費(fèi)馬點(diǎn)的兩證明方法_第1頁
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費(fèi)馬點(diǎn)的兩證明方法_第3頁
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1、費(fèi)馬點(diǎn)的兩證明方法費(fèi)馬點(diǎn)，就是平面上到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于一百二十度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂 點(diǎn)；如 果三個(gè)內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂 點(diǎn)的連線兩 兩夾角為120度的點(diǎn)。1、費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形外，這個(gè)就不用證了，很顯然。但為了嚴(yán)謹(jǐn)，還是說一下2、當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于等于120度時(shí)候?qū)θ切蝺?nèi)任一點(diǎn)P延長(zhǎng) BA 至 C使得 AC=AC做/ CAP= / CAP 并且使得 AP=AP, PC=PC 說 了這么多，其實(shí)就是把三角形 APC以A為中心做了個(gè)旋轉(zhuǎn)那么厶 APCAA APCvZ BA0120?PAP=180 - Z B

2、AP - Z CAP=180 -Z BAP - Z CAP=180 - Z BACC 60?等腰三角形 PAP中，AP PP? PA+PB+P3CPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn)3、當(dāng)所有內(nèi)角都小于 120 時(shí)做出 ABC內(nèi)一點(diǎn)P,使得/ APCM BPCM CPA=120 ,分別作PA,PB,PC的垂線,交 于D,E,F三點(diǎn)，如圖，再作任一異于 P的點(diǎn)P，連結(jié)PA,PB,PC，過P作PH垂直 EF于H易知/D=Z E=Z F=60 ,即厶DEF為等邊三角形，計(jì)邊長(zhǎng)為d,面積為S那么有 2S=d(PA+PB+PC)? PA PH所以 2SA EPFW PA*d同理有2SA DPFW PB*d2SA EPDW PC*d相加得 2SPA+PC+P,C 與假設(shè)矛盾，所以圓與橢圓必相切不可能沒有公共點(diǎn)吧，因?yàn)槎歼^P做他們的公切線，并作直線 BP,顯然BP與公切線垂直 由橢圓的幾何性質(zhì)易知，BP 平分角APC所以/ APB=/ CPB同理

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