空間點線面之間位置關系知識點總結

1、高中空間點線面之間位置關系知識點總結第一章空間幾何體（一）空間幾何體的結構特征（1）多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體.旋轉體把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結構特征1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法： 水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形， 銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母 、 、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD等。3 三個公理：（1）

2、公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為1.1 棱柱有兩個面互相平行， 其余各面都是四邊形， 并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2.1棱錐有一個面是多邊形， 其余各面是有一個公共頂點的三角形， 由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。2.2圓錐以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸， 其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。3.1棱臺用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.3.2圓臺用平行于圓錐底面的平面去

3、截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.4.1球以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.ALBL=> LAB公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為： A、 B、C三點不共線 => 有且只有一個平面 ，使 A 、B、C 。公理 2 作用：確定一個平面的依據(jù)。A ·LA B · C ··（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1. 投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過

4、該點的公共直線。符號表示為： P => =L，且 P L2.三視圖正視圖；側視圖；俯視圖；是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；畫三視圖的原則： 長對齊、高對齊、寬相等3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。4. 斜二測法：在坐標系x ' o ' y' 中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在 x 軸上）的線段保持長度不變，平行于y 軸（或在 y 軸上）的線段長度減半。重點記憶：直觀圖面積 =原圖形面積公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線

5、有如下三種關系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設 a、b、c 是三條直線PL·( 三 ) 空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積abcb=>ac棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和圓柱的表面積 S =2 rl+2 r 2圓錐的表面積 Srlr 2圓臺的表面積 Srlr 2RlR2球的表面積 S 4R2扇形的面積公式 S扇形nR21 lr （其中 l 表示弧長， r 表示半徑）36022、空間幾何體的體積柱體的體積

6、 VS底h錐體的體積V1S底 h3臺體的體積V1S上 S下S下 )h4R3（ S上球體的體積 V33第二章直線與平面的位置關系DC2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1強調(diào)：公理 4 實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a' 與 b' 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置來確定，與O 的選擇無關，為簡便，點O 一般取在兩直線中的一條上；兩條異面直線所成的角 (0 ， ) ；2ab；當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就

7、說這兩條異面直線互相垂直，記作兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示ABaa =Aa2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行

8、，則線面平行。符號表示：a b =>a ab2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b a b = Pab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aaabLp2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a) 定理中的“兩條相交

9、直線”這一條件不可忽視；b) 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭 lB2、二面角的記法：二面角-l- 或 -AB- 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結構框圖平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關系 = b作用：利用

10、該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。直線與平面的位置關系平面與平面的位置關系符號表示：直線與直線的位置關系= a a b= b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線 L 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L 與平面 互相垂直， 記作 L ，直線L 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 L 的垂面。如圖，直線與平面垂直時, 它們唯一公共點P 叫做垂足。第三章直線與方程一、公式：1.若直線的傾斜角為(90 ) ，則直線的斜率 k = tan 。

11、2.過點 P1( x1 , y1 )和 P2 ( x2, y2 ) 的直線的斜率為： y2y1x2x13.若不平行于 y 軸的兩直線 l1 / /l 2 ，則 k1 = k2 ；若兩直線 l1l2 ，則 k1k2 = -1；4.直線的點斜式方程：yy0k (xx0 )（注：做本題時要分截距為0 和截距不為 0 兩種情況，切不可直接將方程設為5.直線的斜截式方程：ykxbxyab1，因為用該方程時，要求截距不為0。）6.直線的兩點式方程：yy1xx1y2y1x2x17.直線的截距式方程： xy1ab8.直線的一般式方程： AxByC0 ，此時，斜率為A ，截距為C .BB9.對于兩直線 l1 :

12、 A1 xB1 yC10 和 l 2 : A2 x B2 y C20（1）若 A1 B2 A2 B10 ，兩直線相交；（2）若 A1 B2A2 B10，兩直線平行或重合；（3）若 A1 A2B1B2 0 ，若兩直線垂直。xxyy10.點 ( x1 , y1 )和 ( x2 , y2 )的中點坐標是 （ 12 ， 12 )2211.若 P1 (x1, y1 )和 P2 (x2 , y2 ) ，則： PP12( x1x2 ) 2( y1y2 ) 212.點 ( x0 , y0 )到直線 Ax By C 0的距離為：Ax0 By0CA2B2二、基本注意點：1.過點 ( a,b) ，且平行于 x 軸的

13、直線方程是： yb；2.過點 ( a,b) ，且平行于 y 軸的直線方程是： xa ；三、典型習題：1.求過點 (2,3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。解：截距不為 0 時，設兩軸上的截距都為a ,則有直線方程為： xy1，帶入上式可得： a 5 ，所以直線方程為： xyaa將 (2,3)1，55即： xy 5 0 ；兩軸上的截距都為 0 時，則直線過原點(0,0)，由兩點式可得：y0x0 ，即： 3x 2 y 03020綜上所述：滿足條件的直線方程為： xy50 或3x2 y0 .2.已知直線 l1 : x my 60 ， l 2 : ( m2) x3y2m0 ，求滿足下列條件的 m

14、值：（1） l1和 l2相交 ；（ 2） l1l2 ；（ 3） l1 / /l2 ；（ 4） l1和 l2重合 ；解：（1） l1和 l2 相交 ，A1B2A2B10 ，即： 1 3 ( m 2) m0解得 :m且m31（2） l1l 2 ， A1 A2B1 B20 ，即： 1 ( m2)3 m0解得： m12（3）（4） A1 B2A2 B10 ,即： 1 3 ( m 2) m0解得 : m1或m 3檢驗： m1時， l1 : x y60, l2 :3x3y2 0, 此時，兩直線平行，所以，m3時， l1 : x3y60, l2 : x3y60, 此時，兩直線重合綜上所示： m1時兩直線平行

15、； m3 時兩直線重合 .第四章圓與方程圓與方程2、 1 圓的標準方程：以點 C (a,b) 為圓心， r 為半徑的圓的標準方程是( xa)2( yb) 2r 2 .特例：圓心在坐標原點，半徑為r 的圓的方程是：x 2y 2r 2 .2、2 點與圓的位置關系：1. 設點到圓心的距離為 d，圓半徑為 r ：(1) 點在圓上d=r ；(2) 點在圓外dr ；(3) 點在圓內(nèi)d r 2.給定點 M (x 0 , y 0 ) 及圓 C : (xa) 2( yb) 2r 2 . M 在圓 C 內(nèi)( x0 a )2 ( y0 b)2r 2 M 在圓 C 上（ x 0a) 2( y 0 b) 2r 2M在圓

16、C外(x0 a )2 ( y0 b) 2 r 22、 3圓的一般方程：x2y 2Dx EyF0 .當 D 2E24F0 時，方程表示一個圓，其中圓心CD ,E ，半徑 rD 2E 24F .222當 D 2E 24F0 時，方程表示一個點D,E.22當 D 2E24F0 時，方程無圖形（稱虛圓） .注：（1 ）方程 Ax 2BxyCy 2Dx Ey F0 表示圓的充要條件是：B0且 AC0且 D2E2 4AF 0.圓的直徑或方程：已知A(x1, y1 )B(x2 ,y 2 )(x x1 )( xx2 )( y y1)( yy2 )02、 4直線與圓的位置關系：直線 AxByC0 與圓 (xa)

17、 2( y b)2r 2 的位置關系有三種（ 1）若 dAaBb C ， d r相離0 ；A2B2（ 2） d r相切0；（3） d r相交0 。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組Ax ByC0求解，通過解的個數(shù)來判斷：x2y 2DxEyF0（ 1）當方程組有2 個公共解時（直線與圓有2 個交點），直線與圓相交；（ 2）當方程組有且只有 1 個公共解時（直線與圓只有1 個交點），直線與圓相切；（ 3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為，圓心 C 到直線 l的距離為 d,則直線與圓的位置關系滿足以下關系：相切d=r0（ 2）相交d<r>0；（3）相離d>r<0。2、 5兩圓的位置關系設兩圓圓心分別為O1， O2，半徑分別為r1， r2 ， O O2d 。1（ 1） dr1r2外離4條公切線 ；（ 2） dr1r2外切3條公切線 ；（ 3） r1r2dr1r2相交2條公切線 ；（ 4） dr1 r2內(nèi)切1條公切線 ；（5） 0dr1r2內(nèi)含無公切線 ；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、 6 圓的切線方程 ：圓 x