向量三點(diǎn)共線定理與延伸應(yīng)用歸納

1、 向量三點(diǎn)共線定理及其擴(kuò)展應(yīng)用詳解一、平面向量中三點(diǎn)共線定理的擴(kuò)展及其應(yīng)用一、問題的提出及證明。1、向量三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：（O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)），其中。那么、時(shí)分別有什么結(jié)證？并給予證明。結(jié)論擴(kuò)展如下：1、如果O為平面內(nèi)直線BC外任意一點(diǎn)，則 當(dāng)時(shí) A與O點(diǎn)在直線BC同側(cè)，時(shí)， A與O點(diǎn)在直線BC的異側(cè)，證明如下：設(shè) 且 A與B、C不共線，延長OA與直線BC交于A1點(diǎn)設(shè) （0、1）A1與B、C共線則 存在兩個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)m、n 且則 、 CA11（1） 則 則AB A與O點(diǎn)在直線BC的同側(cè)（如圖1）圖1O （2）,則，此時(shí)與反向A11CB A與O在直線BC

2、的同側(cè)（如圖2）AO圖2A11CBA（3），則 此時(shí) A與O在直線BC的異側(cè)（如圖3）O 圖3B A2、如圖4過O作直線平行AB，延長BO、AO、將AB的O側(cè)區(qū)O圖4域劃分為6個(gè)部分，并設(shè),則點(diǎn)P落在各區(qū)域時(shí)，、滿足的條件是：（）區(qū)： （）區(qū)： （）區(qū)： （）區(qū)： （）區(qū)： （）區(qū)：（證明略）二、用擴(kuò)展定理解高考題。 （1）2006年湖南（文）10 如圖5 ，點(diǎn)P在由射線,線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)（、）可以是（ ） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，） 解：根據(jù)向量加法的平等四邊形法則及擴(kuò)展定理，則 ，且，則選C （2）2006年湖南（理）15 如圖5

3、，點(diǎn)P在由射線，線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是 。當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 。 解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及擴(kuò)展定理，則有：MBAOP ，且當(dāng)，有：，即圖5 答案為：，（，）二、向量共線定理的幾個(gè)推論及其應(yīng)用人教版數(shù)學(xué)（必修）第一冊(cè)（下）P115面介紹了一個(gè)定理：向量與非零向量共線有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使=。謂之“向量共線定理”。以它為基礎(chǔ)，可以衍生出一系列的推論，而這些推論在解決一些幾何問題（諸如“三點(diǎn)共線”“三線共點(diǎn)”等）時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。以下通過例題來加以說明。一、定理的推論推論一：向量與向量共線存在不全為0的實(shí)數(shù)，使，這實(shí)質(zhì)是定理的另外一種表述形式。推論

4、二：三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C共線存在一組全不為0的實(shí)數(shù)，使。注意推論（二）與推論（一）的區(qū)別：推論（二）中均不為零向量，而推論（一）中，向量可能含。推論三: 設(shè)O、A、B三點(diǎn)不共線，且，（x，yR），則P、A、B三點(diǎn)共線x+y=1。這實(shí)質(zhì)是直線方程的向量形式。推論四: 設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C共線存在一組全不為0的實(shí)數(shù)使且=0證： 當(dāng)O點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)中任一點(diǎn)重合，則推論（四）即為推論（二）； 當(dāng)O點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)均不重合，則三點(diǎn)A、B、C共線存在s，tR，且s·t0，使得，此時(shí)，s-t，否則，從而B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故有：，即：。顯然s+t+-(s

5、+t)=0令,故得證。推論五： 設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C不共線若存在實(shí)數(shù)，使且則=0。推論五實(shí)質(zhì)是推論四的逆否命題。推論六：點(diǎn)P在ABO的內(nèi)部（不含邊界）存在正實(shí)數(shù)，使得，BN1NP1AM1MOP且。證：如圖，必要性：若點(diǎn)P在ABO的內(nèi)部（不含邊界），則，延長OP交AB于P1，過P作OA、OB的平行線，分別交OA，OB于M，N點(diǎn)，過P1作OA，OB的平行線，分別交OA，OB于M1，N1點(diǎn)，顯然，。其中顯然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事實(shí)上，我們可以將推論三與推論六整合在一起，導(dǎo)出推論七：推論七：已知平面內(nèi)不共線向量，且。分別記過點(diǎn)A且與BC平行的直線為，直線BC

6、，AB，AC分別為.則：P點(diǎn)在直線上；P點(diǎn)在直線不含A點(diǎn)一側(cè)；P點(diǎn)在直線與之間；P點(diǎn)在直線上；P點(diǎn)在直線不含直線一側(cè)；P點(diǎn)在直線不含C點(diǎn)一例；P點(diǎn)在直線含C點(diǎn)一側(cè)；P點(diǎn)在直線不含B點(diǎn)一側(cè)，P點(diǎn)在直線含B點(diǎn)一側(cè)。l3l4l2l1P3AP1BCP2證：設(shè)直線AP與直線BC相交于點(diǎn)，則設(shè)，則故P若在直線BC上，則,又共線，則,故：,則,AB、AC不共線，則.（1）若P在區(qū)域內(nèi)，則0<k<1，即0<，且均為正實(shí)數(shù)，即;（2）若P在區(qū)域內(nèi)，則0<k<1，t>1，則，且;（3）若P在區(qū)域內(nèi)，則k<0，且;（4）若P在區(qū)域內(nèi)，則k<0，且;（5）若P在區(qū)域內(nèi)，

7、則k<0，且;（6）若P在區(qū)域內(nèi)，則0<k<1，則;（7）若P在區(qū)域內(nèi)，則k>1，則，;（8）若P在區(qū)域內(nèi)，則k>1，則，;（9）若P在區(qū)域內(nèi)，則k>1，則，.綜上：當(dāng)P點(diǎn)位于上方，;當(dāng)P點(diǎn)位于下方上方，;當(dāng)P點(diǎn)位于下方;當(dāng)P點(diǎn)位于左邊，右邊，;當(dāng)P點(diǎn)位于左邊，右邊從而得證。注：推論（七）的相關(guān)結(jié)論還可以分得更細(xì)，它對(duì)解決“區(qū)域”問題很有重要的作用。二、應(yīng)用舉例AMBCND例1 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上。BN=，求證：M、N、C三點(diǎn)共線。證：設(shè)，（與不共線），則.N為BD的三等分點(diǎn)，,而,，且m+n=1，且B、M、C三點(diǎn)不

8、共線，則點(diǎn)M、N、C三點(diǎn)共線。BCDEFAPMN例2 設(shè)M，N分別是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE的內(nèi)分點(diǎn)，且，若B、M、N三點(diǎn)共線，求的值。分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隱含在直線方程的向量形式中。解：延長EA，CB交于點(diǎn)P，設(shè)正六邊形的邊長為1,易知ECP為Rt，AE=AP=AC=，PB=2,A是EP之中點(diǎn)，,又，；B、M、N三點(diǎn)共線.由推論（三）知，即為所求例3 （06年江西高考題）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線，（設(shè)直線不過點(diǎn)O），則S200=A100B101C200D201解：易知a1+a200=1,故選A。例4 （06年湖

9、南高考題）如圖OMAB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）可能的取值是ABCDAOMPQB解：由P點(diǎn)所處的區(qū)域，利用推論（七）的結(jié)論我們不難判定中的線性組合系數(shù)對(duì)（x，y）應(yīng)滿足0<x+y<1，且x<0，y>0。從而應(yīng)選C。AQPCBLR例5 （梅涅勞斯定理）若直線l不經(jīng)過ABC的頂點(diǎn)，并且與ABC的三邊BC、CA、AB或它們的延長線分別交于P、Q、R，則=1證：如圖，設(shè)P、Q、R三點(diǎn)分有向線段BC、CA、AB，所成的比分別為，則，又P、Q、R三個(gè)分點(diǎn)中有一個(gè)或三個(gè)外分點(diǎn)，所以，因而只需證明。任取一點(diǎn)O，則由定比分點(diǎn)的向量公式得：,P、Q、R三點(diǎn)共線,由推論4知存在全不為0的實(shí)數(shù)k1，k2，k3使即,且,而A、B、C三點(diǎn)不共線，由推論5得,，原命題得證。例6 （塞瓦定理）若P、Q、R分別是ABC的BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，則，AP、BQ、CR三線共點(diǎn)的充要條件是。BRAMQCP證：必要性：如圖，設(shè)P、Q、R分有向線段BC、CA、AB所成的比分別為，則.在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，令A(yù)P、BQ、CR三線交點(diǎn)為M，則A、M、P三點(diǎn)共線，由推論4知，存在實(shí)數(shù)k1使同理存在實(shí)數(shù)k2，k3使,-得:；-得:.又A、B、C三點(diǎn)不共線，且,及,由推論5得,，即