小學(xué)奧數(shù)之第26講進(jìn)位制問題

1、第26講 進(jìn)位制問題內(nèi)容概述本講不著重討論進(jìn)制中運(yùn)算問題，我們是關(guān)心這個數(shù)字，即為幾進(jìn)制對于進(jìn)位制我們要注意本質(zhì)是：進(jìn)制就是逢進(jìn)一 但是，作為數(shù)論的一部分，具體到每道題則其方法還是較復(fù)雜的說明：在本講中的數(shù)字，不特加說明，均為十進(jìn)制典型問題1在幾進(jìn)制中有4×13=100【分析與解】 我們利用尾數(shù)分析來求解這個問題：不管在幾進(jìn)制均有(4)×(3)=(12)但是，式中為100，尾數(shù)為0 也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位 所以說進(jìn)位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2 但是出現(xiàn)了4，所以不可能是4，3，2進(jìn)制 我們知道(4)×(13)=(52)，因52 <

2、100，也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是我們知道<10 所以，只能是62在三進(jìn)制中的數(shù)12120120110110121121，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第l位數(shù)字是幾? 【分析與解】 我們?nèi)绻ㄟ^十進(jìn)制來將三進(jìn)制轉(zhuǎn)化為九進(jìn)制，那運(yùn)算量很大 注意到，三進(jìn)制進(jìn)動兩位則我們注意到進(jìn)動了3個3，于是為9所以變?yōu)橛?進(jìn)1也就是九進(jìn)制 于是，兩個數(shù)一組，兩個數(shù)一組，每兩個數(shù)改寫為九進(jìn)制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3進(jìn)制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9進(jìn)制 所以，首位為5 評注：若原為進(jìn)制的數(shù)，轉(zhuǎn)化為進(jìn)制，則從右往左數(shù)每個數(shù)

3、一組化為進(jìn)制 如：2進(jìn)制轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制，2=8，則從右往左數(shù)每3個數(shù)一組化為8進(jìn)制 10 100 001 101 2進(jìn)制 2 4 1 5 8進(jìn)制 (10100001101)=(2415)3在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少? 【分析與解】 ()=×62×6+=36+6+； ()=×92+×9+=81+9+ 所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80； 因?yàn)?5是5的倍數(shù)，80也是5的倍數(shù)所以3也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1 所以，=0或5 當(dāng)=0，則35=80；則7=16；(7，16)=1，并且、0，所以=16，=7：

4、 但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個數(shù)字為16 當(dāng)=5，則35=3×5+80；則7=3+16；mod 7后，3+20 所以=2或者2+7(為整數(shù))因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是=2 于是，35=15+80×2；=5 于是() =(552)=5×62+5×6+2=212 所以這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為2124設(shè)1987可以在進(jìn)制中寫成三位數(shù)，且=1+9+8+7，試確定出所有可能的、及 【分析與解】 我們注意 -得：(-1)+(-1)=1987-25 則(-1)(+1)+(-1)=1962， 即(-1)(+1)+=1962 所以，1962是(-1)

5、的倍數(shù) 1962=2×9×109：當(dāng)-1=9時，=10，顯然不滿足； 當(dāng)-1=18時，=19，則（-1)(+1)+=18×(20+)=1962；則20+=109，所以， 顯然，當(dāng)=109不滿足，=2×109不滿足，當(dāng)=9×109也不滿足 于是為(59B)=(1987)，B代表115下面加法算式中不同字母代表不同的數(shù)字，試判定下面算式是什么進(jìn)制，A、B、C、D的和為多少? 【分析與解】 于是，我們知道=4，所以為4進(jìn)制，則 A+B+C+D=3+1+2+0=66. 一個非零自然數(shù)，如果它的二進(jìn)制表示中數(shù)碼l的個數(shù)是偶數(shù)，則稱之為“壞數(shù)”.例如：18

6、=（10010）2是“壞數(shù)”試求小于1024的所有壞數(shù)的個數(shù). 【分析與解】 我們現(xiàn)把1024轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制： (1024)=2=(10000000000)2 于是，在二進(jìn)制中為11位數(shù)，但是我們只用看10位數(shù)中情況 并且，我們把不足10位數(shù)的在前面補(bǔ)上0，如=則，可以含2個l，4個1，6個1，8個l，10個1于是為=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“壞數(shù)”有511個. 7計(jì)算：26的余數(shù) 【分析與解】= 26=(222)所以，÷26=÷(222)(222)整除(222)，2003÷3：6672，所以余(22)=8所以余數(shù)為88一個10進(jìn)制

7、的三位數(shù)，把它分別化為9進(jìn)制和8進(jìn)制數(shù)后，就又得到了2個三位數(shù)老師發(fā)現(xiàn)這3個三位數(shù)的最高位數(shù)字恰好是3、4、5，那這樣的三位數(shù)一共有多少個? 【分析與解】 我們設(shè)(3)=(4)=(5)； 我們知道(4) 在(400)(488)之間，也就是4×925×92-1，也就是324406； 還知道(5) 在(500)(577)之間，也就是5×826×82-1，也就是320383； 又知道(3) 在(300)(399)之間 所以，這樣的三位數(shù)應(yīng)該在324383之間，于是有383-324+1=60個三位數(shù)滿足條件.9. 一袋花生共有2004顆，一只猴子第一天拿走一顆花生，從第二天起,每天拿走的都是以前各天的總和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走時卻一次拿走，共需多少天? 如果到某天袋里的花生少于已拿走的總數(shù)時，這一天它又重新拿走一顆開始，按原規(guī)律進(jìn)行新的一輪如此繼續(xù)，那么這袋花生被猴子拿光的時候是第幾天? 【分析與解】 我們注意到每天12348163264前若干天的和2<2004<2前1天為1，前2天為21，前3天是22，所以前11天為2，前12天是2,也就是說不夠第11天拿的，但是根據(jù)題中條件知所以共需12天. 每天11248163264前若干天的和1248163264128改