第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)典型例題整理后

1、第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)經(jīng)典例題導(dǎo)講例1設(shè)Ma，b，c，N2,0,2,求（1）從M到N的映射種數(shù)；（2）從M到N的映射滿足 (a)>(b)f(c),試確定這樣的映射的種數(shù).解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，結(jié)合映射的概念，有一共有27個(gè)映射（2）符合條件的映射共有4個(gè)例2已知函數(shù)的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)的定義域解：由于函數(shù)的定義域?yàn)?，1，即滿足，的定義域是1，0例3已知：，求.解： ，7-52 例4求函數(shù)，的值域.解：配方，得，對(duì)稱軸是當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為2，的值域是 例5根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：（1）已知是二次函數(shù)，若，求.（2）已知，求（3）若滿足求解：（1）本題

2、知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解設(shè)由于得，又由，即因此：(2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問(wèn)題，可采用換元法求解設(shè)（）（3）由于為抽象函數(shù)，可以用消參法求解用代可得：與聯(lián)列可消去得：.點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法.例6 已知，試求的最大值.分析：要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值.解 由 得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為點(diǎn)評(píng)：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下：由 得 當(dāng)時(shí)，取最大值，最

3、大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題.例7設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，求的表達(dá)式.解法一：由，設(shè)，得，所以解法二：令，得即又將用代換到上式中得§2.2函數(shù)的性質(zhì)經(jīng)典例題導(dǎo)講例1判斷函數(shù)的單調(diào)性.解：令，則該函數(shù)在R上是減函數(shù)，又在R上是減函數(shù)，是增函數(shù)例2判斷函數(shù)的奇偶性.解：有意義時(shí)必須滿足即函數(shù)的定義域是，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例

4、3 判斷的奇偶性.解：方法一：是奇函數(shù)方法二：是奇函數(shù)例4函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間是_.解：y=的定義域是，又在區(qū)間上增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，所以y=的增區(qū)間是例5 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)<0,求x的取值范圍.解：由,故0<x<,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)<f(x23)=f(3x2),又f(x)在(3，3)上是減函數(shù)，x3>3x2,即x2+x6>0,解得x>2或x<3,綜上得2<x<,即A=x|2<x<,例6 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2

5、).分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形.在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.解：(1)當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見(jiàn)圖)(2)當(dāng)x1時(shí)，lgx0，y=10lgx=x；當(dāng)0x1時(shí)，lgx0，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見(jiàn)圖)點(diǎn)評(píng)：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過(guò)程是否等價(jià)，要特別注意x，y的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)

6、、對(duì)數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像.例7若f(x)= 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求a的取值范圍解：設(shè) 由f(x)=在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得 a 例8 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0&

7、lt;x1<x2<1,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1).f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(1，1)上為減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力§2.3基本初等函數(shù)經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知

8、求解：例2分析方程（）的兩個(gè)根都大于1的充要條件.解：充要條件是例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令，則為增函數(shù)，當(dāng)t6,即x1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)t6,即x1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為例4已知在0，1上是的減函數(shù)，則的取值范圍是解：是由，復(fù)合而成，又0在0，1上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，1又由于 在0，1上時(shí) 有意義，又是減函數(shù)，1時(shí)，取最小值是0即可，2綜上可知所求的取值范圍是12例5已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

9、.解：（1）由假設(shè)，0，對(duì)一切恒成立，顯然，函數(shù)g(x)= 在0，2上為減函數(shù)，從而g(2)0得到的取值范圍是（0，1）（1，）(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，由題設(shè)知，即1此時(shí)當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在. 例6已知函數(shù)f(x)=, 其中為常數(shù)，若當(dāng)x(, 1時(shí), f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：>0, 且a2a+1=(a)2+>0, 1+2x+4x·a>0, a>,當(dāng)x(, 1時(shí), y=與y=都是減函數(shù)， y=在(, 1上是增函數(shù)，max=, a>, 故a的取值范圍是(, +).例7若，試求的取值范圍.解：冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)和的正、負(fù)

10、情況，有以下關(guān)系解三個(gè)不等式組：得，無(wú)解，1的取值范圍是（，1）（，）點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.例8 已知a>0 且a1 ,f (log a x ) = (x ) (1)求f(x)； (2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (3)對(duì)于f(x) ,當(dāng)x (1 , 1)時(shí) , 有f( 1m ) +f (1 m2 ) < 0 ,求m的集合M .解：(1)令t=logax(tR)，則f(x)在R上都是增函數(shù).§2.4函數(shù)與方程經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知函數(shù)若時(shí)，0恒成立，求的取值范圍.解：設(shè)的最小值為（1）當(dāng)即4時(shí)，730

11、，得故此時(shí)不存在；(2) 當(dāng)即44時(shí)，30，得62又44，故42；（3）即4時(shí)，70，得7，又4故74綜上，得72例2已知有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍.解：設(shè)，（1）當(dāng)0時(shí)方程的根為1，不滿足條件.（2）當(dāng)0有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)又10有兩種可能情形得2或者得不存在綜上所得，2例3已知一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像如圖，其中的交點(diǎn)與軸、軸的交點(diǎn)分別為A（2，0），B（0，2）；與二次函數(shù)的交點(diǎn)為P、Q，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比為14.（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.（2）解方程：解：（1）拋物線方程為（2）方法一：由（1）得方程即為解得12，21.方法二：方程的根即為二次函數(shù)與一次函

12、數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由（1）知它們交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（1， 1），Q（2， 4），方程的解為12，21.例4是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程2+（2k3）（3k1）0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在0與2之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒(méi)有，試說(shuō)明理由.解：令那么由條件得到即即此不等式無(wú)解即不存在滿足條件的k值.例5已知二次函數(shù)對(duì)于1、2R，且12時(shí)，求證：方程有不等實(shí)根，且必有一根屬于區(qū)間（1，2）.解：設(shè)F（），則方程與方程F（）0等價(jià)F（1）F（2）F（1）·F（2），又F（1）·F（2）0故方程必有一根在區(qū)間（1，2）內(nèi).由于拋物線yF（）在軸上、下方均有分布，所

13、以此拋物線與軸相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，從而方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且必有一根屬于區(qū)間（1，2）. 例6設(shè)二次函數(shù)方程的兩個(gè)根，滿足0.（1）當(dāng)時(shí)，證明；（2）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.證明：（1）依題意，設(shè)當(dāng)時(shí)，由于，又>0即0.綜合得（2）依題意知，又 例7 已知函數(shù)，且方程有實(shí)根. (1)求證：-3<c-1,b0. (2)若m是方程的一個(gè)實(shí)根，判斷的正負(fù)并加以證明分析：（1）題中條件涉及不等關(guān)系的有和方程有實(shí)根.及一個(gè)等式，通過(guò)適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷的符號(hào)，因而只要研究出值的范圍即可定出符號(hào).(1)證明：由，得1+2b+c=

14、0,解得，又，1解得，又由于方程有實(shí)根，即有實(shí)根，故即解得或，由，得0.（2）=，c<m<1（如圖）c4<m4<3<c.的符號(hào)為正.§2.5函數(shù)的綜合運(yùn)用經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 不等式 解 例2將進(jìn)價(jià)為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售0件，若每件售價(jià)漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn).解：設(shè)每件售價(jià)提高x元，利潤(rùn)為y元，則y=故當(dāng)，即定價(jià)為14元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)為720元.例3某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長(zhǎng)率都是m，則這兩年內(nèi)第二年三月份的產(chǎn)值比第一年三月份的產(chǎn)值的增長(zhǎng)率是多少

15、？解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為a，則第四個(gè)月的產(chǎn)值為a(1+m)，五月份的產(chǎn)值為a(1+m)2，從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第12個(gè)月，故第二年的三月份的產(chǎn)值是a(1+m)12，又由增長(zhǎng)率的概念知，這兩年的第二年的三月份的產(chǎn)值比第一年的三月份的產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為例4在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門(mén)規(guī)定，在此路段內(nèi)的車(chē)速v（單位：km/h）的平方和車(chē)身長(zhǎng)（單位：m）的乘積與車(chē)距d成正比，且最小車(chē)距不得少于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng).假定車(chē)身長(zhǎng)均為（單位：m）且當(dāng)車(chē)速為50（km/h）時(shí)，車(chē)距恰為車(chē)身長(zhǎng)，問(wèn)交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速，才能使在此路段的車(chē)流量Q最大？(車(chē)流量=)

16、解：（1）依題意，則顯然當(dāng)時(shí)，Q是關(guān)于的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Q=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，車(chē)流量Q取得最大值.例5 定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，.（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確定的取值范圍.（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù).解：（1）在中，令.得：.因?yàn)椋裕?（2）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè).在已知條件中，若取，則已知條件可化為：.由于，所以.為比較的大小，只需考慮的正負(fù)即可.在中，令，則得. 時(shí)， 當(dāng)時(shí)，.又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有. . 函數(shù)在R上單調(diào)遞減.（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不

17、等式轉(zhuǎn)化為不含的式子.，即.由，所以，直線與圓面無(wú)公共點(diǎn).所以，.解得 .（4）如.例6設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)此時(shí)，為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）（i）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為.若，則函數(shù)在上的最小值為，且.（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)若，則函數(shù)在上的最小值為，且若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.例7某公司為幫助尚有26.8萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的殘疾人商店，借出20萬(wàn)元將該商店改建成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣(mài)店，并約定用該

18、店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息).已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月130元.（1）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？分析：本題題目的篇幅較長(zhǎng)，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?，弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問(wèn)題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤(rùn)”相關(guān).從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對(duì)題目的整體理解，明