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1、湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 數(shù)值計算課程 上機(jī)實(shí)驗(yàn)報告姓名: 班級: 學(xué)號:日期:指導(dǎo)老師: 本次實(shí)驗(yàn)題號:第 2 次實(shí)驗(yàn)一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私鈍auss消去法和迭代法matlab算法實(shí)現(xiàn)求任意方程組的根。2. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:用gauss消去法和迭代法求解下列線性方程組:1. 求出gauss消去法的上三角矩陣和方程組的解,并在命令窗口顯示;2. 顯示迭代法求解過程中所有結(jié)果()要求求解精度達(dá)到10-5.三.算法介紹或方法基礎(chǔ)1) 消去法:消元過程:設(shè),令乘數(shù),做(消去第i個方程組的)操作第1個方程+第i個方程(i=2,3,.n)則第i個方程變?yōu)檫@樣消去第2,3,。,n個方程的變元后。原線性方程組變?yōu)椋?/p>
2、這樣就完成了第1步消元?;卮^程:在最后的一方程中解出,得:再將的值代入倒數(shù)第二個方程,解出,依次往上反推,即可求出方程組的解:其通項(xiàng)為 高斯賽德爾迭代法:由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計算過程中是用的全部分量來計算的所有分量,顯然在計算第i個分量時,已經(jīng)計算出的最新分量沒有被利用,從直觀上看,最新計算出的分量可能比舊的分量要好些.因此,對這些最新計算出來的第次近似的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯塞德(Gauss-Seidel)迭代法.把矩陣A分解成 (6) 其中,分別為的主對角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程組(1)便可以寫成 即其中 (7)以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式
3、) (8)稱為高斯塞德爾迭代法(公式),用 量表示的形式為 (9)由此看出,高斯塞德爾迭代法的一個明顯的優(yōu)點(diǎn)是,在電算時,只需一組存儲單元(計算出后不再使用,所以用沖掉,以便存放近似解.4. 程序1) 消去法:function x=gauss(A,b)n=length(b);A=A,b; for k=1:(n-1) A(k+1):n,(k+1):(n+1)=A(k+1):n,(k+1):(n+1). -A(k+1):n,k)/A(k,k)*A(k,(k+1):(n+1); A(k+1):n,k)=zeros(n-k,1); Aend x=zeros(n,1); x(n)=A(n,n+1)/A(
4、n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(A(k,n+1)-A(k,(k+1):n)*x(k+1):n)/A(k,k);end2) 迭代法:function EX() a=input(請輸入系數(shù)矩陣a:);b=input(請輸入矩陣b:); N=input(請輸入最大迭代次數(shù)N:); esp=input(請輸入近似解的誤差限:);if any(diag(a)=0 error(系數(shù)矩陣錯誤,迭代終止!) endD=diag(diag(a); X0=zeros(size(b); x1=0; x2=0;x3=0;X1=x1;x2;x3;h=inv(D)*b; B=inv(D)*(D-a
5、);B1=triu(B); B2=tril(B); k=1;fprintf(高斯-賽德爾迭代法 ); fprintf(第0次迭代得:) disp(X1);while k=N x1=h(1,1)+B1(1,:)*X0; X1=x1;x2;x3; x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1; X1=x1;x2;x3; x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1; X1=x1;x2;x3; if norm(X1-X0,inf)esp fprintf(已滿足誤差限。 ) break ; end X0=X1; fprintf(第%2d次迭代得:,k) disp(X1); k=k+1; end fprintf(滿足誤差限的高斯-賽德爾迭代近似解為:)disp(X1); fprintf(用高斯-賽德爾迭代法迭代次數(shù)為 %d次,k-1)end五.實(shí)驗(yàn)結(jié)果迭代法:消去法:6. 結(jié)果分析與解釋Gauss-Seidel 迭代法收斂條件:迭代矩陣的普半徑小于1;迭代矩陣的范數(shù)小于1;系數(shù)矩陣是占優(yōu)矩陣。G
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