高中數(shù)學(xué) 1.2.1 函數(shù)的概念教案 新人教A版必修1

1、1.2.1 函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1.通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。2.了解對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。3.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)概念和函數(shù)定義域及值域的求法。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念的理解。教學(xué)方法：自學(xué)法和嘗試指導(dǎo)法教學(xué)過程：（）引入問題問題1 初中我們學(xué)過哪些函數(shù)？（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)）問題2 初中所學(xué)函數(shù)的定義是什么？（設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x的值，相應(yīng)地確定唯一的一個(gè)y值，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量）。（）函數(shù)感性認(rèn)識(shí)教材例子（1）：

2、炮彈飛行時(shí)間的變化范圍是數(shù)集，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集，對(duì)應(yīng)關(guān)系 （*）。從問題的實(shí)際意義可知，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系（*），在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對(duì)應(yīng)。例子（2）中數(shù)集，并且對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按圖中曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對(duì)應(yīng)。例子（3）中數(shù)集，且對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)間（年份），按表格，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)和它對(duì)應(yīng)。（III）歸納總結(jié)給函數(shù)“定性”歸納以上三例，三個(gè)實(shí)數(shù)中變量之間的關(guān)系都可以描述為兩個(gè)數(shù)集A、B間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它

3、對(duì)應(yīng)，記作。（IV)理性認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain），與x的值相隊(duì)對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range)。定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，稱為函數(shù)的三個(gè)要素，缺一不可；（1）對(duì)應(yīng)法則f(x)是一個(gè)函數(shù)符號(hào)，表示為“y是x的函數(shù)”,絕對(duì)不能理解為“y等于f與x的乘積”，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣； y=f(x)不一定是解析式，在不少問

4、題中，對(duì)應(yīng)法則f可能不便使用或不能使用解析式，這時(shí)就必須采用其它方式，如數(shù)表和圖象，在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)表示外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號(hào)來表示；自變量x在其定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值a時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值用符號(hào)f(a)來表示。如函數(shù)f(x)=x2+3x+1,當(dāng)x=2時(shí)的函數(shù)值是：f(2)=22+3×2+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是變量，f(a)是函數(shù)f(x)中當(dāng)自變量x=a時(shí)的函數(shù)值。（2）定義域是自變量x的取值范圍； 注意：定義域不同，而對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù)，應(yīng)看作兩個(gè)不同函數(shù)；如：y=x2(xy=x2(x>0)； y=1與y=x0 若未加以特

5、別說明，函數(shù)的定義域就是指使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合；在實(shí)際中，還必須考慮x所代表的具體量的允許值范圍；如：一個(gè)矩形的寬為xm，長(zhǎng)是寬的2倍，其面積為y=2x2，此函數(shù)的定義域?yàn)閤>0,而不是。（3）值域是全體函數(shù)值所組成的集合，在大多數(shù)情況下，一旦定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)的值域也隨之確定。(V)區(qū)間的概念設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，規(guī)定：（投影1）（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的x集合叫做閉區(qū)間，表示為；（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的x集合叫做開區(qū)間，表示為；（3）滿足不等式的實(shí)數(shù)的x集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為；（4）滿足不等式的實(shí)數(shù)的x集合叫做也叫半開半閉區(qū)間，表示為；說明：

6、對(duì)于，都稱數(shù)a和數(shù)b為區(qū)間的端點(diǎn)，其中a為左端點(diǎn)，b為右端點(diǎn)，稱b-a為區(qū)間長(zhǎng)度； 引入?yún)^(qū)間概念后，以實(shí)數(shù)為元素的集合就有三種表示方法：不等式表示法：3<x<7（一般不用）；集合表示法：；區(qū)間表示法：； 在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用一條以a和b為端點(diǎn)的線段來表示，在圖中，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)； 實(shí)數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為（-，+），“”讀作“無窮大”，“-”讀作“負(fù)無窮大”，“+”讀作“正無窮大”，還可以把滿足xa, x>a, xb, x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為a,+、（a,+）、(-,b)、(-,b)。 例題分析：（投影2

7、）例1已知函數(shù)，（教材第20頁例1）（1）求函數(shù)的定義域；（2）求的值；（3）當(dāng)a>0時(shí)，求的值。分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定，如前述的三個(gè)實(shí)例。如果只給出解析式，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合。（解略）例2求下列函數(shù)的定義域。（1）；(2)；(3)分析：給定函數(shù)時(shí)，要指明函數(shù)的定義域，對(duì)于用解析式表示的函數(shù)，如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量取值的集合。從上例可以看出，當(dāng)確定用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：（1）如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；（2）如果

8、f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；（3）如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合；（4）如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合（即使每個(gè)部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集）；（5）如果f(x)是由實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合。由以上分析可知：函數(shù)的定義域由數(shù)學(xué)式子本身的意義和問題的實(shí)際意義決定。例3下列函數(shù)中，哪個(gè)與函數(shù)y=x是同一函數(shù)？（書P21例2） (1) y=()2 ; (2) y= ; (3) y=; (4)y=.分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，要看定義域和對(duì)應(yīng)法則是否完全相同。只有完全一致時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才算相同。（解略）課堂練習(xí)：課本P22練習(xí)1、2、3。課時(shí)小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義（包括定義域、值域的概念）及求函數(shù)定義域的方法。函數(shù)定義中注意的問題及求