大學醫(yī)用高等數(shù)學習題2

1、1習習 題題 二二第二章：一元函數(shù)微分學第二章：一元函數(shù)微分學23. 設設 f(x) 在在 x=x0 點處可導點處可導, 試計算下列極限試計算下列極限.00000020(2)( )(2)( )(1)limlim 22 ( )2xxf xxf xf xxf xf xxx 00000020( )()()( )(2)limlim( )xxf xf xxf xxf xf xxx 000001()()1(3)lim ()()lim()1nnf xf xnn f xf xfxnn3000000000000000()()(4)lim()()()()lim()()()()limlim()()ttttf xtf

2、 xthf xtf xf xtf xtf xtf xf xtf xttfx45 5. . 討論下列函數(shù)在點是否可導討論下列函數(shù)在點是否可導? ?f(x)在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù). 由導數(shù)定義有由導數(shù)定義有:321sin0(1) ( )00 xxf xxx0321200(0)(0)(0)lim1sin01limlimsin0 xxxfxffxxxxxx 因此函數(shù)因此函數(shù) f(x) 在在 x=0 點處可導點處可導.5f(x) 在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù), 由導數(shù)定義有由導數(shù)定義有:10(2)( )100 xxxf xex因此因此 f(x) 在在 x=0 處不可導處不可導.1100011000(0

3、)(0)11limlimlim111lim1,lim011xxxxxxxxxxfxfexxeee 而66. 確定確定 a, b 的值的值, 使使 在在 x=1點處可導點處可導.解解: f(x) 在在 x=1 處連續(xù)處連續(xù), 因此有因此有 a+b=1 x=1 處左導數(shù)處左導數(shù): 2x x=1=2 右導數(shù)右導數(shù): a因此有因此有 a=2, b=-121( )1xxf xaxbx11lim( )1,lim( )xxf xf xab7*7. 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在在 x0 點可導點可導, 且且 f(x0)0, 試計算極限試計算極限001()lim()nnf xnf x00001ln() ln()0

4、001001()1ln lim limln() ln()()()limln()()nnnfxfxnnnfxnnfxfxfxnfxfxfxeeeee88. 設曲線設曲線 y=2x-x3(1) 求求 (1, 1) 點處的切線方程及法線方程點處的切線方程及法線方程;(2) (x0, y0) 點處的切線通過點處的切線通過 (0, -2) 點點, 求求 (x0, y0) 點及該點處的切線方程、法線方程點及該點處的切線方程、法線方程.(1) y=2-3x3 y |x=1=2-3=-1 切線方程切線方程: y-1= - (x-1) x+y-2=0 法線方程法線方程: y-1= x-1 x-y=098.8.(

5、 (2)2)解解: 過過 (x0, y0) 的切線方程的切線方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0)因因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0)過過 (0,-2), x=0, y=-2 代入代入: -2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1切線方程切線方程: y+1=-x-1 即即 x+y+2=0法線方程法線方程: y+1=x+1 即即 y=x1012.(5)12.(5)求導數(shù)求導數(shù)yxxx11()()222111(1)2224218xxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1113.

6、 (1) y=xlnx (5) y = x2x+(2x)x y =e2xlnx+exln(2x) =e2xlnx(2xlnx) +exln(2x)xln(2x) = 2x2x(lnx+1)+(2x)xln(2x)+1y =elnxlnx =elnxlnx2lnx1/x=xlnx2lnx/x(8)( sin ) 1xyxxe11sin1-cot22(1)xxxeyxxexxe ln y=1/2ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)1214.14.求由下列方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)求由下列方程確定的隱函數(shù)的導數(shù). .(1) y=1+xey y =ey+xeyy (1+xey)y =ey 1y

7、yeyxe 22222sec ()sec ()csc ()sec () 1tan ()xyxyyxyxyxy(2) y=tan(x+y) y =sec2(x+y)(1+y ) 1-sec2(x+y) y =sec2(x+y)1314. (3) x y=y x 兩邊取對數(shù)：兩邊取對數(shù)：y ln x=x ln y 兩邊求導數(shù)：兩邊求導數(shù)：lnlnln(ln)(ln)lnyxyxyyxyyyy xyyxyxx yxxxy x yx yeyxyyyxexxy (4) xy=ex+y y+xy =ex+y(1+y )1415.15.試證明曲線試證明曲線 上任一點處的切線上任一點處的切線, , 截兩個坐標

8、的截距之和為截兩個坐標的截距之和為 a解解: 對方程兩邊求導對方程兩邊求導:切線方程切線方程: 化為截距式化為截距式: 截距之和為截距之和為ayxxyyyyx, 021210000()yyyxxx 000000000()yyxyx yyxya yx001yxayax00()axya1516.16.求下列函數(shù)的二階導數(shù)求下列函數(shù)的二階導數(shù)(3) y=xx ln y=x ln x 1/yy =ln x+1 y =xx(ln x+1)2211(ln1)(ln1)xxxxyxxxxxxx1616.16.(4)(4)兩邊對兩邊對 x 求導求導:22lnarctanyxyx222212221()xyyxy

9、yxyxyx 2222xyyxyyxyxy,xyxyyxyyyxy2222223()()()()(1)()(1)()()()2222242()()()xyxyxyxyyxyyxyyxyxyxyxyxyyxxyyxyxyxyxy1717.設設 f (x) 存在存在, 求下列函數(shù)的二階導數(shù)求下列函數(shù)的二階導數(shù)(1) y=f (x+e-x) y =f (x2) 2x y =2f (x2)+f (x2) 4x2(2) y=lnf(x)22( )( )( ) ( )( ) ( )fxyf xfx f xfxyf x 1819.一質(zhì)點作直線運動一質(zhì)點作直線運動, 其運動規(guī)律為其運動規(guī)律為 ,其中路程其中路

10、程 s 的單位為米的單位為米, 時間的單位為秒時間的單位為秒, 求質(zhì)求質(zhì)點在第四秒末的速度與加速度點在第四秒末的速度與加速度?ts 311,24sstt 4411,432ttss 答答: 4 秒末的速度為秒末的速度為1/4 米米/秒秒, 加速度為加速度為 -1/32 米米/秒秒21920. 許多腫瘤的生長規(guī)律為許多腫瘤的生長規(guī)律為 其中其中, v 表示表示 t 時刻的腫瘤的大小時刻的腫瘤的大小(體積或重量體積或重量), v0 為開始為開始 (t=0) 觀察時腫瘤的大小觀察時腫瘤的大小, a 和和 A 為為正常數(shù)正常數(shù). 問腫瘤問腫瘤 t 時刻的增長速度是多少時刻的增長速度是多少?(1)0atA

11、eavv e(1)0(1)0()atatAeataAeataAvv eeaav Aee 202626. .利用利用 L Hospital 法則求下列函數(shù)極限法則求下列函數(shù)極限(1)(2)000022limlimsin1coslimlim2sincosxxxxxxxxxxxxeexeexxxeeeexx22222coslnsincsc1sinlimlimlim(2 )4(2 )88xxxxxxxxx 2126. (3)2limxxxxexe 222222211122limlimlim112lim01122xxxxxxxxxxxxxexexxexeeeeee2226. (4)22222tansin

12、cos3limlimtan3cos sin3sincos3limlimsin3cos3sin3( 1) lim( 1) ( 3)3sinxxxxxxxxxxxxxxxxx 2326. (5)26. (6)220000231lnlimlnlimlimlim0122xxxxxxxxxxx00001111lim()limlim1(1)11lim22xxxxxxxxxxxxxexexex eexeeexe 2426. (7) 26. (8)1cos2222222ln tanlim 22cos2cos ln(tan)22secseccostanlim 2limlimsectantansin0lim(ta

13、n )lim1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeee00111limln()lim210lim()xxxxxeexexxxxxexeee2526. (9) 設函數(shù)設函數(shù) f(x) 存在二階導數(shù)，存在二階導數(shù)，f(0)=0, f (0)=1, f (0)=2, 試求試求因函數(shù)二階可導，函數(shù)及其導數(shù)在因函數(shù)二階可導，函數(shù)及其導數(shù)在 x=0 處連處連續(xù)續(xù)22000( )( )( )( )lim( )lim( )limxxxfx xf xfx xf xfxfxxx20( )limxfxxx200( )( )( )( )limlimxxf xfxfx xf xxxx00( )( )0,(

14、)0limlim11xxf xfxxf xx 200( )1( )limlimxxf xf xxxxx由洛必大法則：由洛必大法則：20( )( )2lim(0)21xfx xf xfx原式2626. (10) 設函數(shù)有二階連續(xù)導數(shù)設函數(shù)有二階連續(xù)導數(shù),且且 解解: 化為指數(shù)函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)由洛必大法則由洛必大法則0( )lim0,(0)4xfxfx10( )lim(1)xxfxx011( )limln(1)0( )lim(1)xfxxxxxf xex200()()()ln1limlim()1xxfxfx xfxxxfxxx由由(9) 題結(jié)果有題結(jié)果有:因此原式因此原式 =e22)0(21)()

15、(20lim fxxfxxfx, 求求2727.試確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間試確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3) f(x)=xe-x , (4)(3) f (x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0 駐點駐點: x=1 當當 x0, 當當 x1 時時 f (x)0因此在因此在 (, 1) 內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, (1, +) 內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少.xxxf1)(221(1)12( )0(1)2(1)xxxxfxxxx(4) 駐點駐點: x=1, x0, 當當 x1 時時 f (x)0 (0, 1) 內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, (1, + ) 內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少2828. 求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極

16、值.(2) (0, e) 內(nèi)內(nèi) f (x)0 x=e 為極小值點。為極小值點。 極小值極小值 f(e)=exxxfln)(2ln1( )0,ln10,(ln )xfxxxex 2922222226(1) 126(1)( )0(1)(1)xxxfxxx28. (3) 26( )1xf xx駐點駐點: x =1, x = -1(- ,-1) 內(nèi)內(nèi) f (x)0 ;(1,+) 內(nèi)內(nèi) f (x)0;所以所以 x = -1 為極小值點為極小值點. 極小值極小值: f(-1)=-3 x =1為極大值點為極大值點. 極大值極大值 f(1)=33028. (4)駐點：駐點：x=2; x=3 處不可導。處不可導

17、。當當 x0; x2 時時 f (x)0 . x=2為極大值點為極大值點. f極大極大(2)=3當當 x3 時時 f (x)3 時時 f (x)0. x=3為極小值點為極小值點. f極小極小(3)=0233332(21)( )2(3)3(3)6(3)2(21)102003(3)3(3)xfxxxxxxxx23( )(21)(3)f xxx-112345-2-112343129. 試問試問 a 為何值時為何值時, 函數(shù)函數(shù) f(x)=a sin x+1/3sin3x在在 x= /3 處具有極值處具有極值? 它是極大值它是極大值, 還是極小值還是極小值?并求此極值并求此極值.解解: f (x)=a

18、 cos x+cos3x 當當 x= /3 時時 a cos /3+cos =0, a/2-1=0 , a=2 f ?(x)=-2sin x-3sin3x f ?( /3)=-23/20 所以曲線在所以曲線在 (- ,+ ) 內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的.(2) y=ln(x2-1) 曲線在曲線在 (- ,+ ) 內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的.222222222(1)22,01(1)(1)xxxyyxxx3938. 求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點。求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點。（1）y=3x4-4x3+1 y =12x3-12x2 令令 y =36x2-24x=12x(3x-2)=0 x=0, x=2/3(-, 0)0(0

19、, 2/3)2/3(2/3,)y+0-0+曲線曲線凹凹拐點拐點凸凸拐點拐點凹凹4038.（2）y=ln(1+x2) 令令 y=0 , x=-1, x=12222)1 ()1 (2,12xxyxxy (-, -1)-1(-1, 1)1(1, )y-0+0-曲線曲線凸凸拐點拐點凹凹拐點拐點凸凸4138. (3) x=-3 ，x=0 x=3 處處, 323xyx422222349(3)6 (9)(3)xxyxxxyxx(-,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,)y+0-0+0-曲線曲線凹凹拐點拐點凸凸拐點拐點凹凹拐點拐點凸凸4238.（4）y=(x-5)5/3+2x+1 x=5 處函數(shù)連續(xù)處函

20、數(shù)連續(xù), 而二階導數(shù)不存在而二階導數(shù)不存在當當 x5 時時, y5 時時, y0故故 (-, 5) 內(nèi)函數(shù)是凸的內(nèi)函數(shù)是凸的(5, +) 內(nèi)函數(shù)是凹的內(nèi)函數(shù)是凹的 x =5 是拐點是拐點.2133510(5)2,(5)39yxyx43*39. 已知曲線已知曲線 y=ax3+bx2+cx+d 在在 (1, 2) 點處有點處有水平切線水平切線, 且原點為該曲線上的拐點且原點為該曲線上的拐點, 求求 a, b, c, d 之值之值, 并寫出此曲線方程并寫出此曲線方程.解解: y =3ax2+2bx+c y =6ax+2b 曲線過曲線過 (1, 2): 2=a+b+c+d 曲線過原點曲線過原點: 0=

21、d 當當 x=1 時時, y =0 : 3a+2b+c=0 當當 x=0 時時, y =0 : 2b=0 解方程組得解方程組得: a= -1, b=0, c=3, d=0 曲線方程曲線方程: y=-x3+3x4440. (1) 求下列曲線漸近線求下列曲線漸近線因此曲線有水平因此曲線有水平漸近線漸近線 : y =122(3)1xyx22lim11xxx221lim1xxx 因此曲線有垂直漸近線因此曲線有垂直漸近線: x =1-4-224-10-551045因此曲線有垂直漸近線因此曲線有垂直漸近線: x =02222111130000222limlimlimlim11xxxxxxxxeeexxex

22、xx21(4)xyxe222221111132( )limlim1,1lim( )lim212limlimlim0 ,011xxxxxxxxxxxxfxeaxfxxxexeeexbxxx 因此有斜漸近線因此有斜漸近線 y = x4640. (3) 描繪下列函數(shù)的圖形描繪下列函數(shù)的圖形xxyln23231ln0,32 ln,xyxexxyxex 0lnlnlim,lim0 xxxxxx 定義域定義域: (0,+), 漸近線為漸近線為 x=0, y=047(0,e)e(e,e3/2)e3/2(e3/2,+)f (x)+0-f(x)-0+f(x)極大極大拐點拐點f(e)=1/e , f(e3/2)=3/2e-3/2e e3/24840. (4)駐點駐點: x=-1, x=3; x=1 處不可導處不可導. x=1 處二階導數(shù)不存在處二階導數(shù)不存在, 漸