概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)復(fù)習(xí)試題及答案

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計真題講解（一）單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容，且P（A）0,P（B）0，則（）A.P（B|A）0B.P（A|B）0C.P（A|B）P（A） D.P（AB）P（A）P（B）正確答案分析：本題考察事件互不相容、相互獨(dú)立及條件概率。解析：A： ，因?yàn)锳與B互不相容，P（AB）0，正確；顯然，B，C不正確；D：A與B相互獨(dú)立。故選擇A。提示： 注意區(qū)別兩個概念：事件互不相容與事件相互獨(dú)立； 條件概率的計算公式：P（A）0時，。2.設(shè)

2、隨機(jī)變量XN（1，4），F(xiàn)（x）為X的分布函數(shù)，（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則F（3）（）A.（0.5）B.（0.75）C.（1）D.（3）正確答案分析：本題考察正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化。解析： ，故選擇C。提示：正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化是非常重要的方法，必須熟練掌握。 3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f （x） 則P0X（）正確答案分析：本題考察由一維隨機(jī)變量概率密度求事件概率的方法。第33頁解析： ，故選擇A。提示：概率題目經(jīng)常用到“積分的區(qū)間可加性”計算積分的方法。 4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f （x） 則常數(shù)c（）A.3 B.1C. D.1正確答案分析：本題考察概率密度的性質(zhì)。解析：1 ，所以c1，故選擇

3、B。 提示：概率密度的性質(zhì)：1.f（x）0；4.在f（x）的連續(xù)點(diǎn)x，有F（X）f（x）；F（x）是分布函數(shù)。課本第38頁5.設(shè)下列函數(shù)的定義域均為（，），則其中可作為概率密度的是（）A.f （x）exB. f （x）exC. f （x）D.f （x） 正確答案分析：本題考察概率密度的判定方法。解析： 非負(fù)性：A不正確； 驗(yàn)證：B：發(fā)散；C：，正確；D：顯然不正確。故選擇C。提示：判定方法：若f（x）0，且滿足，則f（x）是某個隨機(jī)變量的概率密度。 6.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）N（1,2，），則Y （）正確答案分析：本題考察二維正態(tài)分布的表示方法。解析：顯然，選擇D。 7.已知隨機(jī)變量X的概率

4、密度為f （x） 則E（X）（）A.6B.3C.1D.正確答案分析：本題考察一維連續(xù)型隨機(jī)變量期望的求法。解析：解法一：根據(jù)記憶，均勻分布的期望為 ； 解法二：根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量期望的定義， 故選擇B。提示：哪種方法熟練就用哪種方法。 8.設(shè)隨機(jī)變量X與Y 相互獨(dú)立，且XB（16，0.5），Y服從參數(shù)為9的泊松分布，則D（X2Y3）（）A.14B.11C.40D.43正確答案分析：本題考察方差的性質(zhì)。解析：因?yàn)閄B（16，0.5），則D（X）n p（1-p）16×0.5×0.54；YP（9）,D（Y）9，又根據(jù)方差的性質(zhì)，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時，有D（X2Y3）D（X（2）Y3

5、）D（X）D（2Y）43640 故選擇C。提示： 對于課本上介紹的六種常用的分布，它們的分布律（概率密度）、期望、方差都要記住，在解題中，可直接使用結(jié)論； 方差的性質(zhì)：(1)D(C)=0 (2) D（aXb）a2D（x）； (3) 若X與Y相互獨(dú)立時，D（XY）D（X）D（Y）。（4）D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）這里協(xié)方差cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）9.設(shè)隨機(jī)變量ZnB（n，p），n1，2，其中0<p<1，則 （）正確答案分析：本題考察棣莫弗拉普拉斯中心極限定理。解析：由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理故選擇B。 提示： 正確理解中心極限定理的

6、意義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，不管隨機(jī)變量服從何種分布，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮大時，它的極限分布都是正態(tài)分布，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?？梢娬龖B(tài)分布在概率統(tǒng)計中是如何重要的！ 如何記憶中心極限定理定理結(jié)論：定理5.4：獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列Xi，E（Xi）n，D（Xi）n2， ，分布函數(shù)為Fn（x），則 ； 拉普拉斯中心極限定理同樣記憶。10.設(shè)x1，x2，x3，x4為來自總體X的樣本，D（X）2，則樣本均值的方差D（）（）正確答案分析：本題考察樣本均值的方差。解析：課本P122，定理6.1，總體X （，2），則 ，E（S2） 2。故選擇D。 （二）填空題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）請?jiān)诿啃?/p>

7、題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P（A）P（B），則P（A）.正確答案分析：本題考察事件的獨(dú)立性及“和事件”的概率的求法。解析：因事件A與B相互獨(dú)立，事件A與也相互獨(dú)立，則 ，所以故填寫 。提示： 四對事件：（A、B），（A、），（、B），（、）其一獨(dú)立則其三獨(dú)立； 加法公式：P（AB）P（A）P（B）P（AB）是必考內(nèi)容，記?。?12.設(shè)袋內(nèi)有5個紅球、3個白球和2個黑球，從袋中任取3個球，則恰好取到1個紅球、1個白球和1個黑球的概率為_.正確答案分析：本題考察古典概型。解析： 故填寫。提示：不要發(fā)生計算錯誤！ 13.設(shè)A為隨機(jī)事件，P（A）0.3

8、，則P（）_.正確答案分析：本題考察對立事件概率。解析：故填寫0.7 14.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為.記YX2，則PY4_.正確答案分析：本題考察隨機(jī)變量函數(shù)的概率。解析：PY4PX24P（X2）（X=2）0.10.40.5；也可求出Y的分布律Y014P0.20.30.5得到答案。故填寫0.5.提示：互斥事件和的概率概率的和。 15.設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則PX5_.正確答案分析：本題考察連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)的概率。解析：設(shè)X的概率密度為f（x），則 ，故填寫0.提示：積分為0：被積函數(shù)為0；積分上限積分下限。 16.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），已知F（2）0.5，F(xiàn)（3）0.1，則P3&

9、lt;X2_.正確答案分析：本題考察用分布函數(shù)求概率的方法。解析：P3X2F（2）F（3）0.50.10.4，故填寫0.4. 提示：分布函數(shù)的性質(zhì)：1. F（x）PXx；2.F（） 0，F(xiàn)（）1；3. PaXbF（b）F（a）；4. F（x）f（x），在f（x）的連續(xù)點(diǎn)。 17.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）則當(dāng)x0時，X的概率密度f （x）_.正確答案分析：本題考察分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系。解析：x0時，故填寫。提示： 分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系：設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則F（x）存在，且F（x）f（x）； 注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法。18.若隨機(jī)變量XB（4， ），則PX1_.正確答案分析

10、：本題考察二項(xiàng)分布的概率。解析：已知隨機(jī)變量XB（4，），則X的分布律為，k0，1，2，3，4則。故填寫。提示：記住符號的意義。 19.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f （x，y）則PXY1_.正確答案分析：本題考察連續(xù)型二維隨機(jī)變量的概率。解析：。故填寫 。提示：被積函數(shù)常數(shù)時，二重積分的值積分區(qū)域的面積。 20.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X202P0.40.20.4則X的數(shù)學(xué)期望E（X）_.正確答案分析：本題考察離散型隨機(jī)變量的期望。解析：E（X）（-2）×0.4+0×0.2+2×0.40故填寫0. 21.設(shè)隨機(jī)變量XN（0，4），則E（X2）_.正確答案分

11、析：本題考察隨機(jī)變量函數(shù)的期望的求法。解析：已知XN（0，4），則E（X）=0，D（X）=4，由D（X）=E（X2）-E（X）2，E（X2）= D（X）+ E（X）2 =4+0=4，故填寫4. 22.設(shè)隨機(jī)變量XN（0，1），YN（0，1），Cov（X,Y）0.5，則D（XY）_.正確答案分析：本題考察方差的性質(zhì)。解析：已知XN（0，1），YN（0，1），D（X）=D（Y）=1D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）=1+1+2×0.5=3， 故填寫3. 23.設(shè)X1，X2，Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，E（Xn），D（Xn）2，n1,2，,則 _.正確答案分析：本

12、題考察中心極限定理的應(yīng)用。解析：由定理54（P112）=0.5故填寫 0.524.設(shè)x1，x2，xn為來自總體X的樣本，且XN（0,1），則統(tǒng)計量 _.正確答案分析：本題考察統(tǒng)計量的分布之一x2布的定義。解析：由x2分布定義 ，故填寫x2（n）。 25.設(shè)x1，x2，xn為樣本觀測值，經(jīng)計算知,nx2 64，則_.正確答案分析：本題考察樣本的偏差平方和。解析： 故填寫36.提示：這是一個非常不被重視的內(nèi)容，在課本P135，希望注意全面復(fù)習(xí)。（三）計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）26.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間0，1上的均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且X與Y相互獨(dú)立，求E（XY）.

13、正確答案分析：本題主要考察協(xié)方差的性質(zhì)。解：因?yàn)閄服從區(qū)間0，1上的均勻分布，所以 ，又Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，所以，由協(xié)方差性質(zhì)知，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時，cov（X,Y）=0，又cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y），所以，。 27.設(shè)某行業(yè)的一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)服從正態(tài)分布N（,2），其中,2均未知.今獲取了該指標(biāo)的9個數(shù)據(jù)作為樣本，并算得樣本均值56.93，樣本方差s2（0.93）2.求的置信度為95%的置信區(qū)間.（附：t0.025（8）2.306）正確答案分析：本題考察單正態(tài)總體、方差未知，均值的區(qū)間估計。解：由已知，XN（，2），但，2均未知，對估計，這時可用t統(tǒng)計量，因?yàn)閠（n-1），

14、由推導(dǎo)可得的1-置信區(qū)間為，又已知樣本容量n=9，1-=95%，=0.05，所以，將樣本容量n=9，代入上式，得所以，該項(xiàng)指標(biāo)均值的所求置信區(qū)間為56.93-0.715,56.93+0.715=56.215,57.645 提示：本題尤其要注意書寫，以免書寫不當(dāng)丟分。 （四）綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28.設(shè)隨機(jī)事件A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P（A1）0.4，P（A2）0.5，P（A3）0.7.求：（1）A1，A2，A3恰有一個發(fā)生的概率；（2）A1，A2，A3至少有一個發(fā)生的概率.正確答案分析：本題考察事件的概率的求法。解：（1）事件“A1，A2，A3恰有一個發(fā)生”表示

15、為又事件A1，A2，A3相互獨(dú)立，則所求概率為0.4（10.5）（10.7）（10.4）0.5（10.7）（10.4）（10.5）0.70.36所以，A1，A2，A3恰有一個發(fā)生的概率為0.36.（2）事件“A1，A2，A3至少有一個發(fā)生”的對立事件是“A1，A2，A3全不發(fā)生”所以，P（“A1，A2，A3至少有一個發(fā)生”）1P（A1，A2，A3全不發(fā)生）1（10.4）（10.5）（10.7）0.91所以，A1，A2，A3至少有一個發(fā)生的概率為0.91. 29.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為（1）求（X，Y）分別關(guān)于X,Y的邊緣分布律；（2）試問X與Y是否相互獨(dú)立，為什么？正確答案分析：本

16、題考察二維隨機(jī)變量的兩個分量的邊緣密度及相互獨(dú)立的驗(yàn)證方法。解：（1）由二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律得X的邊緣分布律為 X01P0.30.7Y的邊緣分布律為Y012P0.40.20.4（2）驗(yàn)證：PX=0PY=0=0.3×0.4=0.12而PX=0,Y=0=0.20.12所以，X 與 Y 不相互獨(dú)立。提示：若證明X與Y相互獨(dú)立，必須逐一驗(yàn)證全部PX=xi PY=yi= PX=xi, Y=yi 的正確性；若證明X 與Y不相互獨(dú)立，只需驗(yàn)證其中一個PX=xiPY=yiPX=xi, Y=yi 即可。 （五）應(yīng)用題（10分）定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=µ，方差D（X）=2則P|X-µ|2/2 此不等式稱為切比雪夫