小波分析之泛函分析賦范內(nèi)積空間.

1、賦范線性空間,內(nèi)積空間范數(shù)與賦范線性空間X是實(或復(fù))線性空間，如果對于X中每個元素x，按照一定的法則對應(yīng)于實數(shù)|x|，且滿足：|x|0，|x|=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;|ax|=|a|x|，a是實(或復(fù))數(shù);|x+y|x| + |y|.則稱X是實(或復(fù))賦范線性空間，|x|稱為x的范數(shù).范數(shù)、距離之間的關(guān)系 由每一范數(shù)可以導(dǎo)出一距離： 當(dāng)距離空間滿足 (1)是線性空間,(2)(3)時,才可用距離定義范數(shù)： ( , ).x yxy),0 ,(),(yxyx(,0)( ,0)axax( ,0).xxCa,b的距離與范數(shù) Ca,b 的約定的距離是由范數(shù)決定的.( , )max( )( )a x bf g

2、f xg x max( )a x bff x Lpa,b的距離與范數(shù) 對于任實數(shù) Lpa,b表示區(qū)間a,b上絕對值的p次冪L可積函數(shù)的全體，并把幾乎處處相等的函數(shù)看成是同一個函數(shù),即 Lpa,b上的距離為其特例為La,b , L2a,b.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx.)(,)(,dxxfbaLxfbapp, 1pLpa,b的距離與范數(shù) Lpa,b上的距離是由范數(shù)決定的.其特例La,b , L2a,b亦然.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx1 , ( ).pppa bff xdx的距離與范數(shù) 表示滿足 的實數(shù)列(即平方可和數(shù)列)

3、的全體， 上的距離是由范數(shù)決定的。2l2l21iix ix2l1 22i=1( , )().iix yxy1 22i=1( )ixxBanach空間 若賦范線性空間按距離是完備的，則稱為Banach空間. n維Euclid空間Rn是Banach空間. Ca,b是Banach空間. Lpa,b (p1)是Banach空間. 是Banach空間.( , ).x yxy2l按范數(shù)收斂(強收斂) 按范數(shù)收斂即按范數(shù)決定的距離的收斂，又稱強收斂.不同范數(shù)的等價性 是同一線性空間上的兩種不同的范數(shù),若則稱 21,21200,nxx12.比強122112若比強，比強，稱與等價.線性空間的維數(shù) 若線性空間X

4、中存在n 個線性無關(guān)的元素e1,e2,en,使得任意的xX都可以唯一的表示為則稱e1,e2,en是x的基底，數(shù)組x1,x2,xn是x關(guān)于基底的坐標，n是線性空間的維數(shù).ni ii=1x =x e ,線性空間的維數(shù) 有限維線性空間與Euclid空間是線性同構(gòu)的. 有限維賦范線性空間上的范數(shù)定義是等價的. 有限維賦范線性空間是完備，可分的. 例子：Cka,b是Banach空間Cka,b表示定義在區(qū)間a,b上k階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)全體. Cka,b上的范數(shù)為. )(max0)(kjjbxaxff賦范線性空間上的算子 T是由賦范線性空間X中的某個子集D到賦范線性空間X1中的一個映射,則稱T 是算子. D是

5、T 的定義域，記為D(T)， 像集y | y=Tx, xD是T 的值域,記為N(T). 若T滿足可可性：T(x+y)=Tx+Ty次性：T(ax)=aT(x)則稱T為線性算子線性算子. 若存在正數(shù)M使得對于一切xD(T)，有|Tx| M|x|，則T是有界算子有界算子.線性算子的性質(zhì) 線性算子若在某一點處連續(xù)，則也在定義域上處處連續(xù). T是有界線性算子等價于T是連續(xù)線性算子. T有界的充要條件是T把任一有界集映成有界集. 有界線性算子空間 X 和X1都是賦范線性空間,所有從X到X1的有界線性算子形成的集合記為B(X, X1). 在B(X, X1)上定義可法和數(shù)乘運算： (T1+T2)x=T1x+T

6、2x (T1,T2 B(X, X1)，xX). (aT)x=a(Tx) (TB(X, X1)，a是實數(shù)).有界線性算子空間 定理： B(X, X1)按照以上定義的線性運算是一個線性空間,且在如下定義的算子范數(shù)下構(gòu)成賦范線性空間. TxxTxTxx10supsup有界線性算子空間 定理： 若X是Banach空間，則B(X, X1)也是Banach空間. T為線性算子，則T有界的充要條件為有界.T共鳴定理 X 和X1都是賦范線性空間, 且X是Banach 空間. Tn是從X 到X1的線性算子序列, 則對任意xX，Tnx有界的充要條件為 有界。(證明從略) 此定理又稱為一致有界定理. 共鳴定理的意義

7、即:對于線性算子序列，若代入每一個值都有界，則有界線性算子序列本身有界。 nT有界線性算子空間 定理： 可逆有界線性算子的逆算子仍是線性算子. 有限維賦范線性空間的一切線性算子都有界(連續(xù)).泛函 當(dāng)算子的像集為實（或復(fù)）數(shù)域時，稱算子為泛函泛函. 類似有線性泛函線性泛函、連續(xù)泛函連續(xù)泛函、有界線性泛有界線性泛函函等. 泛函的例： 賦范線性空間上的范數(shù)是一個泛函,且是連續(xù)泛函,但不是線性泛函,其算子范數(shù)為1,故為 有界泛函.泛函的例 在Ca,b上,對每一函數(shù)取定積分的運算是一有界線性泛函. badxxfxfC)()(泛函的性質(zhì) f是線性泛函, f有界的充要條件是f的零空間為完備子空間 . 對于

8、Rn 上的任一有界線性泛函f，必存在唯一的 使得對任何都有0)(xx f),(21nyyyy12( ,),nxx xx1122( ).nnxx yx yx yf泛函的性質(zhì)(延拓定理) E為賦范線性空間，L為E的線性子空間，則L上的任一有界線性泛函f都可以延拓到全空間E上，且保持范數(shù)不變.元素序列的不同的收斂方式 按范數(shù)收斂即按范數(shù)決定的距離的收斂，又稱強收斂,記為 稱元素序列 xn弱收斂于元素x，若對任一有界線性泛函f 都有且記為.)(強或強xxxxnn. 或弱弱nnxxxx ()(nf(x )f x),算子的不同收斂方式 Tn,TB(X, X1) (n=1,2,) 若|Tn-T|0,稱Tn按

9、算子范數(shù)收斂于T (或稱Tn一致收斂于T),記為 若對于任意的x，均有|Tnx-Tx|0，則稱Tn強收斂于T ,記為 . 一致nTT. 強nTT算子的不同收斂方式 Tn,TB(X, X) (n=1,2,) 若對每個xX及X上的任一有界線性泛函f，都有 則稱算子序列弱收斂于T ,記為(nf(T x)f x),. 弱nTT不同收斂方式的性質(zhì) (1)上述各種收斂序列的極限都是唯一的. (2)各種序列若強收斂則必弱收斂，反之不一定. (3)算子序列若一致收斂(依范數(shù)收斂)，則必強收斂.共軛空間 若X1是實數(shù)（或復(fù)數(shù)）域R，則B(X, X1)稱為共軛空間，記為X*X*是定義在X上的所有有界線性泛函所構(gòu)成

10、的賦范線性空間，泛函f X*的范數(shù)是算子范數(shù).實數(shù)（或復(fù)數(shù)）域R是完備的，因此共軛空間必定是Banach空間.內(nèi)積空間 X 是定義在實(或復(fù))數(shù)域K上的線性空間，若對于X中中 任意一對有序元素x,y, 恒對應(yīng)數(shù)域K的值(x, y)，且滿足: (x, x)0，且(x, x)=0的充要條件是x=0; (ax, y) = a(x, y); (x+y, z) = (x, z) + (x, z).則稱X為內(nèi)積空間，(x, y)稱為x, y的內(nèi)積. ;x)(y,y)(x,內(nèi)積、范數(shù)、距離之間的關(guān)系 由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),距離： 注：有的范數(shù)并沒有導(dǎo)出它的內(nèi)積。( , );( , )(,).xx xx yxy

11、xyHilbert空間 完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特希爾伯特(Hilbert)空間空間. Hilbert空間必為Banach空間內(nèi)積空間的性質(zhì) 定理(Cauchy-Schwarz不等式) 在內(nèi)積空間X上，證明 當(dāng) 時，欲證不等式顯然成立。當(dāng) 時,因 故對任何實數(shù) 有 特別地,取 代入上式即得2,( , )( ,)( , ) .u vu vu uv v任，有X20(,)( , )( , )( , )( , ).uv uvu uu vu vv v( , ) ( , )u vv v 0v( , )0,v v 0v n 維實(或復(fù))Euclid空間Rn 全體n 維實向量的集合在向量可法、數(shù)乘下為n維線性

12、空間. Rn且且為距離空間,賦范線性空間,內(nèi)積空間, Hilbert空間. Rn的的內(nèi)積為:., 2 , 1,),(21niRaaaaRinn12121 122(,),( ,),( , ).nnnnxa aayb bbx ya ba ba bCa,b沒有導(dǎo)出其上范數(shù)的內(nèi)積 Ca,b 的約定的范數(shù)沒有內(nèi)積可以導(dǎo)出, 故Ca,b 不為內(nèi)積空間.max( )a x bff x Lpa,b上的范數(shù)與內(nèi)積 對p2, Lpa,b上的范數(shù)沒有內(nèi)積可以導(dǎo)出, 故p2時, Lpa,b不為內(nèi)積空間. 僅當(dāng)p=2時,L2a,b上的范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的, 故L2a,b是內(nèi)積空間, Hilbert空間.1 222 , (

13、 ).a bff xdx , ( , )( )( )a bf gf xg x dx的導(dǎo)出其上范數(shù)的內(nèi)積 的范數(shù) 是由范數(shù)導(dǎo)出的, 故 是內(nèi)積空間, Hilbert空間.2l2l1 22i=1( )ixxi=1( , )iiiixyxy2l內(nèi)積空間上的平行四邊形公式與極化恒等式 賦范線性空間成為內(nèi)積空間的充要條件是它的范數(shù)滿足平行四邊形公式 實賦范線性空間的范數(shù)若滿足平行四邊形公式,則其成為內(nèi)積空間,有如下由范數(shù)導(dǎo)出內(nèi)積的極化恒等式:22222.xyxyxy221( , ).4x yxyxy內(nèi)積空間的性質(zhì) 定理 為內(nèi)積空間，格拉姆(Gram)矩陣非奇異當(dāng)且僅當(dāng) 線性無關(guān).),(),(),(),(

14、),(),(),(),(),(212222111211nnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuG12,nu uuXX12,nu uu定理證明證明 首先,1111,0,1,2, .,00.njjkjnnjjjjjjnjjjuuknuuu定理證明又110,0,1,2, .njjjnjjkjuuukn定理證明故,11,0,1,2, .0.njjkjnjjjuuknu定理證明 G非奇異當(dāng)且僅當(dāng)次方程組只有零解,即只有零解,即 只有零解,即 線性無關(guān).1(,)0,1,2, .njkjjuukn1(,)0,1,2, .njjkjuukn10njjju12,nu uu定理證明故G非奇異當(dāng)且僅當(dāng)只有零

15、解即G非奇異當(dāng)且僅當(dāng) 線性無關(guān).01njjju120.n1,2,nu uu內(nèi)積空間上內(nèi)積的連續(xù)性內(nèi)積空間上，內(nèi)積關(guān)于兩個變元都是連續(xù)的. 內(nèi)積空間上的正交 在在內(nèi)積空間X上, 元素元素正交正交: 若(x, y)=0,稱x與y正交,記為 元素與子集元素與子集正交正交: 若x與M中一切元素正交，則稱x與M正交，記為 子集與子集子集與子集正交正交: 若 則稱M與N正交，記為 . yx ,x,yX,M,NX.xM, yxN,yM,x有.MN內(nèi)積空間上的正交補與正交分解 在在內(nèi)積空間X上, 子集的子集的正交補正交補: X中與中與M正交的所有元素的全體稱為正交的所有元素的全體稱為M的正交補，記為的正交補，

16、記為 元素在子集的元素在子集的投影投影: 若則稱 在M上的投影。上式稱為 關(guān)于M的正交分解.M = x xM .,xX,MX0為xx,1010 xxxMxM,x使得x內(nèi)積空間有關(guān)正交的性質(zhì) 在內(nèi)積空間上，若 則該式稱為內(nèi)積空間的“商高定理” 若x與內(nèi)積空間的某個稠密子集正交,則x=0. 內(nèi)積空間上子集的正交補為閉線性子空間.222x+y= x+ yxy,內(nèi)積空間的極小化向量定理 在內(nèi)積空間X上,若M為完備子空間，x0為 x在M上的投影( ),則且x0是M中使上式成立的唯一的點, 注: M為X的非空凸集,有限維線性子空間(因而完備)時極小化向量定理 即成立.0inf.yyMx-xx-0() x-

17、xM內(nèi)積空間的投影定理 (投影定理) M是內(nèi)積空間X的閉(或完備)子空間,則即, !,. 使得0101xXxM,xMxxx.XMM內(nèi)積空間的正交系、規(guī)范正交系 若內(nèi)積空間中的一組非零元素 中任何兩個不同元素都正交,則稱它們?yōu)檎幌嫡幌? 若內(nèi)積空間的一個正交系中的每個元素的范數(shù)都為1，則稱它們?yōu)橐?guī)規(guī)范正交系范正交系,或正交系標準或正交系標準即12,e e 0,(,)1,.ijije eij12,e e 內(nèi)積空間的完全規(guī)范正交系 若內(nèi)積空間X中的一組規(guī)范正交系 滿足則稱 為完全規(guī)范正交系完全規(guī)范正交系 .12,span e eX12,e e 12,e e 規(guī)范正交系下的投影 為規(guī)范正交系,則x

18、在M上的投影為且12,.nspan e eeM01( ,) ,niiixx e e12,ne ee2201( ,) .niixx eBessel不等式 為Hilbert空間X上的規(guī)范正交系,則12,ne ee221( ,).niix ex有X,xHilbert空間的正交和分解 內(nèi)積空間中任一組線性無關(guān)元素系都可以規(guī)范正交化. 若M為Hilbert空間的閉子空間，則存在正交和分解,即直和分解.X = MM廣義Fourier級數(shù) 若 為完全規(guī)范正交系,則 稱 的廣義Fourier級數(shù),稱的廣義Fourier系數(shù).12,e e 1,( ,) .iiixxx e e X121( ,),iiix e exe e為 關(guān)于12( ,),ix exe e 為 關(guān)于有限維子空間的最佳逼近即投影 因有限維線性子空間都是完備的,故在有限維子空間上的由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)下的最佳逼近在 為規(guī)范正交系時即為投影 12,nnspan e eeM0minn