問題與解題的聯(lián)系，使學生能夠說出“