電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律

1、電動力學 授課老師：趙圣之 E-mail: Shengzhi_第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第一節(jié)第一節(jié) 電荷與電場電荷與電場第二節(jié)第二節(jié) 電流與磁場電流與磁場第三節(jié)第三節(jié) 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組第四節(jié)第四節(jié) 介質(zhì)的電磁性質(zhì)介質(zhì)的電磁性質(zhì)第五節(jié)第五節(jié) 電磁場邊值關系電磁場邊值關系第六節(jié)第六節(jié) 電磁場的能量和能流電磁場的能量和能流第一節(jié) 電荷和電場一、庫倫定律一、庫倫定律1、點電荷、點電荷 兩點電荷的相互作用力：兩點電荷的相互作用力：2、點電荷系：、點電荷系：3、連續(xù)電荷對點電荷：、連續(xù)電荷對點電荷：4、連續(xù)電荷對連續(xù)電荷：、連續(xù)電荷對連續(xù)電荷：121212211230 124q q rfff

2、r 0031004niiiiq qFrr304Vq dVFrr1212123,04V VdVdVFrr yzVxqdVxr二、電場二、電場1、電場強度、電場強度 電荷周圍產(chǎn)生電場，場對電荷有作用力，電荷之間通過場相互作用。電荷周圍產(chǎn)生電場，場對電荷有作用力，電荷之間通過場相互作用。 定義電場強度：定義電場強度：（1）點電荷）點電荷Q在在r處的場強：處的場強：（2）點電荷系的場強：）點電荷系的場強：（3）連續(xù)分布電荷的場強：）連續(xù)分布電荷的場強：fEq304VdV rEr30Q4iiiiErr30Qr4ErV d V(,)xyz(,)Pxyzr2、電場的散度和旋度、電場的散度和旋度(1) 高斯定

3、理和場的散度高斯定理和場的散度 高斯定理：在場中任取一閉合面高斯定理：在場中任取一閉合面S，則：，則： 證明：點電荷：證明：點電荷： 點電荷系：點電荷系： 連續(xù)分布電荷：連續(xù)分布電荷： V是是S所包圍的體積。所包圍的體積。0(Q/)SE dS 30Q4rEr3200000QQcos44QQQ444SSSSrdSE dSdSrrd ii001QQiiSiE dSEdS 01SVE dSdV rdSQ 散度：散度：靜電場為有源場。場中的散度等于該點的電荷密度除以介電常數(shù)。靜電場為有源場。場中的散度等于該點的電荷密度除以介電常數(shù)。（2）環(huán)路定理和場的旋度）環(huán)路定理和場的旋度 環(huán)路定理：在場中任取一回

4、路環(huán)路定理：在場中任取一回路L，則：，則： 證明：點電荷：證明：點電荷： 同理可證點電荷系和連續(xù)分布電荷。同理可證點電荷系和連續(xù)分布電荷。001()SVVE dSdVE dVE 0LE dl30Q4rEr3200200QQcos44QQ1( )044LLLLLrdlE dldlrrdrdrr rdrdlQ 旋度：旋度： 靜電場為無旋場。靜電場為無旋場。例：電場強度的一般表示式：例：電場強度的一般表示式： 證明：證明： 證明：證明：（a) 當場點當場點P不在源不在源V內(nèi)時，內(nèi)時，r0, =0。 ()00LSE dlEdSE 304VdV rEr0;0EE33001()()44VVdV rrEdV

5、rr 330rrrr 000E222()()()rxxyyzzV dV(,)xyz(,)Pxy zr（b)當場點當場點P在源在源V內(nèi)時內(nèi)時, 考慮考慮r趨于零的情況，因為只有這時趨于零的情況，因為只有這時 。 以以(x , y, z)為中心做一個小球體為中心做一個小球體V： 在在V內(nèi)可以認為內(nèi)可以認為是均勻的，因此有：是均勻的，因此有：0E301()4VrEdVr3330002000()()444cos44VVSSSrrr dSEdVdVrrrdSdr 33000111()()()0444VVVdV rrEdVdVrrr 第二節(jié) 電流和磁場一、電荷守恒定律一、電荷守恒定律1、電流密度、電流密度

6、J 設在某一區(qū)域內(nèi)存在帶電粒子，粒子帶電量為設在某一區(qū)域內(nèi)存在帶電粒子，粒子帶電量為q，運動速度為，運動速度為v, 單位體單位體積內(nèi)有積內(nèi)有N個粒子，則：個粒子，則：J=Nqv 通過通過S面的總電流強度：面的總電流強度：2、電荷守恒定律、電荷守恒定律 任取閉面任取閉面S, 則：則： ， 若若V不隨時間變化，則不隨時間變化，則（1）若）若V是孤立系統(tǒng)：是孤立系統(tǒng)： 全空間電荷守恒。全空間電荷守恒。sIJ dS QSVddJ dSdVdtdt ()SVVJ dSJ dVdVt 0JJtt 00SVdJ dSdVdt （2）對穩(wěn)恒電流）對穩(wěn)恒電流J (x , y, z)、 (x , y, z)， 無

7、源。無源。二、畢奧二、畢奧薩伐爾定律薩伐爾定律 電流產(chǎn)生磁場，磁場對電流有作用力，電流與電流通過磁場相互作用電流產(chǎn)生磁場，磁場對電流有作用力，電流與電流通過磁場相互作用。1、電流產(chǎn)生磁感應強度、電流產(chǎn)生磁感應強度（1）線電流：）線電流： （2）體電流：）體電流： 2、磁場對電流的作用力、磁場對電流的作用力 00Jt 034LIdlrBr 034VJrBdVr max()dFIdlBdlBdFIdlB 的作用力：的作用力： 的作用力：的作用力： 一般情況下一般情況下 ： 對兩個閉合回路：對兩個閉合回路：三、磁場的散度和旋度三、磁場的散度和旋度1、散度、散度 在場中任取閉面在場中任取閉面S，則：，

8、則： 磁場為無源場。磁場為無源場。 證明：證明：1212I dlI dl對1212121001211222331212()()44I dlrI dlI dlrdFI dlrr2121I dlI dl對211201221321()4I dlI dlrdFr1221dFdF 1221FF 00SB dSB 000311444VVVJrBdVJdVJdVrrr 由公式：由公式：可得：可得：2、旋度、旋度 在場中任取回路在場中任取回路L, 由安培定理：由安培定理：磁場為有旋場。磁場為有旋場。 ( )111( )( )( )J xJ xJ xJ xrrrr 000()LSSB dlIJ dSBdSBJ

9、00()()044VVJJBdVdVrr 04VJBdVr 0044VVJJBdVAAdVrr 證明：證明：利用公式：利用公式：( )111( )( )( )J xJ xJ xJ xrrrr ( )1111( )( )( )( )J xJ xJ xJ xJ xrrrrr 0000444VVSJJJ dSAdVdVrrr 22000311( )( )()( )444VVVrAJ xdVJ xdVJ xdVrrr 04VJAdVr 2()()BAAA 若若r0， ，只有當只有當r=0，上式才不為零。，上式才不為零。以以(x , y, z)為中為中心做一個小球體心做一個小球體V：在在V內(nèi)可以認為內(nèi)可

10、以認為J是均勻的，因此有是均勻的，因此有:因此有：因此有：0BJ 200330003244cos44VVSSJJrrAdVdVrrJJr dSdSJrr 3( /)0r r第三節(jié) 麥克斯韋方程組 靜電場靜電場 穩(wěn)恒電流的磁場穩(wěn)恒電流的磁場積分：積分：微分：微分：一、法拉第電磁感應定律一、法拉第電磁感應定律 在磁場中取回路在磁場中取回路L，穿過，穿過L的磁通量為的磁通量為，感應電動勢：，感應電動勢： 若若L在空間固定，則：在空間固定，則： L 變化的磁場可以產(chǎn)生電場。變化的磁場可以產(chǎn)生電場。01;0;SVLE dSdVE dl 00;SLSB dSB dlJ dS 0;0;EE00;BBJ SL

11、SdddB dSE dlB dSdtdtdt ()LSSBE dldSEdStBEt 二、位移電流二、位移電流 因為因為: 對穩(wěn)恒電流，符合要求。但一般情況下對穩(wěn)恒電流，符合要求。但一般情況下: 這與電荷守恒定律矛盾這與電荷守恒定律矛盾為此，引入位移電流為此，引入位移電流JD。令：。令： 要求：要求： 因為：因為： 所以：所以：修改后方程：修改后方程： 變化的電場同樣可以產(chǎn)生磁場；變化的電磁場可以互相激發(fā)。變化的電場同樣可以產(chǎn)生磁場；變化的電磁場可以互相激發(fā)。00()0()0BJBJJB Jt 0()DBJJ ()0DDDJJJJJtt 00EEtt0DEJt 000EBJt 三、真空中的麥克

12、斯韋方程組三、真空中的麥克斯韋方程組四、洛侖茲公式四、洛侖茲公式 在靜電場中，在靜電場中，dV受力：受力： 力密度：力密度： 在穩(wěn)恒磁場中，在穩(wěn)恒磁場中， dV以速度以速度v運動，受力：運動，受力： 力密度：力密度： 在普遍的電磁場中，力密度：在普遍的電磁場中，力密度： 0EBEt 0B 000EBJt FdV EfEFdV vB fvB fEvBEJB 第四節(jié) 介質(zhì)的電磁性質(zhì)一、介質(zhì)的概念一、介質(zhì)的概念1、從微觀上看介質(zhì)是一個帶電體，內(nèi)部的場是不均勻的，從宏觀上看，介、從微觀上看介質(zhì)是一個帶電體，內(nèi)部的場是不均勻的，從宏觀上看，介質(zhì)是電中性的，內(nèi)部的場為零（討論宏觀量）。質(zhì)是電中性的，內(nèi)部的

13、場為零（討論宏觀量）。2、加上外場，介質(zhì)發(fā)生磁化和極化，極化體電荷密度、加上外場，介質(zhì)發(fā)生磁化和極化，極化體電荷密度p ，誘導的極化電，誘導的極化電流密度和磁化電流密度為：流密度和磁化電流密度為：Ji=Jp+JM3、介質(zhì)中麥克斯韋方程組的形式：、介質(zhì)中麥克斯韋方程組的形式：二、介質(zhì)的極化二、介質(zhì)的極化加外電場，極化強度矢量：加外電場，極化強度矢量： ，其中，其中， 是第是第i個分子的個分子的電偶極矩。電偶極矩。01()fpEBEt 0B 00()fMpEBJJJt 1iiPpV ipql 1、極化強度與極化體電荷密度的關系、極化強度與極化體電荷密度的關系 在介質(zhì)中任取一閉面在介質(zhì)中任取一閉面S

14、，在面元，在面元dS 上沿上沿l 方向向方向向S內(nèi)取內(nèi)取l ，這樣就有了，這樣就有了一個體元：一個體元： ，穿出，穿出dS 面的極化正面的極化正電荷：電荷： ，S面內(nèi)的極化負面內(nèi)的極化負電荷：電荷： 2、極化強度與極化體電流密度的關系、極化強度與極化體電流密度的關系l dS nql dSP dS ppSSVnql dSP dSdVP ()iiipqrq xxq xq xq x 111iiipiiiiiiPxPq xqq vJVtVtV pPJt dSlSlqqrxxqq3、極化強度矢量與電場強度的關系極化強度矢量與電場強度的關系 各向同性線性介質(zhì)：各向同性線性介質(zhì)： 各向異性線性介質(zhì)：各向異性

15、線性介質(zhì)： 對非線性介質(zhì)：對非線性介質(zhì)：三、介質(zhì)的磁化三、介質(zhì)的磁化1、磁化強度矢量、磁化強度矢量 單個分子的磁矩：單個分子的磁矩： 加外磁場，磁化強度矢量：加外磁場，磁化強度矢量：2、磁化強度與磁化電流的關系、磁化強度與磁化電流的關系 在介質(zhì)中任取一回路在介質(zhì)中任取一回路L，S是以是以L為周界為周界 L 的一個面，考慮穿過的一個面，考慮穿過S面的磁化電流。這個面的磁化電流。這個 電流一定是與電流一定是與L有交聯(lián)的分子提供的，且只有有交聯(lián)的分子提供的，且只有0ePE 0()ieijjjPE(1)(2)00()()eieijjijkjkjjkPEE Emia1iiMmV Sadliia 邊緣有貢

16、獻。在邊緣有貢獻。在L上取上取dl ，以，以dl 為軸，以為軸，以a 為上下底面作一個小圓柱體為上下底面作一個小圓柱體，其體積為，其體積為 ，體積元內(nèi)的分子數(shù)為，體積元內(nèi)的分子數(shù)為 ，這些分子與，這些分子與dl 交聯(lián)交聯(lián)。因此，穿過面的總電流強度：。因此，穿過面的總電流強度：四、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組四、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組令電位移矢量：，則令電位移矢量：，則對各向同性線性介質(zhì)：對各向同性線性介質(zhì)：a dlna dlIMLLSina dlM dlJdS MJM 001()()fpfpEPEP 0()DPE fD0ePE 000()(1)erDPEEEE 令磁場強度：令磁場強度： 對非鐵磁質(zhì)：

17、對非鐵磁質(zhì)： 介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為：介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為： 介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程 0BHM 00()fMpEBJJJt MJM pPJt 0()DPE 0()fBDMJt fDHJt MMH 00(1)MrBHHH fDBEt 0B fDHJt DEBH JE 例：證明：穿過任一閉合面的自由電流和位移電流之和為零。例：證明：穿過任一閉合面的自由電流和位移電流之和為零。 證明：由方程：證明：由方程： 可得：可得：fDHJt ()()()0fSSVDJdSHdSH dVt 第五節(jié) 電磁場的邊值關系一、法線方向的關系一、法線方向的關系 電場的法向分量：在界面處，取電場的法向分

18、量：在界面處，取扁平的圓柱面，有扁平的圓柱面，有S1=S2=S 因為圓柱側(cè)面積因為圓柱側(cè)面積S趨于零，因此上面式中等式右邊的第三項為零。趨于零，因此上面式中等式右邊的第三項為零。 類似地有：類似地有： 磁場的法向分量：磁場的法向分量：01()fpSVE dSdV 1212SSE dSESESE dS 2101()()nnfpSE dSEESS 2101()()fpnEEfSVD dSdV 21()fnDDpSVP dSdV 21()pnPP 0SJ dS 212121()()0nJJnEE 0SB dS 21()0nBB 121S2Sn二、切向分量二、切向分量 磁場的切向分量：取分界面的回路如

19、圖：磁場的切向分量：取分界面的回路如圖： 有有 ，且回路，且回路h很小。很小。 因為因為h和和S趨于零，趨于零， 所以：所以： 當當 h趨于零時，界面具有面電流。若趨于零時，界面具有面電流。若 : 若面電流方向不與切向垂直若面電流方向不與切向垂直: 2211ttLhH dlHlHlH dl fLSSDH dlJdSdSt 0hH dl 0SDdSt 21()fLSH dlHHlJdS ft ffSJdSl ()()fffSJdSnlnl 12lll nf2l 1l h21t所以：所以：因為因為 可以任意，所以：可以任意，所以：上式兩邊用上式兩邊用n 矢乘可得：矢乘可得：類似地有：類似地有： 電

20、場的切向分量：電場的切向分量：21()fnHH 000fMLSSSDB dlJdSJdSdSt MLSM dlJdS 210()()fMnBB 21()MnMM LSBE dldSt 21()0nEE21()()fHHlnl 212121()()()HHHHHH 2121()()HHlHHl 21()fHHn l例：半徑為例：半徑為a的金屬球均勻地帶有電荷的金屬球均勻地帶有電荷Q，被半徑分別為，被半徑分別為b、c，介電常，介電常數(shù)分別為數(shù)分別為1 和和2 兩個同心介質(zhì)球?qū)影鼑?，求：兩個同心介質(zhì)球?qū)影鼑?，求：?）空間的場強；）空間的場強； （2）分界面上極化電荷的面密度；）分界面上極化電荷的面

21、密度；（3）兩介質(zhì)中極化電荷的體密度；（）兩介質(zhì)中極化電荷的體密度；（4）總極化電荷。）總極化電荷。解解：（：（1）球?qū)ΨQ，介質(zhì)中高斯定理：）球?qū)ΨQ，介質(zhì)中高斯定理： ra： E=0; ar b： brc： (2) fSVD dSdV 131Q4rEr232Q4rEr330Q4rEr2112()()pnnnPPPP 0()DPEE 0()PE abc12Q r=a時，時，r=b時時,r=c時，時，（3）arb, brc, （4） 20122Q()4nPc20nP 20322Q()4pc101131Q()0(0)4prPrr 202232Q()0(0)4prPrr 123Q0ppapbpcSSS

22、10121Q()4nPb20222Q()4nPb02221Q11()4pb10nP 10210121Q()()4nnr aPEa10121Q()4pa 例：圓柱形均勻極化介質(zhì)，極化強度為例：圓柱形均勻極化介質(zhì)，極化強度為P，（，（1）P平行于圓柱的軸；平行于圓柱的軸；（2） P垂直于圓柱的軸；求兩種情況下的極化電荷分布。垂直于圓柱的軸；求兩種情況下的極化電荷分布。解：體內(nèi)：解：體內(nèi)： 因為因為P為常量，所以：為常量，所以： 分界面分界面：（1）選柱坐標系）選柱坐標系z與與P同向：同向：側(cè)面：側(cè)面： 上底面：上底面： 下底面：下底面：（2）選柱坐標系）選柱坐標系x與與P同向：同向：上下底面：上下

23、底面：側(cè)面：側(cè)面： pP 20nP12()pnnPP0p10nP 0ppP20nP1nPP20nP1nPP pP 20nP10nP 0p20nP1cosnPPcospPzP xzP 例：均勻磁化的球形磁化介質(zhì)，磁化強度為例：均勻磁化的球形磁化介質(zhì)，磁化強度為M, 求磁化電流的分布。求磁化電流的分布。解：選球坐標系的解：選球坐標系的z與與M同向：同向：體內(nèi)：因為體內(nèi)：因為M為常數(shù)，由為常數(shù)，由 球面：球面：MJM 0MJ 21()MnMM 20M 1zMMe 1sinMznMMn eMe zoM 第六節(jié) 電磁場的能量和能流一、能量守恒的一般表示式一、能量守恒的一般表示式 場有能量，用場有能量，用

24、w表示場能密度，場能可以傳輸，用表示場能密度，場能可以傳輸，用S表示能流密度，即表示能流密度，即單位時間單位面積傳輸?shù)哪芰浚簡挝粫r間單位面積傳輸?shù)哪芰浚篠=wv，其中，其中v是傳播速度。是傳播速度。 考慮區(qū)域考慮區(qū)域V， V中有中有J、，J=v 。 洛侖茲力密度：洛侖茲力密度： 場對電荷做的功率：場對電荷做的功率： 單位時間內(nèi)場能的增加：單位時間內(nèi)場能的增加： 單位時間通過單位時間通過S面進入面進入V的能量：的能量：fEvB ()Vf v dV VdwdVdtSS d 根據(jù)能量守恒：根據(jù)能量守恒：若若V不變，則：不變，則：即：即：（1）V為全空間：為全空間： 能量的減少表現(xiàn)為對電荷做功；能量的減少表現(xiàn)為對電荷做功；（2）場不隨時間改變：）場不隨時間改變： 流進去的能量都對電荷做了功。流進去的能量都對電荷做了功。()()VVVwS dVf v dVdVt ()SVVdS df v dVwdVdt wSf vt wf vSt 0SS d ()VVdf v dVwdVdt 0wt()VSf v dVS d 二、二、w和和S的表示式的表示式利用公式：利用公式：與守恒定律形式比較可得：與守恒定律形式比較可得：（1）線性介質(zhì)：）線性介質(zhì)：()ff vEvBvE vJ