251 離散型隨機變量的均值

1、2.5隨機變量的均值和方差2.5.1離散型隨機變量的均值1了解取有限值的離散型隨機變量的均值的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值(重點、難點)2掌握隨機變量均值的線性性質(zhì)及兩點分布、超幾何分布和二項分布的均值公式(重點)3能運用離散型隨機變量的均值來解決一些簡單的實際問題(重點)基礎初探教材整理離散型隨機變量的均值閱讀教材P68P70，完成下列問題1離散型隨機變量的均值(數(shù)學期望)的定義若離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn則稱x1p1x2p2xnpn為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望，記為E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnpn，其中，xi是隨機

2、變量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.2超幾何分布、二項分布的數(shù)學期望(1)超幾何分布：若XH(n，M，N)，則E(X).(2)二項分布：若XB(n，p)，則E(X)np.1下列說法正確的有_(填序號)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化；隨機變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)2，則E(2X)4；隨機變量X的均值E(X).【解析】錯誤，隨機變量的數(shù)學期望E(X)是個常量，是隨機變量X本身固有的一個數(shù)字特征錯誤，隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平正確，由均值的性質(zhì)可知錯誤，因為E(X)x1p1x2p2xnpn.【答

3、案】2已知離散型隨機變量X的分布列為：X123P則X的數(shù)學期望E(X)_.【解析】E(X)123.【答案】3若隨機變量X服從二項分布B，則E(X)的值為_【解析】E(X)np4.【答案】質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型超幾何分布、二項分布的數(shù)學期望(1)從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)_.(2)某運動員投籃命中率為p0.6，則求一次投籃時命中次數(shù)的均值E()；求重復5次投籃時，命中次數(shù)的均值E()【精彩點撥】(1)利用超幾何分布求E(X)

4、(2)利用二項分布求E()和E()【自主解答】(1)由題意可知，XH(2,3,5)，E(X).【答案】(2)由題意可知，B(1,0.6)，E()0.6.由題意可知，B(5,0.6)，E()50.63.1通過本例可以看出，若隨機變量服從超幾何分布或二項分布，利用各自的數(shù)學期望公式求均值更方便2超幾何分布、二項分布的數(shù)學期望的求法步驟：(1)判斷隨機變量是否服從超幾何分布或二項分布；(2)找出相應的參數(shù)；(3)利用數(shù)學期望公式求E(X)再練一題1某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，每個坑至多補種一次，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為()A

5、100B200C300D400【解析】由題意可知，補種的種子數(shù)記為X，X服從二項分布，即XB(1 000,0.1)，所以不發(fā)芽種子的數(shù)學期望為1 0000.1100.所以補種的種子數(shù)的數(shù)學期望為2100200.【答案】B定義法求離散型隨機變量的數(shù)學期望盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同(1)從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P；(2)從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望E(X)【精彩點撥】(1)利用古典概型求解(2)先寫出X的可

6、能取值，計算出概率并列出概率分布，利用數(shù)學期望定義求解【自主解答】(1)取到的2個顏色相同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球，所以P.(2)隨機變量X所有可能的取值為2,3,4.X4表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球”，故P(X4)；X3表示的隨機事件是“取到的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球，或3個黃球和1個其他顏色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以隨機變量X的概率分布如下表：X234P因此隨機變量X的數(shù)學期望E(X)234.1求解本題的關鍵是明確隨機變量X的含義，同時計算P(X2)時采用了間接法2定義法求數(shù)學期望的步驟：(1)確定隨機變量的取值；

7、(2)求隨機變量的概率分布；(3)根據(jù)E(X)x1p1x2p2xnpn求數(shù)學期望E(X)再練一題2盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值【解】X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)123.探究共研型離散型隨機變量的均值實際應用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個值時的概率是多少？【提示】隨機變量X可能取值為0,1.X取每個值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究

8、2在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？【提示】在球星的各場比賽中，罰球一次的得分大約為00.310.70.7(分)因為在該球星參加各場比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機變量X的數(shù)學期望來描述他總體得分的平均水平具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應該是非常接近X的均值的一個分數(shù)隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，

9、而1件次品虧損2萬元，設1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學期望)；(3)經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【精彩點撥】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為

10、E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1實際問題中的均值問題均值在實際生活中有著廣泛的應用，如對體育比賽的成績預測，消費預測，工程方案的預測，產(chǎn)品合格率的預測，投資收益的預測等方面，都可以通過隨機變量的均值來進行估計2概率模型的三個解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值(3)對照實際意義，回答概率，均值等所表示的結論再練一題3甲、乙兩射擊運動員進行射擊比賽，射擊相同的次

11、數(shù)，已知兩運動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)將它們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖251甲和圖乙所示圖251(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大)【解】(1)由圖乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因為E(

12、X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，則有E(X甲)E(X乙)，所以估計甲的水平更高構建體系1隨機變量X的概率分布為：X135P0.50.30.2則其數(shù)學期望E(X)等于_【解析】E(X)10.530.350.22.4.【答案】2.42將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)_. 【導學號：29440054】【解析】XB，E(X)100.【答案】3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，則y的值為_【解析】依題意得即解得y0.4.【答案】0.44設離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，則ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4個