數(shù)值積分與微分方法

1、數(shù)值積分與微分 摘要本文首先列舉了一些常用的數(shù)值求積方法，一是插值型求積公式，以公式為代表，并分析了復合型的公式；另一個是求積公式，并給出幾個常用的求積公式。其次，本文對數(shù)值微分方法進行分析，主要是差分型數(shù)值微分和插值型數(shù)值微分，都給出了幾種常用的微分方法。然后，本文比較了數(shù)值積分與微分的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)值積分與微分都與插值或擬合密不可分。本文在每個方法時都分析了誤差余項，并且在最后都給出了MATLAB的調(diào)用程序。關(guān)鍵詞：插值型積分 差分數(shù)值微分 插值型數(shù)值微分 MATLAB7一、 常用的積分方法計算積分時，根據(jù)公式，但如果碰到以下幾種情況：1）被積函數(shù)以一組數(shù)據(jù)形式表示；2）被積函數(shù)過于特殊或者

2、原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示3）原函數(shù)十分復雜難以計算這些現(xiàn)象中，公式很難發(fā)揮作用，只能建立積分的近似計算方法，數(shù)值積分是常用的近似計算的方法。1.1 插值型積分公式積分中的一個常用方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體的步驟如下：在積分區(qū)間上上取一組節(jié)點：。已知的函數(shù)值，作的次插值多項式，則其中，為次插值基函數(shù)，則得公式寫成一般形式：其中，顯然，當被積函數(shù)為次數(shù)小于等于的多項式時，其相應(yīng)的插值型求積公式為準確公式，即：1.1.1 求積公式的代數(shù)精度定義：求積公式對于任何次數(shù)不大于的代數(shù)多項式均精確成立，而對于不精確成立，則稱求積公式具有次代數(shù)精度。定理：含有個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度

3、至少為。1.2 公式1.2.1 公式將積分區(qū)間等分，并取分點為求積公式，這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就是公式。其中，且系數(shù)滿足重要的關(guān)系式：時，求積公式為梯形公式（兩點公式）：梯形公式具有1階代數(shù)精度，余項為：=2時，求積公式為公式(三點公式)：公式具有3階代數(shù)精度，余項為：=4時，求積公式為公式（五點公式）：其中，公式具有5次代數(shù)精度，余項為：1.2.2 復合公式當積分區(qū)間過大時，直接使用公式所得的積分的近似值很難得到保證，因此在實際應(yīng)用中為了既能夠提高結(jié)果的精度，又使得算法簡便且容易在計算機上實現(xiàn)，往往采用復合求積的方法。所謂復合求積，就是先將積分區(qū)間分成幾個小區(qū)間，并從每個小區(qū)間上用低階

4、公式計算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從而得到所求積分的近似值，由此得到一些具有更大實用價值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復合求積公式。將區(qū)間等分，記分點為，其中，稱為步長，然后在每個小區(qū)間內(nèi)利用梯形公式，即可導出復合梯形公式：若將所得積分近似值記為，并注意到，則復合梯形公式為：其余項為：類似可得復合公式：其中，.其余項為：1.2.3 公式在MATLAB中的實現(xiàn)1）復合梯形數(shù)值積分：調(diào)用形式：Z=trapz(X,Y)其中，X,Y分別代表數(shù)目相同的向量或者數(shù)值，Y與X的關(guān)系可以是函數(shù)形態(tài)或者離散形態(tài)；Z代表返回的積分值。2）自適應(yīng)公式基本調(diào)用格式：q=quad（fun，a，b，tol，trace，

5、p1，p2）其中：fun代表被積函數(shù)；a，b為積分的上下限；q為積分結(jié)果；tol為默認誤差限，默認了1.e-6；trace表示取0表示不用圖形顯示積分過程，非0表示用圖形顯示積分過程；p1，p2為直接傳遞給函數(shù)fun的參數(shù)3）自適應(yīng)Lobatto法數(shù)值積分：quadl（） Quadl是高階的自適應(yīng)數(shù)值積分法函數(shù)，比quad函數(shù)更有效，精度更高，使用方法與quad完全相同。1.3 求積公式1、精度較高公式（1）多項式。以點為零點的n次多項式： 上式稱為多項式（2）求積公式。以多項式的n個實根為節(jié)點的插值求積公式為求積公式。考慮在上求積公式的構(gòu)造1）一個節(jié)點2）兩個節(jié)點二次正交多項式所以兩點的求積

6、公式為：對于一般區(qū)間的積分，可以用將區(qū)間轉(zhuǎn)化為，即然后用相應(yīng)的求積公式計算。（3）一般形式的求積公式為：其中是一個權(quán)重函數(shù)，為系數(shù)，為橫坐標上的節(jié)點。因為，所以，一個n點的求積公式具有如下形式：其中，是函數(shù)在節(jié)點處的值，節(jié)點是正交多項式的根。給出x和A的表格：n正交多項式102213,42、在MATLAB中的實現(xiàn)MATLAB沒有提供的有關(guān)計算函數(shù)，此處給出一部分的編程代碼：function q=gaussL（f，a，b，x，A）N=length（x）；T=zeros（1，N）；T=（a+b）/2+(b-a)/2)*x;q=(b-a)/2)*sum(A.*feval(f.T);其中，f為被積函數(shù)

7、；x和A的值可有上表查到。二、 數(shù)值微分數(shù)值微分的建立常用的三種思路：1、 直接從微分的定義出發(fā)，通過近似的處理（泰勒展開），得到數(shù)值微分的近似公式；2、 利用插值的基本思想，采用插值近似公式，對插值公式的近似求導得到原數(shù)值微分的近似公式3、 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用最小二乘擬合的方法，得到近似的函數(shù)，然后對此近似函數(shù)求微分就可以得到數(shù)值微分的近似公式。2.1 差分法近似微分1、計算公式在微積分中，一階微分的計算可以在相鄰點和間函數(shù)取得極限求得。所以給出下列差分近似式子：一階向前差分：一階向后差分：精度較高的一階中心差分：2、在MATLAB中的實現(xiàn)調(diào)用形式：Y=diff(X,n)其中：X表示求導變量

8、，可以是向量或者矩陣。如是矩陣形式則按照各列做差分；n表示n階差分，即差分n次；用diff函數(shù)進行離散數(shù)據(jù)的近似求導與向前差分近似，但誤差較大?？梢詫?shù)據(jù)利用插值或者擬合得到多項式，然后對近似多項式進行微分。2.2 插值型近似微分1、方法概述插值公式，使得其中，利用插值公式近似替代原函數(shù)，再對插值公式求導，可得插值型求導公式為：余項為：特別的，n=1時，可得一階微分兩點公式為：n=2時， 下面給出一個常用的五點公式：2、三次樣條插值函數(shù)求微分的MATLAB函數(shù)由于三次樣條插值的導數(shù)近似被插值函數(shù)導數(shù)的效果很好，此處給出三次樣條插值函數(shù)的MATLAB調(diào)用步驟：Step1：對離散數(shù)據(jù)用csapi函

9、數(shù)（或者spline函數(shù)），得到其三次樣條插值函數(shù)調(diào)用形式 pp=csapi（x，y）其中，x，y分別為離散數(shù)據(jù)對的自變量和因變量；pp為得到的三次樣條插值函數(shù)Step2：用fnder函數(shù)求三次樣條插值函數(shù)的導數(shù)調(diào)用形式 fprime=fnder（f，dorder）其中，f為三次樣條插值函數(shù)，dorder為三次樣條插值函數(shù)的求導階數(shù)； fprime為得到的三次樣條插值函數(shù)的導數(shù)值Step3：用fnval函數(shù)求導函數(shù)在未知點處的導數(shù)值調(diào)用形式 v=fnval（fprime，x）其中，fprime為三次樣條插值函數(shù)導函數(shù)；x為未知點處自變量值；v為未知點處的導數(shù)值。三、 數(shù)值積分與微分的比較1、數(shù)值解法微積分是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，在實際工程中有許多重要的應(yīng)用。微積分的數(shù)值解法，是不同于高等數(shù)學中的解析方法，適合求解沒有或者很那求出微分或者積分解析表達式的實際問題的計算。2、數(shù)值積分與微分與插值和擬合的關(guān)系數(shù)值微分與數(shù)值積分依賴插值和擬合，二者之間密不可分。比如在進行數(shù)值微分時，針對離散的數(shù)據(jù)點，常常利用插值和擬合來減少數(shù)據(jù)誤差。數(shù)值積分的基本思路也來自于插值法。比如當所積函數(shù)的形式比較復雜或是通過表格形式給出，則可以通過構(gòu)造插值多項式來代替原函數(shù)，簡化問題。插值型求積公式是以構(gòu)造插值函數(shù)代替原