拉格朗日方程28139

1、理論力學(xué)理論力學(xué)分析力學(xué)分析力學(xué)拉格朗日方程拉格朗日方程(1/17)(1/17)n達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理n達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理n動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程n 是因存在加速度而產(chǎn)生的有效力是因存在加速度而產(chǎn)生的有效力 ：體系在任何瞬間的主動(dòng)力、約束力和因：體系在任何瞬間的主動(dòng)力、約束力和因存在加速度而產(chǎn)生的有效力之和和等于零存在加速度而產(chǎn)生的有效力之和和等于零n達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾- -拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程(2/17)(2/17)n例：離心調(diào)速器由套筒例：離心調(diào)速器由套筒( (A, B和和C，mA = = mB = = m) )、兩拉桿、兩拉桿( (長(zhǎng)

2、長(zhǎng) l ) )及兩彈簧及兩彈簧( (系數(shù)系數(shù) k ) )組成；已知組成；已知彈簧無(wú)拉伸時(shí)，拉桿傾斜彈簧無(wú)拉伸時(shí)，拉桿傾斜a a0，求，求拉桿傾斜拉桿傾斜 a a 時(shí)的角速度時(shí)的角速度n虛位移虛位移n主動(dòng)力和因存在加速度而產(chǎn)生的有效力主動(dòng)力和因存在加速度而產(chǎn)生的有效力n達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾- -拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程(3/17)(3/17)n拉格朗日方程拉格朗日方程( (組組) )的基本形式的基本形式nn 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)系，個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)系，k 個(gè)約束方程個(gè)約束方程n約束要吸收進(jìn)方程：使用約束要吸收進(jìn)方程：使用 s= =3n- -k 個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo) q1 1, , , ,

3、 qsn符號(hào)簡(jiǎn)化約定符號(hào)簡(jiǎn)化約定n廣義速度廣義速度n稱稱 為廣義速度分量，總體為廣義速度分量，總體 為廣義速度為廣義速度n 是廣義坐標(biāo)是廣義坐標(biāo) 、廣義速度、廣義速度 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù)拉格朗日方程拉格朗日方程(4/17)(4/17)n有用的關(guān)系式有用的關(guān)系式n速度分量與廣義速度分量的關(guān)系速度分量與廣義速度分量的關(guān)系n速度分量與廣義坐標(biāo)的關(guān)系速度分量與廣義坐標(biāo)的關(guān)系n動(dòng)能與廣義坐標(biāo)、動(dòng)能與廣義坐標(biāo)、廣義速度分量廣義速度分量的關(guān)系的關(guān)系拉格朗日方程拉格朗日方程(5/17)(5/17)n逆效力的虛功的逆效力的虛功的廣義坐標(biāo)和速度形式廣義坐標(biāo)和速度形式n拉格朗日方程組拉格朗日方程組n二階

4、常微分方程二階常微分方程，數(shù)目等于體系的自由度，數(shù)目等于體系的自由度n沒(méi)有約束力出現(xiàn)，避免約束力越多方程就越多沒(méi)有約束力出現(xiàn)，避免約束力越多方程就越多n由動(dòng)能的由動(dòng)能的廣義坐標(biāo)和速度、時(shí)間形式，可得到拉格朗廣義坐標(biāo)和速度、時(shí)間形式，可得到拉格朗日方程組日方程組n從能量的角度研究物理問(wèn)題從能量的角度研究物理問(wèn)題拉格朗日方程拉格朗日方程(7/17)(7/17)n主動(dòng)力主動(dòng)力= =保守力保守力+ +非保守力非保守力 的拉格朗日方程組的拉格朗日方程組拉格朗日方程拉格朗日方程(8/17)(8/17)n動(dòng)能的廣義速度表述動(dòng)能的廣義速度表述nT2、T1 和和 T0 分別分別是廣義速度的二次、一次和零次齊次式

5、是廣義速度的二次、一次和零次齊次式拉格朗日方程拉格朗日方程(9/17)(9/17)n循環(huán)坐標(biāo)和廣義動(dòng)量積分循環(huán)坐標(biāo)和廣義動(dòng)量積分n循環(huán)坐標(biāo)：不出現(xiàn)在拉氏函數(shù)循環(huán)坐標(biāo)：不出現(xiàn)在拉氏函數(shù) L 中的廣義坐標(biāo)，即中的廣義坐標(biāo)，即n循環(huán)積分循環(huán)積分( (廣義動(dòng)量積分廣義動(dòng)量積分) )n與與循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量是體系的運(yùn)動(dòng)守恒量循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量是體系的運(yùn)動(dòng)守恒量n循環(huán)坐標(biāo)的多少，決定于廣義坐標(biāo)的選取循環(huán)坐標(biāo)的多少，決定于廣義坐標(biāo)的選取n例：在有心力作用下的二維平面質(zhì)點(diǎn)例：在有心力作用下的二維平面質(zhì)點(diǎn)拉格朗日方程拉格朗日方程(10/17)(10/17)* *n廣義廣義能量積分能量積分n歐拉齊次函數(shù)定

6、理歐拉齊次函數(shù)定理n拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)廣義速度表述廣義速度表述L2、L1 和和 L0 分別分別是二次、一次和零次齊次式是二次、一次和零次齊次式n廣義能量積分廣義能量積分/ /雅可比積分雅可比積分( (假設(shè)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間假設(shè)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間) )nE 是積分常數(shù)，對(duì)于非穩(wěn)定約束，機(jī)械能不守恒是積分常數(shù)，對(duì)于非穩(wěn)定約束，機(jī)械能不守恒n 稱為稱為廣義能量廣義能量拉格朗日方程拉格朗日方程(11/17)(11/17)n能量積分能量積分n能量積分能量積分( (穩(wěn)定約束，假設(shè)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間穩(wěn)定約束，假設(shè)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間) )nE 是積分常數(shù)，機(jī)械能守恒是積分常數(shù)，機(jī)械能守恒拉格朗日方程拉格朗日方程(15/17)(15/17)* *n碰撞問(wèn)題碰撞問(wèn)題n碰撞問(wèn)題的碰撞問(wèn)題的拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程對(duì)碰撞時(shí)間的積分拉格朗日方程對(duì)碰撞時(shí)間