《精密三角高程》word版

1、三角高程測(cè)量Trigonometric Leveling目錄：1 三角高程測(cè)量原理、基本公式、誤差分析11.1 單向觀測(cè)計(jì)算高差的基本公式11.2 三角高程測(cè)量嚴(yán)密公式31.3 三角高程的精度估計(jì)公式61.3.1 單向觀測(cè)高差的精度估算公式61.3.2 對(duì)向觀測(cè)高差的精度估算公式61.3.3 理論結(jié)論82 垂線(xiàn)偏差與大氣折光相關(guān)研究112.1 垂線(xiàn)偏差112.1.1 天文大地測(cè)量方法122.1.2 重力測(cè)量方法122.1.3 天文重力方法132.1.4 GPS測(cè)量方法132.2 大氣折光系數(shù)的計(jì)算142.2.1 實(shí)測(cè)法142.2.2 反演法152.3 削弱垂直折射的方法172.4 往返觀測(cè)與近

2、似對(duì)向觀測(cè)試驗(yàn)(于雷)191 三角高程測(cè)量原理、基本公式、誤差分析三角高程測(cè)量如下圖所示：圖1.1 三角高程測(cè)量原理若A點(diǎn)的高程已知為，則B點(diǎn)高程為： （1.1）應(yīng)用上式時(shí)要注意豎角的正負(fù)號(hào)，當(dāng)為仰角時(shí)取正，為俯角時(shí)取負(fù)號(hào)。凡儀器設(shè)置在已知高程點(diǎn)，觀測(cè)該點(diǎn)與未知高程點(diǎn)之間的高差稱(chēng)為直覘；反之，儀器設(shè)在未知高程點(diǎn)，測(cè)定該點(diǎn)與已知高程點(diǎn)之間的高差稱(chēng)為反覘。1.1 單向觀測(cè)計(jì)算高差的基本公式在三角高程測(cè)量基本公式1.1中，沒(méi)有考慮地球曲率與大氣折光對(duì)所測(cè)高差的影響。在A、B兩點(diǎn)相距較遠(yuǎn)時(shí)，則必須顧及地球曲率和大氣折光的影響，二者對(duì)高差的影響稱(chēng)之為球氣差。如下圖所示，設(shè)為A、B兩點(diǎn)間的實(shí)測(cè)水平距離，儀

3、器置于A點(diǎn)，儀器高度為。B點(diǎn)為照準(zhǔn)點(diǎn)，覘標(biāo)高度為，R為參考橢球面上的曲率半徑。、分別為過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的大地水準(zhǔn)面。是在點(diǎn)的切線(xiàn)，為光程曲線(xiàn)。當(dāng)位于點(diǎn)的望遠(yuǎn)鏡指向與相切的方向時(shí)，由于大氣折光的影響，由點(diǎn)出射的光線(xiàn)正好落在望遠(yuǎn)鏡的橫絲上。這就是說(shuō)，儀器置于點(diǎn)測(cè)得與間的垂直角為。圖1.2 地球曲率和大氣折光的影響如上圖所示：、兩點(diǎn)間的高差為： （1.2）式中，為儀器高；為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高度；而和為地球曲率和大氣折光的影響：，式中，為光程曲線(xiàn)在點(diǎn)的曲率半徑。設(shè)（大氣垂直折光系數(shù)），則大氣折光為：由于兩點(diǎn)之間的水平距離與曲率半徑之比值很?。ó?dāng)時(shí)，所對(duì)的圓心角僅多一點(diǎn)），故可認(rèn)為近似垂直于，即認(rèn)為，這樣可視為直角

4、三角形。則式1.2中的為：將各項(xiàng)代入公式1.2，則兩地面點(diǎn)的高差為： （1.3）令式中（一般稱(chēng)為球氣差系數(shù)），則單向觀測(cè)計(jì)算高差的基本公式： （1.4）其中，豎直角，儀器高和覘標(biāo)高或棱鏡高均可由外業(yè)觀測(cè)得到。為實(shí)測(cè)的水平距離，一般要?dú)w算為高斯平面上的長(zhǎng)度。光電測(cè)距三角高程測(cè)量可按斜距計(jì)算高差公式為： （1.5）其中，為測(cè)站與棱鏡之間的高差，為豎直角，為經(jīng)氣象改正后的斜距，K為大氣折光系數(shù)，為經(jīng)緯儀水平軸到地面點(diǎn)的高度，為反光鏡瞄準(zhǔn)中心到地面點(diǎn)的高度。由公式1.5可知，三角高程測(cè)量的精度受到邊長(zhǎng)誤差、豎直角觀測(cè)誤差、大氣折光誤差、儀器高和目標(biāo)高的量測(cè)誤差等多個(gè)因素的影響。1.2 三角高程測(cè)量嚴(yán)密

5、公式三角高程測(cè)量求得的高差應(yīng)該是相對(duì)參考橢球面的橢球面高差，即大地高高差，其垂直角是以橢球面的法線(xiàn)為準(zhǔn)。而垂直角的測(cè)量值是以大地水準(zhǔn)面的垂線(xiàn)為準(zhǔn)，在推導(dǎo)三角高程測(cè)量計(jì)算高差的公式時(shí)，并沒(méi)有考慮到垂線(xiàn)偏差對(duì)觀測(cè)垂直角的影響，這就意味著在導(dǎo)出這些公式時(shí)已經(jīng)假設(shè)測(cè)站點(diǎn)的垂線(xiàn)與橢球面的法線(xiàn)重合（即不存在垂線(xiàn)偏差）的假定。實(shí)際上，大地水準(zhǔn)面是一個(gè)不規(guī)則的曲面，相對(duì)于參考橢球面總是有起伏的，不可能互相平行，而且，不管參考橢球的元素和定位如何恰當(dāng)，大地水準(zhǔn)面不可能與參考橢球處處相互吻合，由此可見(jiàn)，地面上一點(diǎn)的垂線(xiàn)與法線(xiàn)一般是不重合而相交成一個(gè)角度，這個(gè)角度就是垂線(xiàn)偏差。大地水準(zhǔn)面與參考橢球面不重合而在垂直方

6、向有一段距離，這段距離就是大地水準(zhǔn)面差距。嚴(yán)格來(lái)講，垂線(xiàn)是一條空間曲線(xiàn)，地面上的兩點(diǎn)的垂線(xiàn)切線(xiàn)是兩條空間異面直線(xiàn)。一般文獻(xiàn)導(dǎo)出的三角高程公式函數(shù)模型達(dá)厘米級(jí)，下面推導(dǎo)嚴(yán)密的三角高程公式。 圖1.3 圖1.4在圖1.3中平面三角形中存在關(guān)系：即： （1.6）利用和差化積公式，將1.6展開(kāi)并略去二次小項(xiàng)得：設(shè)測(cè)站點(diǎn)地面的正常高是，儀器高是；照準(zhǔn)點(diǎn)地面的正常高是，覘標(biāo)高是，顯然有：，。又，代入上式經(jīng)整理可得：（1.7）由圖1.4可知：由大地天頂距Z和觀測(cè)天頂距有以下關(guān)系：則得到：即：代入公式1.7中可得：斜距單向觀測(cè)三角高程計(jì)算正常高高差的公式：（1.8）其反向觀測(cè)公式為：（1.9）取正、反向觀測(cè)的

7、平均值得出雙向觀測(cè)方程：（1.10）公式中，為平均高程面上的平距；可以用橢球近似來(lái)估算項(xiàng)；式中的為地面，點(diǎn)相對(duì)垂線(xiàn)偏差在測(cè)線(xiàn)方向上的分量，是一個(gè)可以用地面測(cè)量值計(jì)算的量。該三角高程測(cè)量函數(shù)模型誤差小于0.5mm，滿(mǎn)足高精度三角高程的應(yīng)用。當(dāng)由它們組成高精度三角高程測(cè)量閉合或附合線(xiàn)路時(shí)，與水準(zhǔn)測(cè)量一樣應(yīng)考慮水準(zhǔn)面不平行改正。由公式1.10可知，若不考慮后三項(xiàng)改正，將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，其中最主要的是兩觀測(cè)點(diǎn)在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的折光差系數(shù)之差異，這種差別與對(duì)向觀測(cè)時(shí)間間隔的長(zhǎng)短，觀測(cè)時(shí)的天氣情況及視線(xiàn)高度有關(guān)。顯然山區(qū)折光差的影響比平原小，但垂線(xiàn)偏差變化大，因此在山區(qū)進(jìn)行高精度三角高程測(cè)量應(yīng)加入相對(duì)垂線(xiàn)偏差改

8、正。1.3 三角高程的精度估計(jì)公式1.3.1 單向觀測(cè)高差的精度估算公式為了估算EDM三角高程測(cè)量的精度，對(duì)公式1.8中的各觀測(cè)量進(jìn)行微分（略去下標(biāo)1、2）得： （1.11）上式中右端第3項(xiàng)很?。ó?dāng)S10km時(shí)，其值0.1mm）可忽略不計(jì)，將微分轉(zhuǎn)換成中誤差，則單向觀測(cè)高差精度公式： （1.12）式中認(rèn)為=1.3.2 對(duì)向觀測(cè)高差的精度估算公式由于對(duì)向觀測(cè)的時(shí)間間隔較短，往返測(cè)的k值有一定的相關(guān)性，因此不能認(rèn)為它們是彼此獨(dú)立的。于是有關(guān)k的項(xiàng)，即項(xiàng)中的宜單獨(dú)作為一個(gè)觀測(cè)量考慮。則由公式1.10可寫(xiě)出往返測(cè)高差的精度估算公式：（1.13）對(duì)向觀測(cè)是三角高程測(cè)量的主要觀測(cè)方案之一，于是針對(duì)這種方案

9、進(jìn)行精度估計(jì)具有代表性。公式1.13右端由下列5項(xiàng)組成：、下面分別對(duì)上述誤差進(jìn)行討論：測(cè)距引起的誤差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般可用測(cè)距儀的標(biāo)定精度來(lái)計(jì)算，即：式中：測(cè)距儀的固定誤差；比例誤差系數(shù)；當(dāng)前測(cè)距儀的精度一般都在5mm+5ppm以上，TCA2003全站儀的測(cè)距精度為1mm+1ppm。測(cè)角引起的誤差，與經(jīng)緯儀的測(cè)角精度有關(guān)。當(dāng)一測(cè)回的測(cè)角中誤差為，則m測(cè)回中數(shù)的中誤差為；目前全站儀的測(cè)角精度一般在2左右，而TCA2003全站儀的測(cè)角精度為0.5。大氣折光引起的誤差，該項(xiàng)誤差比較復(fù)雜，因?yàn)樘祉斁嗟挠^測(cè)時(shí)間在1416時(shí)之間時(shí)，k的值約為0.080.14之間，關(guān)于往返測(cè)k值之差的中誤差。中國(guó)建材工業(yè)

10、地勘中心陜西總隊(duì)的試驗(yàn)結(jié)果在一般山區(qū)為，為了估算，此處取。為垂線(xiàn)偏差誤差。此項(xiàng)誤差與測(cè)站的位置有關(guān)。由文獻(xiàn)?可知，、為測(cè)點(diǎn)上的垂線(xiàn)偏差在子午圈和卯酉圈上的分量，它們可在測(cè)區(qū)的垂線(xiàn)偏差分量圖中內(nèi)插取得；A為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角。則：由于、均為內(nèi)插求得，可認(rèn)為，則：為儀器高或鏡站高的量取誤差，取小鋼尺量高精度1mm2mm的平均值即1.5mm。1.3.3 理論結(jié)論通過(guò)對(duì)各項(xiàng)誤差分析，對(duì)不同情況下測(cè)量精度估計(jì)，如表（1.1）所示，可得出以下結(jié)論：（1）隨著測(cè)量?jī)x器的發(fā)展，距離測(cè)量的精度對(duì)三角高程測(cè)量精度的影響不是主要因素；（2）在距離小于1000m時(shí)，要獲得高精度的三角高程測(cè)量，必須對(duì)測(cè)角的精度

11、進(jìn)行控制，可采用高精度的測(cè)角儀器或通過(guò)增加測(cè)回?cái)?shù)來(lái)提高測(cè)角的精度；距離大于500m時(shí)，除了應(yīng)提高測(cè)角精度外，還應(yīng)該考慮大氣折光的影響；（3）當(dāng)距離超過(guò)1000m時(shí)，隨著距離的增長(zhǎng)，大氣折光的影響急劇增大，當(dāng)距離在5000m時(shí)，精度約為140mm；在上述討論中，大氣折光誤差只是按照文獻(xiàn)中的在1016時(shí)之間時(shí)，k的值約為0.080.14之間，取經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行分析，在實(shí)際誤差可能大于討論中的假設(shè)，因此，如何削弱大氣折光是三角高程測(cè)量主要的研究對(duì)象，必須對(duì)大氣折光的模型進(jìn)行精確改正，或采取其它方法如對(duì)向觀測(cè)等來(lái)削弱大氣折光的影響；（4）在實(shí)際測(cè)量時(shí)，平原地區(qū)垂線(xiàn)偏差分布較為均勻，實(shí)際的精度可能小于上述討論

12、時(shí)的值；但是在高山區(qū)或海區(qū)，由于垂線(xiàn)偏差分布不均勻，實(shí)際的精度可能高于上述的值，有時(shí)還會(huì)遠(yuǎn)高于該值。另外，垂線(xiàn)偏差的影響隨著距離的增加而增大，因此，當(dāng)距離較長(zhǎng)或高山、海洋區(qū)域進(jìn)行三角高程測(cè)量時(shí)，必須考慮垂線(xiàn)偏差的影響。表1.1 各種情況下的精度估計(jì)結(jié)果序號(hào)距離（m）豎直角（）MdMd項(xiàng)MaMa項(xiàng)Mk項(xiàng)M項(xiàng)miMh （mm）120021.20.030.50.340.220.51.51.63250021.50.040.50.861.390.51.52.2731000220.050.51.715.570.51.56.0442000230.070.53.4322.280.51.522.60540002

13、50.120.56.8589.140.51.589.42620051.20.070.50.340.220.51.51.63750051.50.090.50.851.390.51.52.2881000520.120.51.715.570.51.56.0492000530.180.53.4222.280.51.522.60104000550.310.56.8389.140.51.589.4211200101.20.150.50.340.220.51.51.6412500101.50.180.50.841.390.51.52.281310001020.250.51.695.570.51.56.041

14、420001030.370.53.3822.280.51.522.601540001050.610.56.7589.140.51.589.4116200201.20.290.50.320.220.51.51.6517500201.50.360.50.811.390.51.52.281810002020.480.51.615.570.51.56.031920002030.730.53.2222.280.51.522.582040002051.210.56.4489.140.51.589.392150002061.450.58.05139.280.51.5139.53(=1mm+1ppm，=0.5

15、，=0.5，=1.5mm)將測(cè)量機(jī)器人與一般全站儀比較，如圖2.5和圖2.6所示，在測(cè)角精度和測(cè)距精度上精度高，在測(cè)距和測(cè)角誤差方面對(duì)三角高程測(cè)量的影響更小。(=1mm+1ppm，=0.5，=0.5，=1.5mm)圖2.5 測(cè)量機(jī)器人三角高程測(cè)量的誤差項(xiàng)精度估計(jì)Fig. 2.5 The accuracy estimation of error terms of the trigonometric levelingbased on survey robot(=5mm+5ppm，=2，=0.5，=1.5mm)圖2.6 一般全站儀三角高程測(cè)量的誤差項(xiàng)精度估計(jì)Fig. 2.6 The accuracy

16、 estimation of error terms of the trigonometric levelingbased on general total station現(xiàn)將單項(xiàng)因素引起的誤差代入（2.18）式，計(jì)算出不同距離下的高差中誤差，繪于圖2.7，可以直觀地看出高差中誤差隨距離增大時(shí)的變化趨勢(shì)。在該圖中加入等級(jí)水準(zhǔn)的限差曲線(xiàn)后，可以方便地用于三角高程的技術(shù)設(shè)計(jì)。圖2.7 三角高程測(cè)量精度與等級(jí)水準(zhǔn)比較Fig. 2.7 The difference between accuracy estimation of the trigonometric levelingand classifi

17、ed leveling2 垂線(xiàn)偏差與大氣折光相關(guān)研究2.1 垂線(xiàn)偏差在地面一點(diǎn)的鉛垂線(xiàn)方向和相應(yīng)的橢球面的法線(xiàn)之間的夾角，稱(chēng)作該點(diǎn)的垂線(xiàn)偏差。垂線(xiàn)偏差的研究是大地測(cè)量中的一項(xiàng)重要工作。垂線(xiàn)偏差的大小一般在35之間，最大的可以達(dá)到2030。所以，它的影響是很大的，不可忽視。根據(jù)所采用橢球不同可分為絕對(duì)垂線(xiàn)偏差和相對(duì)垂線(xiàn)偏差，垂線(xiàn)同總地球橢球（或參考橢球）法線(xiàn)構(gòu)成的角度稱(chēng)為絕對(duì)（或相對(duì)）垂線(xiàn)偏差，它們統(tǒng)稱(chēng)為天文大地垂線(xiàn)偏差。此外，把實(shí)際重力場(chǎng)中的重力向量g同正常重力場(chǎng)中的正常重力向量之間的夾角稱(chēng)為重力垂線(xiàn)偏差。在精度要求不高時(shí)，可把天文大地垂線(xiàn)偏差看作是重力垂線(xiàn)偏差。通常把垂線(xiàn)偏差分解為兩個(gè)互相垂

18、直的分量即在子午面和卯酉面的兩個(gè)分量和。圖2.1 垂線(xiàn)偏差假設(shè)以P點(diǎn)為中心作一單位球，則就是天文天頂Z與大地天頂Z之間的球面距。按大地測(cè)量學(xué)的習(xí)慣，若Z在Z之北，則為正；若Z在Z之東，則為正。記大地坐標(biāo)(,)，天文坐標(biāo)(，)，球面關(guān)系式有： （2.1）由于和是很小的量，故有 （2.2） （2.3） （2.4）式中為垂線(xiàn)偏差的大地方位角。一個(gè)地面點(diǎn)的垂線(xiàn)偏差不同是由諸多因素引起的：它們的變化一般來(lái)說(shuō)是平穩(wěn)的，在大范圍內(nèi)具有系統(tǒng)性質(zhì)，垂線(xiàn)偏差這種總體上的變化主要是由大地水準(zhǔn)面的長(zhǎng)波和所采用的地球橢球參數(shù)等原因所致。除此之外，垂線(xiàn)偏差在某些局部還具有突變的性質(zhì)，并且幅度很大，這主要是由于地球內(nèi)部質(zhì)量

19、密度分布的局部變化，高山、海溝及其它不同地貌等因素引起的。垂線(xiàn)偏差的測(cè)定方法一般有四種：天文大地測(cè)量方法、重力測(cè)量方法、天文重力測(cè)量方法和GPS測(cè)量方法。重力測(cè)量方法和天文重力測(cè)量方法都需要全球或一定區(qū)域的重力異常數(shù)據(jù)積分獲得所需參量，因此屬于間接方法；天文大地測(cè)量方法和GPS方法可以對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單計(jì)算獲得垂線(xiàn)偏差，可稱(chēng)為直接方法。2.1.1 天文大地測(cè)量方法天文大地測(cè)量方法是在天文大地點(diǎn)上，即進(jìn)行大地測(cè)量取得大地坐標(biāo)(,)，又進(jìn)行天文測(cè)量取得天文坐標(biāo)(，)，然后按公式（2.2）計(jì)算得到該點(diǎn)的垂線(xiàn)偏差。用此種方法垂線(xiàn)偏差可以得到1的精度，但是對(duì)幅員廣大的國(guó)家和地區(qū)來(lái)說(shuō)，用這種方法求定較密點(diǎn)的

20、垂線(xiàn)偏差顯然是有困難的，而且工作量比較大，還要考慮大氣折光差。2.1.2 重力測(cè)量方法重力測(cè)量方法是利用大地水準(zhǔn)面上的重力異常求出大地水準(zhǔn)面垂線(xiàn)偏差。假如已知全球范圍的重力異常，就可按斯托克司方法求得大地水準(zhǔn)面上的垂線(xiàn)偏差。1928年，維寧曼乃茲(Vening Meinesz)導(dǎo)出了大地水準(zhǔn)面垂線(xiàn)偏差的計(jì)算公式： （2.5）式中： 大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的重力異常 地球的平均正常重力此公式是在假定大地水準(zhǔn)面之外沒(méi)有擾動(dòng)物質(zhì)及全球重力異常都已知的情況下推導(dǎo)的。但是這兩個(gè)條件都還不能實(shí)現(xiàn)，所以重力方法沒(méi)有得到獨(dú)立的應(yīng)用。2.1.3 天文重力方法天文重力方法的基本思想是綜合利用天文大地方法和重力測(cè)量方法來(lái)確

21、定垂線(xiàn)偏差：首先要建立點(diǎn)距150*200km的天文大地點(diǎn)，在這些點(diǎn)上用天文大地測(cè)量方法算得各自的垂線(xiàn)偏差；在計(jì)算點(diǎn)周?chē)姆秶鷥?nèi)進(jìn)行較密的重力測(cè)量，由于引力隨著距離的平方而減少，所以異常質(zhì)量對(duì)垂線(xiàn)偏差的影響隨著與計(jì)算點(diǎn)距離的增加而較少，并且呈現(xiàn)平穩(wěn)的特性。因此，在更大的區(qū)域內(nèi)只需少數(shù)的重力測(cè)量即可。對(duì)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，其中包括天文大地點(diǎn)，都計(jì)算相應(yīng)于帶有異常質(zhì)量和影響的重力垂線(xiàn)偏差及。然后，通過(guò)天文大地點(diǎn)上的天文大地垂線(xiàn)偏差同重力垂線(xiàn)偏差的比較，就可得出關(guān)于內(nèi)插區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的垂線(xiàn)偏差的數(shù)據(jù)資料，從而實(shí)現(xiàn)內(nèi)插確定垂線(xiàn)偏差的目的。2.1.4 GPS水準(zhǔn)法假設(shè)GPS測(cè)量的基線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)A、B有垂線(xiàn)偏差、，它們?cè)诨?/p>

22、線(xiàn)方向的分量分別為、，計(jì)算公式為： （2.6）當(dāng)基線(xiàn)不長(zhǎng)，且平坦地區(qū)時(shí)，垂線(xiàn)偏差可認(rèn)為呈線(xiàn)性變化，于是基線(xiàn)兩端點(diǎn)A、B的似大地水準(zhǔn)面之差為： （2.7）式中D為基線(xiàn)長(zhǎng)。若設(shè)，則由上式可得到： （2.8）于是可以得到。對(duì)于多條基線(xiàn)而言，則有式（=1,2,n） （2.9）從而可用最小二乘法求出垂線(xiàn)偏差和。因此在GPS測(cè)量中，只要測(cè)出基線(xiàn)長(zhǎng)D、大地方位角A及高程異常差，便可按上述方法求得垂線(xiàn)偏差。GPS定位不受天氣陰雨的影響，精密水準(zhǔn)測(cè)量受天氣的影響程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于天文經(jīng)緯度法測(cè)定，所以，采用GPS結(jié)合精密水準(zhǔn)測(cè)量能有效地改善垂線(xiàn)偏差的效率。2.2 大氣折光系數(shù)的計(jì)算客觀存在的大氣折光現(xiàn)象使EDM測(cè)量三

23、角高程的精度受到嚴(yán)重制約。由于大氣折光現(xiàn)象本身很復(fù)雜，加上對(duì)于折光規(guī)律及其重要性的認(rèn)識(shí)還不夠深入。在實(shí)際作業(yè)中，往往不能正確有效地削減大氣折光的影響，因此EDM測(cè)量三角高程一般只能用來(lái)替代四等水準(zhǔn)，加之其他條件限制，其優(yōu)越性遠(yuǎn)未得到充分的發(fā)揮。當(dāng)前，求算折光系數(shù)K的方法有實(shí)測(cè)法和反演法等。2.2.1 實(shí)測(cè)法實(shí)測(cè)法是利用大氣物理原理，通過(guò)測(cè)量多個(gè)氣象元素求出氣溫梯度，在結(jié)合視線(xiàn)的高度變化情況按相應(yīng)公式進(jìn)行積分運(yùn)算求折光系數(shù)K。以a為測(cè)站時(shí)，測(cè)線(xiàn)ab的折光系數(shù)的計(jì)算公式為： （2.10）式中，P、T是測(cè)站與鏡站氣壓、溫度觀測(cè)值的平均值，分別以hpa和為單位；氣溫梯度dT/dh以/m為單位；S為a、

24、b兩點(diǎn)間的平距；為測(cè)線(xiàn)上某點(diǎn)至測(cè)站a的距離。以b為測(cè)站時(shí)，測(cè)線(xiàn)ba的折光系數(shù)的計(jì)算公式為： （2.11）式中各符號(hào)的意義同前，仍為測(cè)線(xiàn)上某點(diǎn)至測(cè)站a的距離。實(shí)測(cè)法的操作過(guò)程如下：首先選擇一種近地大氣層的“T-h”函數(shù)（可選形式有冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等），對(duì)其求導(dǎo)后得到氣溫梯度dT/dh的表達(dá)式（離地面高度h的函數(shù)）；根據(jù)測(cè)站和鏡站的上、下溫差觀測(cè)值計(jì)算溫度梯度函數(shù)中的系數(shù)，再結(jié)合實(shí)際的地形情況求出h與x的關(guān)系式；最后將與表到成x的函數(shù)的氣溫梯度dT/dh代入式（2.10）和式（2.11）積分，即可求得相應(yīng)的K值。實(shí)測(cè)法科學(xué)可靠，但須測(cè)定上、下溫度差，操作較復(fù)雜。2.2.2 反演法反演法是

25、直接利用EDM測(cè)高的觀測(cè)結(jié)果反求K值，具體方法包括對(duì)向觀測(cè)高差反演法、已知精密高差反演法等。對(duì)向觀測(cè)高差反演法設(shè)在a、b兩點(diǎn)之間進(jìn)行對(duì)向三角高程測(cè)量，往返測(cè)高差觀測(cè)值分別為、，平距為S，往、返觀測(cè)時(shí)的折光系數(shù)分別為、。若不考慮垂線(xiàn)偏差和其它觀測(cè)誤差的影響，則有 (2.12)式中，R為a、b兩點(diǎn)間的地球平均曲率半徑。令，則由式（2.12）可得 (2.13)可以看出，只有當(dāng)時(shí)，式（2.14）求出的才是反映實(shí)際大氣折光效應(yīng)的折光系數(shù)；時(shí)，計(jì)算結(jié)果即為往返測(cè)折光系數(shù)的平均值。該平均值既不代表往測(cè)，也不能代表返測(cè)時(shí)的折光系數(shù)，尤其是在的特殊情況下，其計(jì)算值與實(shí)際的折光情況相差很遠(yuǎn)，根本沒(méi)有實(shí)際意義。由于

26、測(cè)線(xiàn)下方地形相對(duì)于中點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)、往返觀測(cè)不同時(shí)等原因，與往往不相等，因此，該法所求值并不是真正意義上的折光系數(shù)。有些根據(jù)歷史觀測(cè)資料按該法求得本地區(qū)折光系數(shù)的平均值，并將其用作該地區(qū)今后作業(yè)時(shí)進(jìn)行折光改正的依據(jù)，這種做法顯然是錯(cuò)誤的。 該法僅適合于兩端點(diǎn)之間地表材料或植被基本均一、地形基本對(duì)稱(chēng)且距離適中的對(duì)向E三角高程測(cè)量，并且要求觀測(cè)基本同時(shí)。比如在平坦筆自的柏油路面上，或在形狀、高程大致相同的兩山頭之間所進(jìn)行的三角高程等。即使符合這些條件，按該法求得的折光系數(shù)值也具有驗(yàn)后的性質(zhì)，亦即并不用于修正與之對(duì)應(yīng)的測(cè)量結(jié)果(按往返折光系數(shù)平均值進(jìn)行改正與直接取往返高差平均值的效果完全相同)，只能作為對(duì)

27、類(lèi)似情形的折光分析或研究之用。已知精密高差反演法若a、b兩點(diǎn)之間的高差已由二等以上精密水準(zhǔn)測(cè)量獲得，在其間再進(jìn)行單向三角高程測(cè)量，將觀測(cè)結(jié)果與已知精密高差進(jìn)行比較?？汕蟪鱿鄳?yīng)的大氣折光系數(shù)。設(shè)已知精密高差為，單向三角高程所得高差觀測(cè)值為，與之對(duì)應(yīng)的折光系數(shù)為。忽略垂線(xiàn)偏差及其它觀測(cè)誤差的影響時(shí)，有 (2.15)與對(duì)向觀測(cè)高差反演方法一樣，該法求出的K值也不直接用于所測(cè)邊的折光改正。但是，該法求得的是與在所測(cè)邊上進(jìn)行單向三角高程測(cè)量時(shí)的實(shí)際折光效應(yīng)相符合的折光系數(shù)，具有明確的含義和較高的研究參考價(jià)值。由此可見(jiàn)，反演法操作簡(jiǎn)單，但是所求的K值無(wú)實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，只可用做分析研究和參考。2.3 削弱垂直

28、折射的方法在三角高程測(cè)量中，由于邊長(zhǎng)和視線(xiàn)的影響，使測(cè)距和觀測(cè)豎直角的大氣物理環(huán)境比較復(fù)雜，豎直折射對(duì)豎直角觀測(cè)值的影響有較大的隨機(jī)性起伏，是不容忽視的。由于三角高程測(cè)量中各測(cè)邊的觀測(cè)條件的差異甚大。難以利用數(shù)據(jù)處理方法建立大氣折光模型用來(lái)計(jì)算折射改正。實(shí)踐證明，對(duì)于某測(cè)區(qū)采用某個(gè)大氣折光系數(shù)k值計(jì)算大氣折射改正并進(jìn)行往、返觀測(cè)高差不符值的檢驗(yàn)，在大多數(shù)情況下是不切實(shí)際的，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的。為了削弱垂直折射的影響，同時(shí)對(duì)向觀測(cè)法是一種較好的方法。下面介紹一下能有效削弱垂直折射的方法雙向雙測(cè)回觀測(cè)方法。可得以下三角高程測(cè)量單向觀測(cè)計(jì)算公式（2.15）上式的函數(shù)模型誤差對(duì)于2km的邊長(zhǎng)將小于0.5

29、mm，其中D為觀測(cè)斜距，Z為觀測(cè)的天頂距，i為儀器高，v為站標(biāo)高，K為測(cè)站點(diǎn)垂直折光系數(shù)，R為平均曲率半徑，為照準(zhǔn)點(diǎn)緯度，l為平均高程面上的平距，為i點(diǎn)的垂線(xiàn)偏差在照準(zhǔn)方向的分量，為儀器殘余系統(tǒng)誤差對(duì)高差測(cè)量的影響。公式右邊前3項(xiàng)由觀測(cè)量構(gòu)成，用表示，其測(cè)量誤差對(duì)高差的影響屬于偶然誤差，可用誤差傳播率分析，其他各項(xiàng)為系統(tǒng)誤差，要在觀測(cè)過(guò)程中制定出相應(yīng)的觀測(cè)程序加以減弱和消除。公式2.15中的項(xiàng)是垂直折光差和地球曲率對(duì)高差的影響，其中垂直折光差的影響是一個(gè)和觀測(cè)時(shí)的氣象條件、視線(xiàn)高度、視線(xiàn)經(jīng)過(guò)的地表植被覆蓋有關(guān)的極其復(fù)雜的量。垂直折光差對(duì)天頂距觀測(cè)的影響在最好的情況下為12，近地面處K值在-1+

30、1之間變化；是相對(duì)垂線(xiàn)偏差分量對(duì)高差的影響，在平原地區(qū)影響較小，在山區(qū)每公里變化約0.20.35；是兩點(diǎn)垂線(xiàn)不共面對(duì)高差的影響，可以用橢球近似加以估算，稱(chēng)之為橢球項(xiàng)影響；是儀器殘余系統(tǒng)誤差對(duì)高差測(cè)量的影響，不同的儀器其值不同。雙向觀測(cè)方程 （2.16）上式中，是反向觀測(cè)所用儀器的儀器殘余系統(tǒng)誤差。如果雙向觀測(cè)用不同的儀器，項(xiàng)影響可達(dá)厘米，而且呈系統(tǒng)性；如果采用相同的儀器，此項(xiàng)的影響呈偶然性，可在多個(gè)測(cè)回均值中消除。雙向觀測(cè)的折光差影響由兩點(diǎn)在觀測(cè)期間的折光差系數(shù)之差K-K確定，是雙向觀測(cè)的主要系統(tǒng)誤差來(lái)源?？s小對(duì)向觀測(cè)時(shí)間可以減弱這項(xiàng)誤差的影響，若采用兩臺(tái)儀器同時(shí)對(duì)向觀測(cè)，此項(xiàng)影響降至0.35

31、mm/km，而且呈偶然性，取多個(gè)測(cè)回的均值將消除此項(xiàng)誤差影響。相對(duì)垂線(xiàn)偏差項(xiàng)影響與單項(xiàng)觀測(cè)相同，平原地區(qū)2km邊長(zhǎng)約0.5mm，山區(qū)約8mm；在雙向觀測(cè)中，橢球項(xiàng)影響變?yōu)?，用橢圓近似估計(jì)，1km邊長(zhǎng)最大不超過(guò)0.02mm，可以忽略不計(jì)。為了既消除折光差的系統(tǒng)性影響，又消除因同時(shí)對(duì)向觀測(cè)要采用不同儀器而產(chǎn)生的儀器殘余系統(tǒng)差的影響，可采用由兩個(gè)雙向觀測(cè)組成的雙測(cè)回觀測(cè)程序。用兩臺(tái)儀器在兩岸同時(shí)對(duì)向觀測(cè)，組成一個(gè)雙向觀測(cè)單測(cè)回，然后兩臺(tái)儀器調(diào)換并同時(shí)對(duì)向觀測(cè)，組成另一個(gè)雙向觀測(cè)單測(cè)回。由這樣的兩個(gè)單測(cè)回組成一個(gè)雙向觀測(cè)雙測(cè)回，在雙向觀測(cè)的高差均值中將不包含顯著的系統(tǒng)誤差影響。以下導(dǎo)出雙測(cè)回方程： （

32、2.17）上式為調(diào)換儀器前的對(duì)向觀測(cè)高差，是除了折光差項(xiàng)和儀器誤差項(xiàng)外公式（2.15）右邊其余各項(xiàng)；同樣，為調(diào)換儀器后的對(duì)向觀測(cè)高差。將（2.17）式取均值得： （2.18）現(xiàn)有研究成果表明： ，屬于偶然誤差性質(zhì)；，在同時(shí)對(duì)向觀測(cè)的條件下2主要由氣象因素引起，同樣屬于偶然誤差性質(zhì)，于是上式可以寫(xiě)成： （2.19）由上式可知，一個(gè)雙測(cè)回高差均值，如果設(shè)儀器的系統(tǒng)誤差在觀測(cè)過(guò)程中基本保持不變，在雙測(cè)回的平均值中將被消除，剩下殘余的偶然誤差；如果一個(gè)單測(cè)回折光差系數(shù)之差變化不大的話(huà)，折光差的影響在雙測(cè)回和單測(cè)回差別不大，也剩下殘余的偶然誤差。因此，取多個(gè)雙測(cè)回觀測(cè)值的均值，可獲得高精度的高差值。2.

33、4 往返觀測(cè)與近似對(duì)向觀測(cè)試驗(yàn)(于雷)在三角高程測(cè)量中，對(duì)向觀測(cè)和往返觀測(cè)方法都能消除部分三角高程測(cè)量誤差影響，為了對(duì)兩種方法進(jìn)行比較，用TCA2003全站儀做了三角高程測(cè)量測(cè)試，采用往返測(cè)時(shí)間小于30min的觀測(cè)作為近似對(duì)向觀測(cè)，同時(shí)進(jìn)行往返測(cè)時(shí)間多于30min的往返觀測(cè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)約為600米，測(cè)試場(chǎng)地如下圖：圖2.2 試驗(yàn)場(chǎng)地示意圖布設(shè)M0、M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7為觀測(cè)點(diǎn)（見(jiàn)圖6.11），前期進(jìn)行GPS-RTK測(cè)量，平面點(diǎn)位精度在2cm以?xún)?nèi)，高程在5cm以?xún)?nèi)，獲得各觀測(cè)點(diǎn)的概略坐標(biāo)數(shù)據(jù)，作為測(cè)量機(jī)器人學(xué)習(xí)的初始點(diǎn)位。表2.1 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的GPS坐標(biāo)結(jié)果點(diǎn)名X坐標(biāo)(m)Y坐標(biāo)(m)H高程(m)M03985439.358510618.18631.867M13985472.834510712.2530.948M23985491.503510810.07630.042M33985514.896510906.99629.300M43985535.706511004.81229.446M53985556.661511102.17429.572M63985577.131511199.78329.129M73985598.314511298.32128.113初始定位時(shí)計(jì)算的初始水平