分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

1、分類計數(shù)加法原理與分步計數(shù)乘法原理分類計數(shù)加法原理與分步計數(shù)乘法原理 從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？要回答這個問題，就要用到計數(shù)的兩個基本原理導(dǎo)入新課甲地乙地丙地丁地 從甲地到乙地，可以乘火車，也可從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有班，汽車有2班那班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法多少種不同的走法？ 因為一天中乘火車有因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2種走法，每一

2、種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：325（種）（種）分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理1、分類計數(shù)原理、分類計數(shù)原理定義：定義：（加法原理） 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n類辦法類辦法,在第一類辦法中有在第一類辦法中有m1種種不同的方法不同的方法,在第二類辦法中有在第二類辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn種不同的方法。種不同的方法。解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球

3、的袋子里取一個球一類是從裝白球的袋子里取一個球60個個40個個例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個球一類是從裝白球的袋子里取一個球60個個40個個例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求

4、法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球60個個40個個有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有60個紅球，個紅球，40個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球40個個60個個有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的

5、袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球有有60種取法。種取法。因此取法種數(shù)共有因此取法種數(shù)共有40+60=100（種）（種）例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有60個紅球，個紅球，40個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球40個個60個個 問題問題2：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村

6、去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南 解： 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3種方法, 第二步, 由B村去C村有2種方法, 所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 3 2 = 6 種不同的方法。2、分步計數(shù)原理、分步計數(shù)原理定義：定義： 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，種不同的方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法，那么完成這件事有 N=m1m2mn種不同的方法種不同的方法。（乘法原理）（乘法原理）例例2

7、： 兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球與個紅球與60個白球，個白球，從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？60個個40個個解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步來完成：來完成：第一步從裝白球的袋子里取一個白球，第一步從裝白球的袋子里取一個白球，例例2： 兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球與個紅球與60個白球，個白球，從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？60個個40個個解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步來完成：來完成

8、：第一步從裝白球的袋子里取一個白球，第一步從裝白球的袋子里取一個白球，有有60種取法；種取法；對于這每一種取法，第二步從裝紅球的對于這每一種取法，第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，都有袋子里取一個紅球，都有40種取法。種取法。因此取一個白球和一個紅球的方法共有因此取一個白球和一個紅球的方法共有60 40=2400（種）（種）思考：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系？思考：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系？聯(lián)系：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不聯(lián)系：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不 同方法的種數(shù)的問題同方法的種數(shù)的問題 。區(qū)別：分類計數(shù)原理與區(qū)別：分類計

9、數(shù)原理與“分類分類”有關(guān)，各種方法相互獨立，有關(guān)，各種方法相互獨立，用用 其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理 與與“分步分步”有關(guān)，有關(guān)， 各個步驟相互依存，只有各個步驟各個步驟相互依存，只有各個步驟都都 完成了，這件事才算完成完成了，這件事才算完成 。例例3： 某班級有男三好學(xué)生某班級有男三好學(xué)生5人人,女三好學(xué)生女三好學(xué)生4人。人。 (1)從中任選一人去領(lǐng)獎從中任選一人去領(lǐng)獎, 有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會,有有多少種不同的選法？多

10、少種不同的選法？解解: (1) 完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎這件事完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎這件事,共有共有2類辦法類辦法, 第一類辦法第一類辦法, 從男三好學(xué)生中任選一人從男三好學(xué)生中任選一人, 共有共有 m1 = 5 種種 不同的方法不同的方法; 第二類辦法第二類辦法, 從女三好學(xué)生中任選一人從女三好學(xué)生中任選一人, 共有共有 m2 = 4 種不種不 同的方法同的方法; 所以所以, 根據(jù)加法原理根據(jù)加法原理, 得到不同選法種數(shù)共有得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 + 4 = 9 種。種。例例3： 某班級有男三好學(xué)生某班級有男三好學(xué)生5人人,女三好學(xué)生女三好學(xué)生4人。人。 (1)從中任

11、選一人去領(lǐng)獎從中任選一人去領(lǐng)獎, 有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會,有有多少種不同的選法？多少種不同的選法？解解: (2) 完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會這件事會這件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步, 選一名男三好學(xué)生選一名男三好學(xué)生,有有 m1 = 5 種方法種方法; 第二步第二步, 選一名女三好學(xué)生選一名女三好學(xué)生,有有 m2 = 4 種方法種方法; 所以所以, 不同選法種數(shù)共有不同選法種數(shù)共有 N = 5 4 = 20 種。

12、種。點評點評: 解題的關(guān)鍵是從總體上看這件事情是解題的關(guān)鍵是從總體上看這件事情是“分類完成分類完成”,還是還是“分步完成分步完成”，“分類完成分類完成”用用“加法原理加法原理”，“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。 1 1、書架的第、書架的第1 1層放有層放有4 4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2 2層放有層放有3 3本不同本不同 的文藝書，第的文藝書，第3 3層放有層放有2 2本不同的體育書本不同的體育書（1 1）從書架上任取）從書架上任取1 1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第）從書架的第1、2、3層各取層各取1本書，有多少種不同的取法

13、？本書，有多少種不同的取法？ 4+3+2=9（種）（種）4 3 2=24（種）（種）2、由數(shù)字、由數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成多少個四位數(shù)？可以組成多少個四位數(shù)？ （各位上的數(shù)字不允許重復(fù)）（各位上的數(shù)字不允許重復(fù)）6 5 4 3=360（個）（個）3、一種號碼鎖有、一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從個撥號盤，每個撥號盤上有從0到到9共共10個個 數(shù)字，數(shù)字， 這這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？ 10 10 10 10=104練習(xí)1 有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類分類”“”“分分步步”可以解決的，而

14、要將可以解決的，而要將“分類分類”“”“分步分步”結(jié)合起來結(jié)合起來運用一般是先運用一般是先“分類分類”，然后再在每一類中，然后再在每一類中“分分步步”， 綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理請看綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理請看下面的例題：下面的例題： 注意注意例例4： 某城市電話號碼由某城市電話號碼由8位組成，其中從左邊算起的第位組成，其中從左邊算起的第1位只用位只用6或或8，其余，其余7位可以從前位可以從前10個自然數(shù)個自然數(shù)0，1，2，,9中任意中任意選取，允許數(shù)字重復(fù)。試問：該城市最多可裝電話多少門？選取，允許數(shù)字重復(fù)。試問：該城市最多可裝電話多少門？1 2 3 4 5 6 7 8第

15、第1類類6解：裝一門電話需要指定一個解：裝一門電話需要指定一個電話號碼，由題意電話號碼可以電話號碼，由題意電話號碼可以分成兩類：分成兩類：第第1類電話號碼第類電話號碼第1位用位用6， 確定其余確定其余7位號碼可以分位號碼可以分7步完成。步完成。10 10 10 10 10 10 10因此第一類電話號碼共有因此第一類電話號碼共有10 10 10 10 10 10 10=1071 2 3 4 5 6 7 8第第2類類8同理，第同理，第2類電話號碼也有類電話號碼也有10 個，個，7因此，該城市所用的電話號碼共有因此，該城市所用的電話號碼共有10 +10 =2 10 個個從而最多可裝電話從而最多可裝電

16、話2 10 門，即兩千萬門。門，即兩千萬門。7777 某中學(xué)的一幢某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓到樓到 5樓樓共有多少共有多少 種不同的走法？種不同的走法？ 3 3 3 3=81（種）（種）練習(xí)2 從甲地到乙地有從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有條路，從乙地到丁地有2條路；條路；從甲地到丙地有從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有條路，從丙地到丁地有4條路，條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？問：從甲地到丁地有多少種走法？甲地乙地丙地丁地解：要完成從甲地到丁地這件事情有解：要完成從甲地到丁地這件事情有兩種路線可以走，即可以分為兩類：兩種路線可以走，即可以分

17、為兩類：甲地甲地 乙地乙地 丁地丁地甲地甲地 丙地丙地 丁地丁地第一類又可以分為兩步，第一步有第一類又可以分為兩步，第一步有3種種方法，第二步有方法，第二步有2種方法，因此第一類種方法，因此第一類走法有走法有3 2=6（種）（種）同理第二類走法有同理第二類走法有3 4=12（種）（種）所以，從甲地到丁地有所以，從甲地到丁地有6+12=18種走法。種走法。小結(jié)請同學(xué)們回答下面的問題請同學(xué)們回答下面的問題 :1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些主要內(nèi)容？本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些主要內(nèi)容？ 答答: 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理。分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理。 2. 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的共同點是什么？不同點什么？分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的共同點是什么？不同點什么？ 答答: 共同點是共同點是, 它們都是研究完成一件事情它們都是研究完成一件事情, 共有多少共有多少種不同的方法。種不同的方法。 不