概率論第7章7-2

1、第二節(jié)第二節(jié) 基于截尾樣本的最大基于截尾樣本的最大似然估計(jì)似然估計(jì)一、基本概念一、基本概念二、二、基于截尾樣本的最大似然估計(jì)基于截尾樣本的最大似然估計(jì)三、小結(jié)三、小結(jié)一、基本概念一、基本概念1. 壽命分布的定義壽命分布的定義產(chǎn)品壽命產(chǎn)品壽命T 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,它的分布稱為它的分布稱為壽命分布壽命分布.2. 完全樣本的定義完全樣本的定義.) 0 ( , . , 0 21叫完全樣本叫完全樣本所組成的樣本所組成的樣本的失效時(shí)間的失效時(shí)間即由所有產(chǎn)品即由所有產(chǎn)品這樣得到的樣本這樣得到的樣本品的失效時(shí)間品的失效時(shí)間記錄每一個(gè)產(chǎn)記錄每一個(gè)產(chǎn)都失效都失效投入試驗(yàn)直到每個(gè)產(chǎn)品投入試驗(yàn)直到每個(gè)產(chǎn)品

2、同時(shí)同時(shí)時(shí)時(shí)個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間將隨機(jī)抽取的將隨機(jī)抽取的nttttn (一種典型的壽命試驗(yàn)一種典型的壽命試驗(yàn))如果不能得到完全樣本如果不能得到完全樣本, 就考慮截尾壽命試驗(yàn)就考慮截尾壽命試驗(yàn).3. 兩種常見的截尾壽命試驗(yàn)兩種常見的截尾壽命試驗(yàn)(1) 定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)定時(shí)截尾壽命試驗(yàn). , , , , ,0 , , , 0 210210稱為定時(shí)截尾樣本稱為定時(shí)截尾樣本所得的樣本所得的樣本是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量此時(shí)此時(shí)它們的失效時(shí)間分別為它們的失效時(shí)間分別為個(gè)產(chǎn)品失效個(gè)產(chǎn)品失效如試驗(yàn)截止時(shí)共有如試驗(yàn)截止時(shí)共有停止停止間間截尾時(shí)截尾時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的同時(shí)投入試驗(yàn)同時(shí)

3、投入試驗(yàn)時(shí)時(shí)個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間假設(shè)將隨機(jī)抽取的假設(shè)將隨機(jī)抽取的mmtttmttttmttn (2) 定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)定數(shù)截尾壽命試驗(yàn). , , , , ,0 , ) , ( , 0 2121為定數(shù)截尾樣本為定數(shù)截尾樣本稱稱所得的樣本所得的樣本個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間是第是第這里這里時(shí)間分別為時(shí)間分別為個(gè)產(chǎn)品的失效個(gè)產(chǎn)品的失效產(chǎn)品失效時(shí)停止產(chǎn)品失效時(shí)停止定的定的是事先規(guī)是事先規(guī)個(gè)個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行到有試驗(yàn)進(jìn)行到有同時(shí)投入試驗(yàn)同時(shí)投入試驗(yàn)時(shí)時(shí)個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間假設(shè)將隨機(jī)抽取的假設(shè)將隨機(jī)抽取的mmmtttmttttmnmmmtn 二、基于截尾樣本的最大似然估計(jì)二、基于截尾樣本的最大似然估

4、計(jì)1. 定數(shù)截尾樣本的最大似然估計(jì)定數(shù)截尾樣本的最大似然估計(jì)設(shè)產(chǎn)品的壽命分布是指數(shù)分布設(shè)產(chǎn)品的壽命分布是指數(shù)分布,其概率密度是其概率密度是 , 0, 0, 0,e1)(tttft .0未知未知 設(shè)有設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗(yàn)個(gè)產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗(yàn), 截尾數(shù)為截尾數(shù)為m,得定數(shù)截尾樣本得定數(shù)截尾樣本 ,0 21mttt ).( 產(chǎn)品的平均壽命產(chǎn)品的平均壽命參數(shù)參數(shù)利用這一樣本估計(jì)未知利用這一樣本估計(jì)未知 , , 0 個(gè)產(chǎn)品失效個(gè)產(chǎn)品失效有有在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間mtm . mtmn個(gè)產(chǎn)品的壽命超過個(gè)產(chǎn)品的壽命超過有有 , 估計(jì)估計(jì)利用最大似然估計(jì)法來利用最大似然估計(jì)法來為了確定似然函數(shù)為了確定似

5、然函數(shù), 觀察上述結(jié)果出現(xiàn)的概率觀察上述結(jié)果出現(xiàn)的概率., 2, 1,de1d)( d,(mitttftttitiiiiii 失效的概率近似地為失效的概率近似地為產(chǎn)品在產(chǎn)品在 的概率為的概率為個(gè)產(chǎn)品壽命超過個(gè)產(chǎn)品壽命超過其余其余mtmn mnttmt de1 ,)e (mntm 上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為 mntmtttmmtttmn )e (de1de1de12121 ,ddde121)(121mtmntttmtttmnmm . d , ,d ,d 21為常數(shù)為常數(shù)其中其中mttt取似然函數(shù)為取似然函數(shù)為.e1)()(121mmtmntttmL 對數(shù)似然函數(shù)

6、為對數(shù)似然函數(shù)為,)(1ln)(ln21mmtmntttmL , 0)(lndd L令令, 0)(1 212 mmtmntttm 則則 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為得到得到 .)(mtsm . , )()(21試驗(yàn)時(shí)間的總和試驗(yàn)時(shí)間的總和個(gè)產(chǎn)品的個(gè)產(chǎn)品的為止為止它表示直到時(shí)刻它表示直到時(shí)刻試驗(yàn)時(shí)間試驗(yàn)時(shí)間稱為總稱為總其中其中nttmnttttsmmmm 2. 定時(shí)截尾樣本的最大似然估計(jì)定時(shí)截尾樣本的最大似然估計(jì)設(shè)定時(shí)截尾樣本設(shè)定時(shí)截尾樣本 ,0 021ttttm ) (0是截尾時(shí)間是截尾時(shí)間其中其中t與上面討論類似與上面討論類似,得似然函數(shù)為得似然函數(shù)為.e1)()(1021tmntt

7、tmmL 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為 ,)(0mts . , )()(00210試驗(yàn)時(shí)間的總和試驗(yàn)時(shí)間的總和個(gè)產(chǎn)品的個(gè)產(chǎn)品的為止為止它表示直到時(shí)刻它表示直到時(shí)刻試驗(yàn)時(shí)間試驗(yàn)時(shí)間稱為總稱為總其中其中nttmnttttsm 例例 設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 , 0, 0, 0,e1)(tttft .0未知未知 隨機(jī)地取隨機(jī)地取50只電池投入壽命試驗(yàn)只電池投入壽命試驗(yàn), 規(guī)定試驗(yàn)進(jìn)規(guī)定試驗(yàn)進(jìn)行到其中有行到其中有15只失效時(shí)結(jié)束試驗(yàn)只失效時(shí)結(jié)束試驗(yàn), 測得失效時(shí)測得失效時(shí)間間(小時(shí)小時(shí))為為115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172. . 的最大似然估計(jì)值的最大似然估計(jì)值試求電池的平均壽命試求電池的平均壽命 解解,15,50 mn172)1550(172170119115)(15 ts,8270 的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)值為 158270 ).( 33.551小時(shí)小時(shí) 三、小結(jié)三、小結(jié)兩種常見