排列組合課件(1)

1、 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n個步驟，個步驟，做第做第一步有一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的種不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法，那么種不同的方法，那么完成這件事有完成這件事有 N=m1m2mn 種不同的方法種不同的方法.2.乘法原理乘法原理： 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有 n類辦法類辦法,在第一在第一類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第二類辦法中有在第二類辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同種不同的方法的方法. 那么完成這件事

2、共有那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn 種不同的方法種不同的方法.1.加法原理：加法原理：復習引入復習引入 引例引例1 在航海中，航艦之間常以在航海中，航艦之間常以“旗語旗語”相互聯系，即相互聯系，即利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號. 現有紅、黃、現有紅、黃、藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少種不同的信號？藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少種不同的信號？觀察與思考觀察與思考上中下紅紅黃黃藍藍黃黃藍藍紅紅藍藍紅紅黃黃藍藍黃黃藍藍紅紅黃黃紅紅復習引入復習引入 引例引例1 在航海中，航艦之間常以在航海中，航艦之間常以“旗語旗語”相互聯系，相互聯系，即利用

3、不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號即利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號. 現有紅、黃、現有紅、黃、藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少種不同的信號？藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少種不同的信號？引入概念引入概念上中下紅紅黃黃藍藍黃黃藍藍紅紅藍藍紅紅黃黃藍藍黃黃藍藍紅紅黃黃紅紅紅紅黃黃藍藍 以上的每一種以上的每一種“旗語旗語”利用不同顏色的旗利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號幟的排列傳遞某種信號. 就叫做就叫做“從從3個元素中選取個元素中選取3個個元素的一個元素的一個排列排列”. 本問題共有本問題共有6個不同的個不同的排列排列！根據乘法原理：根據乘法原理：3216.深化理解深化理解把這個計算過

4、程把這個計算過程3 2 16 33記為A：引例引例2 從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名參加某天的一名參加某天的一項活動，其中項活動，其中1名同學參加上午的活動，名同學參加上午的活動，1名同學名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？參加下午的活動，有多少種不同的方法？第一步：確定參加上午活動的同學第一步：確定參加上午活動的同學 即從即從3 3名中任選名中任選1 1名，有名，有3 3種選法種選法第二步：確定參加下午活動的同學，有第二步：確定參加下午活動的同學，有2 2種方法種方法根據乘法原理：根據乘法原理：32=6 即共即共6種方法種方法.復習引入復習引入引例引例2 從甲、乙、

5、丙從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名參加某天的一名參加某天的一項活動，其中項活動，其中1名同學參加上午的活動，名同學參加上午的活動，1名同學名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？參加下午的活動，有多少種不同的方法？甲乙丙乙丙甲丙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙上午下午相當于隊列站法深化理解深化理解引例引例2 從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名參加某天的一名參加某天的一項活動，其中項活動，其中1名同學參加上午的活動，名同學參加上午的活動，1名同學名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？參加下午的活動，有多少種不同的方法？ 從從3個不同的元素個不同的元素a,b,c中任取中任取

6、2個，然后按個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法.我們把上面問題中被取的對象叫做我們把上面問題中被取的對象叫做元素元素.所有不同排法是所有不同排法是 ab,ac,ba,bc,ca,cb.甲乙丙的每一種排列法，就叫做甲乙丙的每一種排列法，就叫做“從從3個元素中個元素中選取選取2個元素的一個個元素的一個排列排列”.共有共有326個排列個排列.深化理解深化理解把這個計算過程把這個計算過程3 26 23記A為：所有不同排法是所有不同排法是45452432352533421深化理解深化理解引例引例3 由由1、2、3、4、5能組成多少個沒有重復

7、數能組成多少個沒有重復數字的三位數？字的三位數？第1位第2位第3位45451431351533412454524121525114233215231542135253132412341524312134每一個數，就叫做一個每一個數，就叫做一個“排列排列”.引例引例3 由由1、2、3、4、5能組成多少個沒有重復數能組成多少個沒有重復數字的三位數？字的三位數？第1位第2位第3位解：解： 要得到一個要得到一個由由1、2、3、4、5能組成沒有重能組成沒有重復數字的三位數，可以通過如下三步：復數字的三位數，可以通過如下三步： 從從1、2、3、4、5中選中選1個放到第一位，有個放到第一位，有5種放法；種放

8、法；從從1、2、3、4、5中剩余的中剩余的4個中選個中選1個放到第二位，個放到第二位，有有4種放法；種放法；從從1、2、3、4、5中剩余的中剩余的3個中選個中選1個放到第二位，個放到第二位，有有3種放法種放法.根據乘法原理，根據乘法原理，得到一個得到一個這樣的三位數有這樣的三位數有N=54360種不同的方法，種不同的方法，這樣的三位數這樣的三位數60個個.復習引入復習引入把這個計算過程把這個計算過程5 4 360 35記為A： 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個元素，個元素，按照一定的按照一定的順序順序排成一列，叫做從排成一列，叫做從n個不同元素中取個不同元素中

9、取出出m個元素的個元素的一個排列一個排列.排列的概念：排列的概念：理解理解：n個元素是個元素是不同不同的，取出的的，取出的m個元素是個元素是不同不同的的. m,n是正整數，且是正整數，且mn 排列是排列是m步的集成結果：步的集成結果：“取出第取出第1個元素放到第個元素放到第1位位” 、 “取出第取出第2個元素放到第個元素放到第2位位” 、“取出第取出第m個元素個元素放到第放到第m位位”.兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全 相同，相同，且元素的排列順序也完全相同且元素的排列順序也完全相同.基本概念基本概念 或或看作是兩大步的集成結果：先看作是兩大步的

10、集成結果：先“取出取出m個不同元個不同元素素”，再，再“按照按照一定順序一定順序將將m個不同元素排成一列個不同元素排成一列”.練習練習1從從a,b,c,d這這4個字母中，每次取出個字母中，每次取出3個個按順序排成一列按順序排成一列,共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？解：共有解：共有432 = 24個個. a b c d c d b d b c b a c d c d a d a c c a b d b d a d a b d a b c b c a c a b 所有的排法：所有的排法： abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc c

11、ab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb4 3 224 34記為A：課堂練習課堂練習第1位4第2位3第3位2排列數的概念：排列數的概念： 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個元素的所個元素的所有排列的個數，叫做從有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個個元素的元素的排列數排列數.用符號用符號 表示表示.mnA62323A如如:從從3個不同的元素個不同的元素a,b,c中任取中任取2個，然后個，然后 按一按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列方法方法.基本概念基本概

12、念下標下標n是被選數是被選數上標上標m是選出數是選出數問題：問題：從從n個不同元素中出個不同元素中出2個元素的排列數個元素的排列數 是是多少？多少？2nA3nA呢？呢？)(nmAmn呢？第1位 第2位n n-12nA=n(n-1)第1位 第2位 第3位n n-1 n-23nA=n(n-1)(n-2) 第1位 第2位 第3位 第m位 n -1nn -2n ( m 1) 1()2)(1(mnnnnAmn公式推導公式推導nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列數公式：排列數公式：公式的特點：公式的特點：基本公式基本公式 是是 “取出第取出第1個元素放到第個元素放到第1位位”的方法數、

13、的方法數、 “取出第取出第2個元素放到第個元素放到第2位位”的方法數、的方法數、 “取出第取出第m個元素放到第個元素放到第m位位”的方法數的乘積的方法數的乘積.mnA所以，所以， 是以上是以上m步的步的集成集成的運算公式！的運算公式！mnAm個連續(xù)自然數的連乘積；個連續(xù)自然數的連乘積；最大因數為最大因數為n以下依次減以下依次減1，最小因數是（，最小因數是（n-m+1）. 引例引例1 在航海中，航艦之間常以在航海中，航艦之間常以“旗語旗語”相互聯系，相互聯系，即利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號即利用不同顏色的旗幟的排列傳遞某種信號. 現有紅、黃、現有紅、黃、藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少

14、種不同的信號？藍三面旗子，同時升旗，共可表示多少種不同的信號？ 解解：每一種每一種“旗語旗語” 就是就是“從從3個元素中選取個元素中選取3個元素個元素的一個的一個排列排列”. 排列數為：排列數為：3216.深化理解深化理解33A共可表示共可表示6種不同的信號種不同的信號.引例引例2 從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名參加某天的一名參加某天的一項活動，其中項活動，其中1名同學參加上午的活動，名同學參加上午的活動，1名同學名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？參加下午的活動，有多少種不同的方法？解：解：問題可以看為從問題可以看為從3個不同的元素中任取個不同的元素中任取2元素的元

15、素的排列問題排列問題.其排列數為：其排列數為：深化理解深化理解326.23A共有共有6種不同的方法種不同的方法.引例引例3 由由1、2、3、4、5能組成多少個沒有重復數能組成多少個沒有重復數字的三位數？字的三位數？第1位第2位第3位解：解：可以看為從可以看為從5個不同的元素中任取個不同的元素中任取3元素的排元素的排列問題列問題.其排列數為：其排列數為：深化理解深化理解54360.35A共有這樣的三位數共有這樣的三位數60個個.nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列數公式：排列數公式：例例計算（計算（1）（）（2）36A27A解解：（：（1）12045636A（2）426727

16、A例題講解例題講解選擇題： 等于（ ） （A） （B） （C） （D）89161718818A918A1018A1118AD練習練習2課堂練習課堂練習nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列數公式：排列數公式：（1）有）有5本本不同的書，從中選不同的書，從中選3本送給本送給3名同學，名同學，每人各每人各1本，共有多少種不同的送法？本，共有多少種不同的送法？（2）有）有5種種不同的書，要買不同的書，要買3本送給本送給3名同學，每名同學，每人各人各1本，共有多少種不同的送法？本，共有多少種不同的送法？ 練習練習課堂練習課堂練習組合與組合數公式組合與組合數公式問題一：問題一：從甲、乙

17、、丙從甲、乙、丙3 3名同學中選出名同學中選出2 2名去參名去參加某天的一項活動，其中加某天的一項活動，其中1 1名同學參加上午的名同學參加上午的活動，活動，1 1名同學參加下午的活動，有多少種不名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學中選出名同學中選出2 2名去參名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？加某天一項活動，有多少種不同的選法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3從已知的從已知的3個個不同元素中不同元素中每次取出每次取出2個個元素元素, ,并成一并成一組組問題二問題二從已知的從已知的3 個不

18、同元素個不同元素中每次取出中每次取出2個元素個元素, ,按按照一定的順照一定的順序排成一列序排成一列. .問題一問題一排列排列組合組合有有順順序序無無順順序序 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素個元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合. . 排列與組合的排列與組合的概念有什么共概念有什么共同點與不同點？同點與不同點？ （一）、組合的定義（一）、組合的定義:? ?組合定義組合定義: 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素個元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個不

19、同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素的一個素的一個組合組合排列定義排列定義: 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m (mn) 個元素，個元素，按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做從，叫做從 n 個不個不同元素中取出同元素中取出 m 個元素的一個個元素的一個排列排列.共同點共同點: 都要都要“從從n個不同元素中任取個不同元素中任取m個元素個元素” 不同點不同點: : 排列排列與元素的順序有關，與元素的順序有關， 而組合而組合則與元素的順序無關則與元素的順序無關. .概念講解概念講解思考一思考一:aB與與Ba是相同的排列是相同的排列 還還是相同的組合是相同的組

20、合?為什么為什么? ?思考二思考二: :兩個相同的排列有什么特點兩個相同的排列有什么特點? ?兩個相同兩個相同的組合呢的組合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列順序相同）元素排列順序相同. .元素相同元素相同概念理解概念理解 構造排列分成兩步完成，先取后排；構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟而構造組合就是其中一個步驟. .思考三思考三: :組合與排列有聯系嗎組合與排列有聯系嗎? ?判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? ? (1)設集合設集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個元素的個元素的子集有多少個子集有多少

21、個?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票多少種車票? 有多少種不同的火車票價？有多少種不同的火車票價？組合問題組合問題排列問題排列問題(3)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共共需握手多少次需握手多少次?組合問題組合問題組合問題組合問題組合是選擇的結果，排列組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果是選擇后再排序的結果.1.從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是有組合分別是:ab , ac , bc 2.已知已知4個元素

22、個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元寫出每次取出兩個元素的所有組合素的所有組合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3個個) )(6(6個個) )概念理解概念理解 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所）個元素的所有組合的個數，叫做從有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數組合數，用符號，用符號 表示表示.mnC233C 246C 如如:從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數是的所有組合個數是:如如:已知已知

23、4個元素個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出寫出每次取出兩個元素的所有組合個數是：兩個元素的所有組合個數是：概念講解概念講解（二）、組合（二）、組合數數 是一個數，應該把它與是一個數，應該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 mnC1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有四個元素中任取三個元素的所有組合組合abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcbacd組合組合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc

24、cdb dcb（三個元素的）（三個元素的）1 1個組合，對應著個組合，對應著6 6個排列個排列你發(fā)現了你發(fā)現了什么什么?PPC333434 34 4C第一步，（）個；33 6A第二步，（）個；333.434 CAA根據分步計數原理，334343ACA從而34A對于對于，我們可以按照以下步驟進行，我們可以按照以下步驟進行（三）、組合數公式（三）、組合數公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯系排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯系 一般地，求從一般地，求從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的排列數，可以分為以下排列數，可以分為以下2步：步： 第第1 1步，先求出從這步，先求出從這n

25、個不同元素中取出個不同元素中取出m個個元素的組合數元素的組合數 mnC第第2步，求每一個組合中步，求每一個組合中m個元素的全排列數個元素的全排列數 mnA根據分步計數原理，得到：根據分步計數原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 這里這里m,n是自然數，且是自然數，且 m n ，這個公式叫做，這個公式叫做 概念講解概念講解組合數公式組合數公式: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我們規(guī)定：從從 n個不同元中取出個不同元中取出m個元素的排列數個元素的排列數組合數的兩個性質組合數的兩

26、個性質: mn mnnCC11 mmmnnnCCC證明證明:1!()!(1)!(1)!mmnnnnCCm nmmnm)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn)!1( !)!1(mnmnmnC1 11 mmmnnnCCC11 mmmnnnCCC公式特征：公式特征：下標相同而上標差下標相同而上標差1的兩個組合數的兩個組合數之和，等于下標比原下標多之和，等于下標比原下標多1而上標與大的相同而上標與大的相同的一個組合數；的一個組合數； 此性質的作用：此性質的作用：恒等變形，簡化運算；恒等變形，簡化運算；等式體現等式體現：“含與不含某元素含與不含某元素”的分類思想的分類思

27、想. 11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元例例一個口袋內裝有大小不同的一個口袋內裝有大小不同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球.（1）從口袋內取出從口袋內取出3個球，使其中含有個球，使其中含有1個黑球，有多少種個黑球，有多少種取法？取法？（2）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，個球，使其中不含黑球，有多少種取法？有多少種取法？ （3）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，共有多少個球，共有多少種取法？種取法？解解：（：（1）取出取出3個球中有黑球的方法數個球中有黑球的方法數27C7 6212!例題講解例題講解例例1一個口袋內裝有大小不同的一個口袋內裝有大小不同的7個白球

28、和個白球和1個黑球個黑球.（1）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，使其中含有個球，使其中含有1個黑球，有多個黑球，有多少種取法？少種取法？（2）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，使其中不含黑個球，使其中不含黑球，有多少種取法？球，有多少種取法？ （3）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，共有個球，共有多少種取法？多少種取法？解解：（：（1）取出取出3個球中有黑球的方法數個球中有黑球的方法數27C7 6212!37C取出取出3個球中無黑球的方法數個球中無黑球的方法數7 6 5353! 例題講解例題講解例例一個口袋內裝有大小不同的一個口袋內裝有大小不同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球.（1）從口袋

29、內取出從口袋內取出3個球，使其中含有個球，使其中含有1個黑球，有多少種個黑球，有多少種取法？（取法？（2）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，個球，使其中不含黑球，有多少種取法？有多少種取法？ （3）從口袋內取出）從口袋內取出3個球，共有多少個球，共有多少種取法？種取法？解解：（：（3）388 7 6563!C 按照黑球分類，按照黑球分類，取出取出3個球中有黑球的方法數個球中有黑球的方法數37C27C從口袋內取出從口袋內取出3個球，共有取法個球，共有取法3277CC388 7 6563!C 另法另法，一次取出的方法數，一次取出的方法數取出取出3個球中無黑球的方法數個球中無黑球的方

30、法數例例計算：計算： 69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104! 例題講解例題講解 D 190 鞏固練習鞏固練習3有有3張參觀券，要在張參觀券，要在5人中確定人中確定3人去參觀，人去參觀，不同方法的種數是不同方法的種數是 10 46人同時被邀請參加一項活動，必須有人去，人同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：解：有有6類辦法，第類辦法，

31、第1類去類去1人，第人，第2類去類去2人，人，第第3類去類去3人，第人，第4類去類去4人，第人，第5類去類去5人，第人，第6類去類去6人，所以共有不同的去法人，所以共有不同的去法63鞏固練習鞏固練習小結小結2.組合數性質組合數性質: mn mnnCC11 mmmnnnCCC1.組合數公式組合數公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm例、計算：例、計算： 47C 710C例例. .甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊舉行單循環(huán)賽，支足球隊舉行單循環(huán)賽，（1 1）列出所有各場比賽的雙方；）列出所有各場比賽的雙方；（2 2）列出所有冠亞軍的可能情況）列

32、出所有冠亞軍的可能情況. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙?。┘滓摇⒓妆⒓锥?、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例題分析例題分析32 nnCA（3）已知：）已知： ，求，求n的值的值 3535 (2) (2) 120120 (3) (3) 8 8例.11CmnmCmnmn:求證,! :）（！證明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 例例 5個人站成一排個人站成一排共有多少種排法？共有多少種排法？ 其中甲必須站在中間，有多少種不同的排法？其中甲必須站在中間，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的其中甲