煤炭協(xié)會(huì)網(wǎng)絡(luò)課程《誤差理論與測(cè)量平差》復(fù)習(xí)題

1、煤炭協(xié)會(huì)網(wǎng)絡(luò)課程誤差理論與測(cè)量平差復(fù)習(xí)題一、 寫出五種衡量精度指標(biāo)的名稱，并指出他們之間的關(guān)系是什么？答：五種衡量精度指標(biāo)的名稱：方差或中誤差，平均誤差，或然誤差，相對(duì)誤差和極限誤差； 關(guān)系：方差，平均誤差，或然誤差，相對(duì)誤差，極限誤差=2或3。二、 已知獨(dú)立觀測(cè)值、的中誤差分別為、，求下列函數(shù)的中誤差： （1） ； （2） ； （3） 。解 (1) =，利用協(xié)方差轉(zhuǎn)播公式：（2），此式是非線性形式，需要線性化，對(duì)上式求全微分得：利用協(xié)方差轉(zhuǎn)播公式： （3），此式是非線性形式，需要線性化，對(duì)上式求全微分得：三、 若要在兩堅(jiān)強(qiáng)點(diǎn)間布設(shè)一條附合水準(zhǔn)路線，已知每公里觀測(cè)中誤差等于，欲使平差后線路中點(diǎn)

2、高程中誤差不大于，問(wèn)該路線長(zhǎng)度最多可達(dá)幾公里？ 解 設(shè)路線總長(zhǎng)S公里，按照測(cè)量學(xué)上的附合路線計(jì)算步驟，則路線閉合差 由于是路線中點(diǎn)，故則線路中點(diǎn)高程設(shè)每公里高差觀測(cè)中誤差為，則按誤差傳播定律四、 設(shè)點(diǎn)及點(diǎn)的坐標(biāo)為： 向量的協(xié)方差陣為：(cm)2試求坐標(biāo)差函數(shù)與的方差協(xié)方差陣；解：則坐標(biāo)差函數(shù)與的方差協(xié)方差陣：五、 有三角網(wǎng)（如圖1），其中、為已知點(diǎn)，、為待定點(diǎn)，觀測(cè)角（=1，2，10）。試寫條件方程式并對(duì)非線性的條件方程進(jìn)行線性化； 圖1 解：本題，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為10個(gè)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)是6個(gè)（3個(gè)未知點(diǎn)），可以列4個(gè)條件，分別為2個(gè)三角圖形條件、1個(gè)圓周角條件、1個(gè)極條件。2個(gè)三角圖形條件：1個(gè)圓

3、周角條件：1個(gè)極條件：這個(gè)極條件為：利用泰勒級(jí)數(shù)展開并取至一次項(xiàng)，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可以得到以下規(guī)律，（總結(jié)其規(guī)律性）六、 在圖2中,是已知點(diǎn), 為待定點(diǎn),網(wǎng)中觀測(cè)了12個(gè)角度和6條邊長(zhǎng)。已知測(cè)角中誤差為，邊長(zhǎng)測(cè)量中誤差為cm，試用符號(hào)表示12號(hào)觀測(cè)角和18號(hào)觀測(cè)邊的誤差方程（線性化）和權(quán)。hjk圖2解：根據(jù)一般公式：該式子是是對(duì)應(yīng)上面的圖形，針對(duì)本題的12號(hào)觀測(cè)角，則：kj邊長(zhǎng)：該式子是是對(duì)應(yīng)上面的圖形，針對(duì)本題的18觀測(cè)邊，則：七、 已知觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為，求條件平差。解：根據(jù)條件平差的基礎(chǔ)方程，建立平差值與觀測(cè)值之間的關(guān)系式子因?yàn)椋跅l件平差中：八、 已知觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為，求間接平差。解：根據(jù)間

4、接平差的基礎(chǔ)方程，建立平差值與未知數(shù)之間的關(guān)系式子在間接平差中：法方程為：則由于，則九、 寫出所學(xué)過(guò)的四種經(jīng)典平差方法的名稱和各自的特點(diǎn)以及適用的條件。解：條件平差法是一種不選任何參數(shù)的平差方法，通過(guò)列立觀測(cè)值的平差值之間滿足r個(gè)條件方程來(lái)建立函數(shù)模型，方程的個(gè)數(shù)為c=r個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)也為r個(gè)，通過(guò)平差可以直接求得觀測(cè)值的平差值，是一種基本的平差方法。但該方法相對(duì)于間接平差而言，精度評(píng)定較為復(fù)雜，對(duì)于已知點(diǎn)較多的大型平面網(wǎng)，條件式較多而列立復(fù)雜、規(guī)律不明顯。附有參數(shù)的條件平差需要選擇u個(gè)參數(shù)，且ut,參數(shù)之間要求必須獨(dú)立，通過(guò)列立觀測(cè)值之間或觀測(cè)值與參數(shù)之間滿足的條件方程來(lái)建立函數(shù)模型，方程

5、的個(gè)數(shù)為c=r+u個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)為r+u個(gè)。常適合于下述情況：需要求個(gè)別非直接觀測(cè)量的平差值和精度時(shí)，可以將這些量設(shè)為參數(shù)；當(dāng)條件方程式通過(guò)直接觀測(cè)量難以列立時(shí)，可以增選非觀測(cè)量作為參數(shù)，以解決列立條件式的困難。間接平差需要選擇u=t個(gè)參數(shù)，而且要求這t個(gè)參數(shù)必須獨(dú)立，模型建立的方法是將每一個(gè)觀測(cè)值表示為所選參數(shù)的函數(shù)，方程的個(gè)數(shù)為c=r+u=n個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)為t個(gè)，通過(guò)解算法方程可以直接求得參數(shù)的平差值。最大的優(yōu)點(diǎn)是方程的列立規(guī)律性強(qiáng)，便于用計(jì)算機(jī)編程解算；另外精度評(píng)定非常便利；再者，所選參數(shù)往往就是平差后所需要的成果。如水準(zhǔn)網(wǎng)中選待定點(diǎn)高程作參數(shù)，平面網(wǎng)中選待定點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)。由于r+

6、t=n，說(shuō)明條件平差與間接平差的法方程個(gè)數(shù)之和等于觀測(cè)值個(gè)數(shù)，因此，當(dāng)某一平差問(wèn)題的r與t相差較大時(shí)，若rt，則采用間接平差，這樣就可保證法方程的階數(shù)較少。附有條件的間接平差與間接平差類似，不同的是所選參數(shù)的個(gè)數(shù)ut，但要求必須包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，不獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)為s=u-t個(gè)，因此，模型建立時(shí)，除按間接平差法對(duì)每一個(gè)觀測(cè)值列立一個(gè)方程外，還要列出參數(shù)之間所滿足的s個(gè)限制條件方程，方程的總數(shù)為c=r+u=n+s個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)為u+s個(gè)。十、 已知某平面控制網(wǎng)經(jīng)平差后點(diǎn)的坐標(biāo)協(xié)因數(shù)陣為：，單位權(quán)方差，（1）試求極值方向和，極大值和極小值；（2）求與X軸夾角成方向的位差，以及與極大值方向夾角成方向

7、的位差。解：（1）極值方向的計(jì)算與確定所以，因?yàn)樗詷O大值在二、四象限，所以有方法一：直接利用公式一計(jì)算：，方法二：利用公式二進(jìn)行計(jì)算：，兩種方法計(jì)算的相同。（2）將直接代入公式：十一、 舉出系統(tǒng)誤差和偶然誤差的例子各5個(gè)。答：系統(tǒng)誤差：鋼尺的名譽(yù)長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度不一致；尺不水平，尺反曲或垂曲，尺端偏離直線方向；水準(zhǔn)測(cè)量中儀器下沉，水準(zhǔn)測(cè)量中水準(zhǔn)尺豎立不直。偶然誤差：角度測(cè)量時(shí)讀數(shù)不準(zhǔn)確，瞄準(zhǔn)目標(biāo)不準(zhǔn)確，對(duì)中誤差，整平誤差，鋼尺上估讀誤差。十二、 已知觀測(cè)值及其協(xié)方差陣，組成函數(shù)和，、為常數(shù)陣，求協(xié)方差陣、和。解：由于則：十三、 有一角度測(cè)20測(cè)回，得中誤差，問(wèn)再增加多少測(cè)回，其中誤差為？ 解：

8、設(shè)每個(gè)測(cè)回的中誤差為，需要再增加n個(gè)測(cè)回，則由上式可解出n.即再增加25個(gè)測(cè)回十四、 在圖1中，A，B點(diǎn)為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，P1，P2，P3，P4為待定水準(zhǔn)點(diǎn)，觀測(cè)高差向量為，試列出條件平差的平差函數(shù)模型（將條件方程寫成真值之間的關(guān)系式）。 （10分）A圖1h3h1P1P3P2P4Bh2h4h6h5h7h8 圖22解： n=8, t=4, r = n-t = 4，可以列4個(gè)條件方程式。十五、 在如圖2的水準(zhǔn)網(wǎng)中，為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，為待定點(diǎn)，觀測(cè)高差向量為，現(xiàn)選取點(diǎn)高程為未知參數(shù)，試列出間接平差的函數(shù)模型。解：n=5,t=3,r=n-t=2十六、 已知觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為，求間接平差。解：根據(jù)間接平差的基礎(chǔ)

9、方程，建立平差值與未知數(shù)之間的關(guān)系式子在間接平差中：法方程為：則十七、 簡(jiǎn)述條件平差方法和間接平差方法的各自特點(diǎn)以及適用的條件。解：條件平差法是一種不選任何參數(shù)的平差方法，通過(guò)列立觀測(cè)值的平差值之間滿足r個(gè)條件方程來(lái)建立函數(shù)模型，方程的個(gè)數(shù)為c=r個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)也為r個(gè)，通過(guò)平差可以直接求得觀測(cè)值的平差值，是一種基本的平差方法。但該方法相對(duì)于間接平差而言，精度評(píng)定較為復(fù)雜，對(duì)于已知點(diǎn)較多的大型平面網(wǎng)，條件式較多而列立復(fù)雜、規(guī)律不明顯。間接平差需要選擇u=t個(gè)參數(shù)，而且要求這t個(gè)參數(shù)必須獨(dú)立，模型建立的方法是將每一個(gè)觀測(cè)值表示為所選參數(shù)的函數(shù)，方程的個(gè)數(shù)為c=r+u=n個(gè)，法方程的個(gè)數(shù)為t個(gè)，

10、通過(guò)解算法方程可以直接求得參數(shù)的平差值。最大的優(yōu)點(diǎn)是方程的列立規(guī)律性強(qiáng)，便于用計(jì)算機(jī)編程解算；另外精度評(píng)定非常便利；再者，所選參數(shù)往往就是平差后所需要的成果。如水準(zhǔn)網(wǎng)中選待定點(diǎn)高程作參數(shù)，平面網(wǎng)中選待定點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)。由于r+t=n，說(shuō)明條件平差與間接平差的法方程個(gè)數(shù)之和等于觀測(cè)值個(gè)數(shù)，因此，當(dāng)某一平差問(wèn)題的r與t相差較大時(shí)，若rt，則采用間接平差，這樣就可保證法方程的階數(shù)較少。 十八、 簡(jiǎn)述偶然誤差的四個(gè)特性。答：1.在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說(shuō)，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零，稱為“有界性”。2.絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大，稱為“密集性”。3.絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同，稱為“對(duì)稱性”。4.偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即：。換句話說(shuō)，偶然誤差的理論平均值為零，稱為“趨零性”。十九、 設(shè)有函數(shù)，其中， 、是無(wú)誤差的常數(shù)，的權(quán)為，。求函數(shù)的權(quán)倒數(shù)。解： 由題意可求出即：同理可得：二十、 已知觀測(cè)值向量，其協(xié)因數(shù)陣為單位陣。有如下方程：，式中：為已知的系數(shù)陣，為可逆矩陣。求（1）協(xié)因數(shù)陣、；（2）證明與和均互不相關(guān)。解：(1)L 的協(xié)因數(shù)陣為單位陣E. (2).因?yàn)?V=BX-L,因?yàn)?