極限存在準(zhǔn)則,兩個重要極限

1、西南石油大學(xué)高等數(shù)學(xué)專升本講義 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限【教學(xué)目的】1、了解函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則； 2、掌握兩個常用的不等式；3、會用兩個重要極限求極限?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、夾逼準(zhǔn)則； 2、單調(diào)有界準(zhǔn)則； 3、兩個重要極限?！局攸c難點】重點是應(yīng)用兩個重要極限求極限。難點是應(yīng)用函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則證明極限存在，并求極限?！窘虒W(xué)設(shè)計】從有限到無窮，從已知到未知，引入新知識（5分鐘）。首先給出極限存在準(zhǔn)則（20分鐘），并舉例說明如何應(yīng)用準(zhǔn)則求極限（20分鐘）；然后重點講解兩個重要的極限類型，并要求學(xué)生能利用這兩個重要極限求極限（40分鐘）；課堂練習(xí)（15分鐘）?！臼谡n內(nèi)容】引入：考慮下面幾個數(shù)

2、列的極限1、1000個0相加，極限等于0。2、無窮多個“0”相加，極限不能確定。3、，其中，極限不能確定。對于2、3就需要用新知識來解決，下面我們來介紹極限存在的兩個準(zhǔn)則：一、極限存在準(zhǔn)則1. 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列及滿足下列條件:那么數(shù)列的極限存在, 且.證： 取上兩式同時成立, 當(dāng)時，恒有 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則 如果當(dāng) (或)時,有那么存在, 且等于.準(zhǔn)則 I和準(zhǔn)則 I'稱為夾逼準(zhǔn)則?！咀⒁狻坷脢A逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是構(gòu)造出與，并且與的極限是容易求的。例1 求解： 由夾逼定理得：【說明】夾逼準(zhǔn)則應(yīng)恰當(dāng)結(jié)合“放縮法”使用2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必

3、有極限.如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。幾何解釋:例2 證明數(shù)列（重根式）的極限存在【分析】已知，求。首先證明是有界的，然后證明是單調(diào)的，從而得出結(jié)論證：1、證明極限存在a) 證明有上界，設(shè)，則所以對任意的n，有b) 證明單調(diào)上升所以存在2、求極限設(shè)，則，解得（舍去）所以=2二、兩個重要極限1.如右圖所示， 例3 求下列極限（1）解：原極限 （2）解：原極限=1（）（3）解：原極限=；2. ，；“”型【說明】（1）上述三種形式也可統(tǒng)一為模型（2）第二個重要極限解決的對象是型未定式。例如，例4 求下列極限（1

4、）解：原極限 （2）解：原極限=【補充】“”型計算公式：其中時，。證明：例5 求下列極限（1）【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式解：=1（2）【分析】是冪指函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式。解：原極限。（3）【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“”型，考慮用“”型計算公式，但它不是標(biāo)準(zhǔn)型，通過“加1減1”變成標(biāo)準(zhǔn)型。解：原極限=【思考題1】設(shè)有k個正數(shù)，令=，求 （“大數(shù)優(yōu)先”準(zhǔn)則）。解：而，所以由夾逼準(zhǔn)則：【思考題2】設(shè)，求解：顯然 。因為，所以數(shù)列有下界。又因為，所以數(shù)列單調(diào)下降，即存在。設(shè)=，則，解得，所以=【思考題3】求；解：原極限=【思考題4】求極限解： 【課堂練習(xí)】求 。解：而 ，所以 原極限【內(nèi)容小結(jié)】1、 夾逼準(zhǔn)則 當(dāng)時，有，且=，則。2、單調(diào)有界準(zhǔn)則