項(xiàng)式定理典型例題

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理練習(xí)題1n1. 在二項(xiàng)式x的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理42x項(xiàng)分析： 本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公式解決解： 二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：1rCr 12 n 3rTCr ( x )n rxx 4r 1n24n2r前三項(xiàng)的 r0,1,2.得系數(shù)為： t11, t2C1n11 n, t3C n211 n(n1) ，221 n(n 1)48由已知： 2t 2t1t3n1， n88通項(xiàng)公式為r116 3 rTr 14r0,1,28,Tr 1 為有理項(xiàng)，故 163r 是 4 的倍數(shù)，C8r x2 r 0,4,8.

2、依次得到有理項(xiàng)為 T1 x4 ,T5 C8414 x35 x,T9 C8818x 21 x2 282r256說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了的取值，得到了有理項(xiàng) 類似地，( 23 3)100 的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r 的取值， 得到共有系數(shù)和為 3n 2. （ 1）求 (1 x)3 (1x)10展開式中 x 5 的系數(shù)；（ 2）求 ( x12)6 展開式中的常數(shù)項(xiàng)x分析： 本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，（ 1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；（2）可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：（ 1） (1 x)3 (1x)10 展開式中

3、的 x5 可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：用 (1x)3 展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1x)10 展開式中的x5 項(xiàng)，可以得到C105 x5 ；用(1 x)3 展開式中的一次項(xiàng)乘以(1 x)10展開式中的 x4 項(xiàng)可得到 (3x)(C104 x4 )3C104 x5 ；用 (1x) 3 中的 x2 乘以 (1x)10展開式中的x3 可得到3x2C103 x33C103 x5；用 (1x) 3 中的x3 項(xiàng)乘以 (1x)10 展開式中的 x2 項(xiàng)可得到3x3 C102x2C102 x5 ，合并同類項(xiàng)得x5 項(xiàng)為：(C105C1043C103C102 ) x563x5 12（ 2） x2x1x

4、x1112(x2)5xxx由1xx12r展開式的通項(xiàng)公式 Tr 1 C12r ( 2 )12 r 1C12r x6 r ，可得展開式x的常數(shù)項(xiàng)為 C126924 說(shuō)明： 問題（ 2）中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過(guò)合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來(lái)解決3. 求(1x x2 )6 展開式中 x5 的系數(shù)分析： (1x x 2 ) 6 不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò)1x x2(1x)x 2 或 1( x x2 )把它看成二項(xiàng)式展開解： 方法一： (1x x2 )6(1 x)x26(1 x6 ) 6(1x)5 x 215(1x) 4 x4其中含 x5的項(xiàng)為 C65 x56C53 x5

5、 15C14 x56 x5含 x5 項(xiàng)的系數(shù)為 6方法二： (1 xx2 ) 616( x x2 )1 6( xx2 )15( xx2 )220( xx2 )315( xx2 )46(xx2 ) 5( xx2 )6其中含 x5的項(xiàng)為 20(3) x515( 4) x56x56x5 x5 項(xiàng)的系數(shù)為6方法 3：本題還可通過(guò)把(1xx2 )6 看成 6 個(gè) 1xx2 相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，x5 項(xiàng)可由下列幾種可能得到5 個(gè)因式中取x，一個(gè)取 1 得到 C 56 x5 3 個(gè)因式中取 x，一個(gè)取x 2 ，兩個(gè)取1 得到 C63C13 x3 (x 2 ) 1 個(gè)因式中取 x，兩個(gè)

6、取x 2 ，三個(gè)取1 得到 C16C 52 x (x2 )2 合并同類項(xiàng)為 (C56C63C31C16C52 ) x56x5 ， x5項(xiàng)的系數(shù)為 64. 求證：（ 1） C1n2C n2nCnnn 2n1；（ 2） C n0 1 C1n1 C n21 C nnn1 (2n 1 1) 23n 11分析： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C n0C1nC n2C nn2 n 解：（ 1）kCnkkn!(kn!n(k(n 1)!nC

7、 nk11k!(nk)!1)! ( n k)!1)! ( nk)!左邊nC n01nC1n 1nC nn11n(C0n 1C1n 1C nn11 )n 2n1右邊（ 2）1Cnk1n!k)!n!k)!k1k1 k!(n(k 1)! ( n1( n1)!1C nk11 n 1 (k 1)! (n k )!n 1左邊11121n1n 1 C n 1n 1Cn 1n 1 C n11(C1n 1C n21C nn11 )1(2n 11)右邊n1n1說(shuō)明： 本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解 此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式， 但這需要逆用二項(xiàng)式

8、定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求29C101028C10927C1082C10210 的結(jié)果仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(12)10 的展開式接近，但要注意：(1 2)10C100C1012 C10222C10929C1010 21012 1022 C10229 C109210 C101012(102C10228 C10929 C1010)從而可以得到： 102C10228 C10929 C10101 (3101) 25. 利用二項(xiàng)式定理證明：32n 289 是 64 的倍數(shù)n分析： 64 是 8 的平方，問題相當(dāng)于證明32 n 28n9 是 82 的倍數(shù)，為了使問題向

9、二項(xiàng)式定理貼近，變形32n29n 1(81) n1 ，將其展開后各項(xiàng)含有8k ，與 82 的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái)解： 32n 28n99n 18n 9 (8 1)n 18n 98n 1C1n 1 8nC nn11 82C nn 1 81 8n 98n 1C1n 1 8nC nn11 828(n 1) 1 8n 98n 1C1n 1 8nC nn11 82(8n 1C1n 18n2C nn11) 64是 64 的倍數(shù)說(shuō)明： 利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)8. 若將 ( x yz)10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）A 11B3

10、3C 55D 66分析： ( xyz)10看作二項(xiàng)式 ( xy)z10展開解： 我們把xyz看成 (xy)z ，按二項(xiàng)式展開，共有11“項(xiàng)”，即(x y z)10z1010C10k (xy)10 k zk ( xy)k 0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z 的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式( x y)10 k 展開，不同的乘積 C10k ( xy)10k zk （ k0,1,10 ）展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10k ( x y)10 kzk （ k 0 , 1 ,10）其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由( xy)10 k 決定，而且各項(xiàng)中x 和 y 的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)

11、故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為11109166 ，應(yīng)選 D1n9. 若x2的展開式的常數(shù)項(xiàng)為20，求 n x1n分 析 ： 題 中 x0 ， 當(dāng) x 0時(shí)，把三項(xiàng)式x轉(zhuǎn) 化 為2x1 2n12 n1n12nxx；當(dāng) x 0 時(shí)，同理x2(1)nx然xxxx后寫出通項(xiàng)，令含x 的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n 1n2 n解： 當(dāng) x0時(shí)2x1，其通項(xiàng)為xxxTr 1C 2rn ( x )2 n r (1 ) r( 1)r C2rn ( x) 2n 2 r ，x令 2n2r0 ，得 nr ，展開式的常數(shù)項(xiàng)為 (1)n C 2nn ；1n12n當(dāng) x0 時(shí)， x2( 1)nxx，x同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為( 1)

12、 n C 2nn無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為( 1) n C 2nn令 ( 1)n C 2nn10.x320 ，以 n 1 , 2 , 3 ,，逐個(gè)代入，得 n 3 1013 項(xiàng)小于第 4 項(xiàng)，則 x 的取值范圍是 _的展開式的第x分析： 首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開式的第3 項(xiàng)和第 4 項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可110解： 使x有意義，必須 x0 ；3x1213依題意，有 T3T4，即 C102 (x) 8C103 ( x)73x3x 109x109831（ x0 ）21321x解得 0x8 5648 9 x 的取值范圍是x 0x85 648 9應(yīng)填： 0x8 5648911. 已知 (xlog

13、 2 x1)n 的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求 x 的值解 ： 設(shè) 連 續(xù) 三 項(xiàng) 是 第 k 、 k1 、 k2 項(xiàng) （ k N且 k1），則有k 1 k k 1 ，CnCnCn1 2 3即n !n !n!1231)( nk1) !1)(nk1) !(kk ! (nk) !(k111123 k )(nk1)(nk )k (k1)(nkk (nk )1k1(n k )(n k 1)2n k 12k( k 1)2(k1)2k ( n k)3(n k)3n14 ， k5 所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、6、 7三項(xiàng)13log 2 x112 即 xlog

14、2 x8 又由已知， C14 x兩邊取以 2 為底的對(duì)數(shù)， (log 2 x)23 ， log 2x3， x2 3 ，或 x23 說(shuō)明： 當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解12. (1 2x)n 的展開式中第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)分析： 根據(jù)已知條件可求出n ，再根據(jù) n 的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解： T6Cn5 (2x)5， T7Cn6 (2x)6，依題意有C n5 25C n6 26n 8 (12x) 8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5 C84 (2x

15、)41120 x4設(shè)第 r1 項(xiàng)系數(shù)最大，則有C8r 2rC8r 12r 15r 6 C8r 2rC8r 12r 1 r 5 或 r 6 （ r0,1,2, ,8 ）系婁最大的項(xiàng)為： T61792 x5 ， T7 1792 x6 說(shuō)明： (1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n 為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n 為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2) 求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13. 設(shè) f (x) (1 x) m(1x)n ( m, n N ) ，若其展開式中關(guān)于x 的一次項(xiàng)的系數(shù)和

16、為 11，問 m , n 為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值分析： 根據(jù)已知條件得到x2 的系數(shù)關(guān)于n 的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題解： Cm1C1nnm11C m2Cn2 1 ( m2m n2n)m2n21122110 2mnn211n55(n 11) 299 224 n N ， n 5 或 6 ， m6或 5時(shí)， x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25說(shuō)明： 二次函數(shù) y(x11) 299的對(duì)稱軸方程為x11，即 x5.5，由于 5、 6 距2425.5 等距離， 且對(duì) nN，5 、6 距 5.5 最近，所以 (n11)299的最小值在 n5 或 n 624處取得1

17、4. 若 (3x1)7a7 x7a6 x6a1 xa0 ，求 (1)a1a2a7 ； (2)a1a3a5 a7 ； (3)a0a2 a4a6 解： (1) 令 x 0，則 a01，令 x1 ，則 a7a6a1a027128 a1a2a7129 (2) 令 x1，則a7a6a5a4a3a2a1a0 ( 4)7由 得：a1a3a5a71 128（47825622）(3) 由2得：a0a2a4a61（a6 a5a4a3a2a1a） a702（a7a6a5a4a3a2a1）a01 128(4)78128 2說(shuō)明：（ 1）本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2)

18、一般地，對(duì)于多項(xiàng)式 g (x) ( px q) na0 a1x a2 x2an xn ， g( x) 的各項(xiàng)的系數(shù)和為 g(1) ：g(x) 的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1g ( 1) g(1)2g(x) 的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 g(1)g ( 1)218. 在 (x23x2)5 的展開式中x 的系數(shù)為（）A 160B 240C 360D 800分析： 本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解解法 1：由 ( x23x2)5( x23x)25 ，得 Tk 1C 5k (x 23x) 5 k 2kC 5k 2k(x 23x)5 k 再一次使用通項(xiàng)公式得，Tr1C5k 2kC5rk3

19、rx102k r ，這里 0k5， 0 r5k令 102kr1，即 2kr9 所以 r1 ， k4 ，由此得到x 的系數(shù)為 C54243240 解法 2：由 ( x23x2)5( x1)5 ( x2)5 ，知(x1)5 的展開式中 x 的系數(shù)為 C54 ，常數(shù)項(xiàng)為1， ( x2)5 的展開式中x的系數(shù)為 C5424 ，常數(shù)項(xiàng)為 25 因此原式中 x 的系數(shù)為 C5425C5424240解法 3：將 ( x23x2) 5 看作 5 個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開式中 x 的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x 的系數(shù)3，從另外 4 個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C513 C4424240應(yīng)選 Bax99 ，

20、常數(shù) a 的值為 _19. 已知的展開式中 x3 的系數(shù)為x24分析： 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式解： 在 ax9的展開式中，x29rrrx13通項(xiàng)公式為 Trrar(1)ra9 r2r 91C9x2C92x 2根據(jù)題設(shè)， 3 r93 ，所以 r8代入通項(xiàng)公式，得T99 ax3216根據(jù)題意， 9a9，所以 a4 164應(yīng)填： 4 20. 若 n N，求證明： 32n 324n37 能被 64整除分析： 考慮先將 32 n 3 拆成與 8 的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開解： 32n324n37332n224n3739n124n373(81)n 124n373Cn018n1Cn118nCn21

21、8n 1C nn18Cnn1124n3738n1C118nC 218n1(n1) 8124n37nn38n1C n118nCn21 8n1Cnn11 82(8n9)24n37382 8n 1C n11 8n2Cn218n 3C nn11 3 (8n9) 24n 373 64 8n 1Cn1 1 8n 2C n2 1 8n 364 ， 8n 1 ， Cn1 1 8n 2 ， Cn2 1 8n 3 ，均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為64 的整數(shù)倍原式能被 64 整除說(shuō)明：用二項(xiàng)式定理證明整除問題， 大體上就是這一模式， 先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷