5蒙特卡洛方法模擬期權(quán)定價(jià)

1、材料五：蒙特卡洛方法模擬期權(quán)定價(jià)1蒙特卡洛方法模擬歐式期權(quán)定價(jià)利用風(fēng)險(xiǎn)中性的方法計(jì)算期權(quán)定價(jià)：其中，是期權(quán)價(jià)格，是到期日T的現(xiàn)金流，是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度如果標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：則在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，到期日歐式看漲期權(quán)現(xiàn)金流如下：其中，K是執(zhí)行價(jià)，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是標(biāo)準(zhǔn)差， 是正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對(duì)到期日的現(xiàn)金流用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，就可知道期權(quán)價(jià)格。例1 假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，股票現(xiàn)在價(jià)格為50，歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為52，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.1，股票波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，期權(quán)的到期日為5個(gè)月，試用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算該期權(quán)價(jià)格。下面用MATLAB編寫(xiě)一個(gè)子程序進(jìn)

2、行計(jì)算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格%輸入?yún)?shù)%s0 股票價(jià)格%K 執(zhí)行價(jià)%r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率%T 期權(quán)的到期日%sigma 股票波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差%Nu 模擬的次數(shù)%輸出參數(shù)%eucall 歐式看漲期權(quán)價(jià)格%varprice 模擬期權(quán)價(jià)格的方差%ci 95%概率保證的期權(quán)價(jià)格區(qū)間randn('seed',0); %定義隨機(jī)數(shù)發(fā)生器種子是0, %這樣保證每次模擬的結(jié)果相同nuT=(r-0.5*sigma2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0

3、*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K)%期權(quán)到期時(shí)的現(xiàn)金流eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)%在命令窗口輸入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2 蒙特卡洛方法模擬障礙期權(quán)定價(jià)障礙期權(quán)，就是確定一個(gè)障礙值，在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)有可能超過(guò)該價(jià)格，也可能低于該價(jià)格，對(duì)于敲出期權(quán)而言，如果在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)合同可以提前終止執(zhí)行；相反，對(duì)于敲入價(jià)格，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)合同開(kāi)始生效。當(dāng)障礙值高于現(xiàn)在資產(chǎn)價(jià)格，稱(chēng)上漲期權(quán)，反之稱(chēng)下跌期權(quán)。對(duì)于下跌敲出看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，股

4、票價(jià)格是，執(zhí)行價(jià)格是K，買(mǎi)入看跌期權(quán)就首先保證以執(zhí)行價(jià)K賣(mài)掉股票，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前終止執(zhí)行的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值時(shí)看跌期權(quán)就提前終止執(zhí)行。因?yàn)樵撈跈?quán)對(duì)于賣(mài)方有利，所以其價(jià)格應(yīng)低于看跌期權(quán)的價(jià)格。對(duì)于下跌敲出看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，股票價(jià)格是，執(zhí)行價(jià)格是K，買(mǎi)入看跌期權(quán)就首先保證以執(zhí)行價(jià)K賣(mài)掉股票，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前終止執(zhí)行的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值時(shí)看跌期權(quán)就提前終止執(zhí)行。因?yàn)樵撈跈?quán)對(duì)于賣(mài)方有利，所以其價(jià)格應(yīng)低于看跌期權(quán)的價(jià)格。對(duì)于下跌敲入看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的

5、基礎(chǔ)上附加提前何時(shí)生效的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值時(shí)看跌期權(quán)開(kāi)始生效。 當(dāng)障礙值確定時(shí)，障礙期權(quán)存在解：其中，利用上述公式編寫(xiě)下跌敲出障礙期權(quán)價(jià)格程序：function P=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,Sb)a=(Sb/S0)(-1+2*r/sigma2)b=(Sb/S0)(1+2*r/sigma2)d1=(log(Sb/K)+(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d2=(log(Sb/K)+(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d3=(log(S0/Sb)+(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d4=(

6、log(S0/Sb)+(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d5=(log(S0/Sb)-(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d6=(log(S0/Sb)-(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d7=(log(S0*K/Sb2)-(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d8=(log(S0*K/Sb2)-(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)P=K*exp(-r*T)*(normcdf(d4)-normcdf(d2)-a*(normcdf(d7)-normcdf(d5) -S0*(normcdf

7、(d3)-normcdf(d1)-b*(normcdf(d8)-normcdf(d6)例2 同例1，運(yùn)行：P=DownOutPut(50,50,0.1,5/12,0.4,40)P=4.0936利用蒙特卡洛方法模擬下跌敲出障礙期權(quán)價(jià)格程序：在模擬中我們給出模擬次數(shù)Nrepl，每次模擬時(shí)間分為Nsteps，障礙值為，其現(xiàn)金流如下：當(dāng)St小于時(shí)，CashFlow=0我們可以先模擬路徑，然后讓大于路徑的現(xiàn)金流為0，程序如下：function P,aux,ci=DOPutMC(S0,K,r,T,sigma,Sb,NSteps,NRepl)NSteps每次離散時(shí)間數(shù)目NRepl模擬次數(shù)%模擬股價(jià)路徑dt=

8、T/NStepsnudt=(r-0.5*sigma2)*dtsidt=sigma*sqrt(dt)randn('seed',0)rand=randn(NRepl,NSteps)rand1=nudt+sidt*randrand2=cumsum(rand1,2)path=S0*exp(rand2) 利用路徑進(jìn)行定價(jià)payoff=zeros(NRepl,1)for i=1:NRepl ax=path(i,:) if min(ax)<Sb payoff(i)=0 else payoff(i)=max(0,K-ax(NSteps) endendP,aux,ci=normfit(ex

9、p(-r*T)*payoff)運(yùn)行：P,aux,ci=DOPutMC(50,50,0.1,5/12,0.4,40,100,1000)P = 0.8094aux = 1.9714ci = 0.6871 0.9318 3 蒙特卡洛方法模擬亞式期權(quán)定價(jià)亞式期權(quán)是一種路徑依賴(lài)型期權(quán)，它的收益函數(shù)依賴(lài)于期權(quán)存續(xù)期內(nèi)的標(biāo)的資產(chǎn)的平均價(jià)格。（算術(shù)平均與幾何平均）亞式看漲期權(quán)到期現(xiàn)金流為 例3 同例1，用蒙特卡洛方法計(jì)算該亞式期權(quán)價(jià)格。function P,CI=AsianMC(s0,k,r,T,sigma,NSteps,NRepl)dt=T/NSteps;nudt=(r-0.5*sigma2)*dt;sid

10、t=sigma*sqrt(dt);randn('seed',0);rand=randn(NRepl,NSteps);rand1=nudt+sidt*rand;rand2=cumsum(rand1,2);path=s0*exp(rand2);payoff=zeros(NRepl,1);for i=1:NRepl payoff(i)=max(0,mean(path(i,:)-k);endP,aux,CI=normfit(exp(-r*T)*payoff)>> AsianMC(50,50,0.1,5/12,0.4,5,50000)P = 3.9622aux = 5.966

11、9CI = 3.9099 4.0145ans = 3.96224 等價(jià)鞅測(cè)度（內(nèi)容參見(jiàn)247頁(yè)）function eucall=blsmc(s0,kK,r,T,sigma,Nu)s0=50;K=52;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;Nu=1000;randn('seed',0);nuT=(r-0.5*sigma2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K);disp('蒙特卡洛模擬結(jié)果')eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)SM=s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1);SM=s0*exp(r*T)*SM/mean(SM);S1=max(0,SM-K);disp('風(fēng)險(xiǎn)中性下歐式看漲期權(quán)結(jié)果')Emscall,varprice,ci=normfit(S1)disp('歐式看漲期權(quán)解析解')blsprice(50,52,0.1,5/12,0.4)bl